Κατανόηση του μοντέλου Wurtzite k·p 8 ζωνών.

Γιατί χρειαζόμαστε ένα διαφορετικό μοντέλο για τον τύπο κρυσταλλικής δομής Wurtzite;

Στο μάθημα για την οκταζωνική δομή τύπου σφαλερίτη, επιτρέψαμε στις ζώνες αγωγιμότητας και σθένους να αλληλεπιδρούν, αντί να τις αντιμετωπίζουμε ως ανεξάρτητες παραβολές. Τώρα θέλουμε να εφαρμόσουμε την ίδια προσέγγιση σε υλικά όπως το GaN, το AlN, το InN και τα κράματά τους, τα οποία χρησιμοποιούνται ευρέως σε LED και λέιζερ.

Αυτά τα υλικά έχουν συνήθως την κρυσταλλική δομή wurtzite. Σε αντίθεση με την κυβική δομή σφαλερίτη, η εξαγωνική συμμετρία της την διακρίνει, καθώς ορίζει μια συγκεκριμένη κατεύθυνση: τον άξονα c του κρυστάλλου. Σε όλη αυτή τη σελίδα, θεωρούμε ότι αυτή είναι η κατεύθυνση \(z\), με τις \(x\) και \(y\) να βρίσκονται στην κάθετη βασική επιφάνεια. Αυτή η διάκριση είναι σημαντική, επειδή η ηλεκτρονική ενέργεια, η ανάμειξη των ατομικών τροχιακών και η αλληλεπίδραση με το φως μπορούν να εξαρτώνται από την κατεύθυνση.

Θα παρουσιάσουμε πρώτα τη φυσική αιτία για κάθε νέο όρο και στη συνέχεια θα δείξουμε πώς η οκταζωνική Χαμιλτονιανή τον περιγράφει. Το αποτέλεσμα θα συνδέεται άμεσα με τις υποζώνες της κβαντικής πηγάδας και με την πόλωση του εκπεμπόμενου φωτός.

Ο άξονας c και η διασχιστική ενέργεια του κρυσταλλικού πεδίου.

Εξετάστε τις τρεις τροχιακές καταστάσεις τύπου p που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση των ανώτερων ζωνών σθένους. Τις ονομάζουμε \(X\), \(Y\) και \(Z\) σύμφωνα με τον τροχιακό τους χαρακτήρα. Πρόκειται για ηλεκτρονικές βασικές συναρτήσεις και όχι για τρεις διαφορετικές θέσεις σε μια συσκευή. Στη δομή wurtzite, οι καταστάσεις \(X\) και \(Y\) σχετίζονται συμμετρικά, ενώ η \(Z\) διακρίνεται από τον άξονα c.

Αυτό επιτρέπει στο κρυσταλλικό δυναμικό να μετατοπίσει την ενέργεια της κατάστασης που μοιάζει με \(Z\) σε σχέση με τις καταστάσεις που μοιάζουν με \(X,Y\), ακόμη και πριν ληφθεί υπόψη η ιδιοπεριστροφή. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται διαχωρισμός κρυσταλλικού πεδίου και απεικονίζεται στο ??. Η ιδιοπεριστροφή στη συνέχεια αναμιγνύει τον τροχιακό και τον ιδιοπεριστροφικό χαρακτήρα και παράγει τρία ζεύγη ηλεκτρονίων σθένους, τα οποία συχνά ονομάζονται ζώνες A, B και C.

Η τροχιακή τους ιδιότητα είναι σημαντική. Μια ζώνη που περιέχει κυρίως τροχιακό χαρακτήρα εντός του επιπέδου \(X,Y\) συνήθως αλληλεπιδρά διαφορετικά με το πολωμένο φως από μια ζώνη που περιέχει σημαντικό τροχιακό χαρακτήρα κατά μήκος του άξονα c \(Z\). Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η διασπορά του κρυσταλλικού πεδίου δεν είναι απλώς μια μικρή διόρθωση στο ενεργειακό χάσμα· μπορεί να επηρεάσει τις οπτικές ιδιότητες των κβαντικών φρεάτων νιτριδίου.

Από πού προέρχονται οι οκτώ ζώνες;

Όπως και στην δομή της σφαλερίτης, διατηρούμε μία κυρίαρχη τροχιακή συνάρτηση αγωγιμότητας τύπου s, \(S\), και τρεις κυρίαρχες τροχιακές συναρτήσεις σθένους τύπου p, \(X\), \(Y\) και \(Z\). Κάθε τροχιακή συνάρτηση έχει δύο σπινικές συνιστώσες, δίνοντας οκτώ βασικές καταστάσεις:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Αντί να λύσουμε οκτώ ανεξάρτητες εξισώσεις, τοποθετούμε αυτές τις καταστάσεις σε μια ενιαία μήτρα Hamiltonian. Τα διαγώνια στοιχεία της περιγράφουν τις ενέργειες που σχετίζονται με τις μεμονωμένες βασικές καταστάσεις· τα μη διαγώνια στοιχεία περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο αλληλεπιδρούν. Είναι χρήσιμο να διαιρέσουμε τη μήτρα σε μπλοκ αγωγιμότητας, μπλοκ σθένους και μπλοκ σύζευξης:

\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]

Το μπλοκ αγωγιμότητας περιέχει δύο σπινικές καταστάσεις, το μπλοκ σθένους περιέχει έξι, και το \(H_{cv}\) τις συνδέει. Το σύμβολο \(\dagger\) υποδηλώνει το Ερμιτιανό συζυγές. Αφού διαγωνοποιήσουμε αυτόν τον πίνακα, λαμβάνουμε ενέργειες και ιδιοδιανύσματα των οποίων οι συνιστώσες αγωγιμότητας, σθένους, τροχιακής και σπινικής μπορούν να αναμιχθούν.

Γιατί υπάρχουν δύο μάζες στην ενεργειακή ζώνη αγωγιμότητας;

Στο σεμινάριο για παραβολικές ζώνες, η καμπυλότητα μιας ζώνης ελέγχονταν από μια αποτελεσματική μάζα. Η δομή Wurtzite μας επιτρέπει να διακρίνουμε την κίνηση κατά μήκος του άξονα c από την κίνηση στο βασικό επίπεδο. Χρησιμοποιώντας το \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\), μια απλή κατευθυντική διασπορά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]

Ως εκ τούτου, το ηλεκτρόνιο μπορεί να αποκτήσει ενέργεια με διαφορετικούς ρυθμούς, ανάλογα με το αν η κίνησή του είναι παράλληλη ή κάθετη προς τα στρώματα. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό για μια κβαντική πηγή τύπου c, όπου ο περιορισμός συμβαίνει κατά μήκος του \(z\), αλλά οι υποζώνες απεικονίζονται σε σχέση με το \(k_{\parallel}\).

Στο πολυζωνικό μοντέλο Hamiltonian, το OghmaNano χρησιμοποιεί δύο παραμέτρους αγωγιμότητας: \(S_1\) για τον άξονα c και \(S_2\) για το βασικό επίπεδο:

\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]

Αυτές οι παράμετροι περιγράφουν την υπολειπόμενη καμπυλότητα του μπλοκ αγωγιμότητας. Οι τελικές μάζες στις άκρες της ζώνης εξαρτώνται επίσης από τη σύζευξη με τις καταστάσεις της ζώνης σθένους, την οποία συμπεριλαμβάνουμε ρητά παρακάτω. Ως εκ τούτου, οι παράμετροι πρέπει να επιλέγονται με συνέπεια, ώστε η ίδια συμβολή μεταξύ των ζωνών να μην υπολογίζεται δύο φορές.

Γιατί η ουρτσιτίτη χρειάζεται δύο παραμέτρους Kane;

Στην εισαγωγή στην θεωρία k·p, συναντήσαμε στοιχεία της μήτρας ορμής που συνδέουν διαφορετικές τροχιακές καταστάσεις. Για παράδειγμα, μια αγώγιμη κατάσταση τύπου s συνδέεται με τις τρεις απολήξεις τύπου p. Η ένταση αυτών των αλληλεπιδράσεων είναι γνωστή ως παράμετροι Kane.

Η δομή Wurtzite απαιτεί διαφορετικές τιμές της σταθεράς σύζευξης για τον άξονα c και το βασικό επίπεδο:

• \(P_2\): σύζευξη μεταξύ των \(S\) και των επιπέδιων τροχιακών \(X,Y\) μέσω του \(k_x,k_y\).
• \(P_1\): σύζευξη μεταξύ \(S\) και της τροχιάς κατά μήκος του άξονα c \(Z\) μέσω \(k_z\).

Στην ορολογία που χρησιμοποιείται εδώ, τα αντιπροσωπευτικά στοιχεία του Χαμιλτονιανού είναι:

\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]

Οι συζυγείς Ερμιτιανές τους εμφανίζονται στην άλλη πλευρά του πίνακα. Οι παράμετροι καθορίζονται συχνά μέσω των ενεργειών Kane:

\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]

Το γεγονός ότι υπάρχουν δύο συζεύξεις σημαίνει ότι οι ηλεκτρονικές καταστάσεις αντιδρούν διαφορετικά στις αλληλεπιδράσεις κατά μήκος και κάθετα στον άξονα c. Αυτό θα μας δώσει επίσης μια άμεση εξήγηση για τους οπτικούς κανόνες επιλογής TE και TM αργότερα.

Γιατί χρειαζόμαστε έξι παραμέτρους σθένους;

Η ζώνη αγωγιμότητας ξεκινά με μια μοναδική τροχιακή συνάρτηση τύπου s για κάθε σπιν. Η ζώνη σθένους περιέχει τρεις τροχιακές συναρτήσεις τύπου p ανά σπιν, οι οποίες είναι στενά διαχωρισμένες ενεργειακά. Καθώς αλλάζει ο διανυσματικός κύματος, αυτές οι καταστάσεις μπορούν να αναμιχθούν αντί να ακολουθούν τρεις ανεξάρτητες παραβολές.

Το μοντέλο Wurtzite περιγράφει την κατευθυντική καμπυλότητα και την ανάμειξη αυτών των καταστάσεων χρησιμοποιώντας έξι παραμέτρους που συνήθως καταγράφονται σε πίνακες, από το \(A_1\) έως το \(A_6\), γνωστές ως παράμετροι Rashba–Sheka–Pikus. Ορισμένες από αυτές καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο οι ενέργειες των ζωνών αλλάζουν κατά την κίνηση κατά μήκος ή κάθετα στον άξονα c, ενώ άλλες ελέγχουν τη σύζευξη μεταξύ των τροχιακών συνιστωσών.

Αφήνοντας προσωρινά στην άκρη την έννοια της στροφορμής και άλλους όρους, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων που περιγράφει τη δομή της ηλεκτρονιακής ζώνης ως συνάρτηση του διανύσματος κύματος έχει την ακόλουθη σχηματική μορφή:

\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]

Τα διαγώνια στοιχεία περιγράφουν κυρίως τη συμπεριφορά των \(X\), \(Y\) και \(Z\). Τα μη διαγώνια στοιχεία τα αναμιγνύουν όταν υπάρχουν οι αντίστοιχες συνιστώσες του διανυσματικού κύματος. Αυτή η ανάμιξη είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους οι υποζώνες αγωγιμότητας που υπολογίζονται δεν μπορούν γενικά να αντικατασταθούν από τρεις απλές παραβολές.

Πώς η OghmaNano χρησιμοποιεί τις παραμέτρους A1–A6.

Οι παρακάτω ορισμοί τεκμηριώνουν τη σύμβαση για τους καρτεσιανούς συντελεστές που χρησιμοποιείται στο υπάρχον μοντέλο wurtzite του OghmaNano. Αρχικά, ορίζουμε:

\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]

Όταν η συνεισφορά των ελεύθερων ηλεκτρονίων \(A_0k^2\) αναπαρασταθεί ξεχωριστά, οι διαγώνιες τιμές της βαλεντικής μήτρας είναι:

\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]

Τα διαγώνια στοιχεία είναι \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) και \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), με τις αντίστοιχες Ερμιτιανές τιμές να υπονοούνται. Η αναφορά \(E_{v,\mathrm{av}}\) επιλέγεται με συνέπεια σε σχέση με τους όρους κρυσταλλικού πεδίου και την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς. Οι συμβάσεις παραμέτρων διαφέρουν μεταξύ των δημοσιεύσεων, επομένως οι αριθμητικές τιμές που παρουσιάζονται σε πίνακες δεν θα πρέπει να μεταφέρονται μεταξύ διαφορετικών συμβάσεων του Hamiltonian χωρίς να ελέγχεται πού έχουν συμπεριληφθεί οι συνεισφορές των ελεύθερων ηλεκτρονίων και των διαζωνικών μεταπτώσεων.

Προσθέτοντας σπιν: Τα τρία ζεύγη σθένους.

Μπορούμε πλέον να επιστρέψουμε στο διάγραμμα του κρυσταλλικού πεδίου. Σύμφωνα με τη σύμβαση της OghmaNano, οι σχετικές παράμετροι διαχωρισμού συμβολίζονται ως \(\delta_1\), \(\delta_2\) και \(\delta_3\). Ο όρος του κρυσταλλικού πεδίου \(\delta_1\) διακρίνει τις βασικές τροχιακές από την τροχιακή κατά μήκος του άξονα c. Οι δύο υπόλοιπες παράμετροι περιγράφουν τη σύζευξη σπιν-τροχιάς, η οποία αναμιγνύει τον τροχιακό και τον σπινικό χαρακτήρα.

Η διαγωνοποίηση του μπλοκ της σθένους στο κέντρο της ζώνης παράγει τρία στενά διαχωρισμένα επίπεδα σθένους με διπλή εκφύλιση (A, B και C). Η σειρά τους καθορίζεται από τις παραμέτρους του υλικού και όχι από την υπόθεση ότι μια συγκεκριμένη τροχιακή συνάρτηση πρέπει πάντα να είναι η υψηλότερη. Το OghmaNano ορίζει την αναφορά της ενέργειας σθένους έτσι ώστε το υψηλότερο επίπεδο σθένους που προκύπτει στο κέντρο της ζώνης να συμφωνεί με την επιλεγμένη άκρη της ζώνης σθένους \(E_v\).

Αυτό έχει σημασία από οπτικής άποψης: η φύση της ανώτερης ενεργειακής ζώνης καθορίζει ποια πόλωση μπορεί να συνδεθεί ισχυρότερα με τις μεταπτώσεις μεταξύ ζωνών χαμηλότερης ενέργειας.

Πώς επηρεάζει η τάση τις ενεργειακές ζώνες του ορυκτού Wurtzite;

Μια στρώση κβαντικού πηγαδιού καλλιεργείται συνήθως πάνω σε έναν άλλο ημιαγωγό. Εάν τα υλικά έχουν διαφορετικές φυσικές διαστάσεις πλέγματος, μια λεπτή στρώση μπορεί να αναγκαστεί να προσαρμοστεί στην επίπεδη απόσταση των γειτονικών της στρωμάτων. Αυτό δημιουργεί τάση, η οποία μετατοπίζει και αναμιγνύει τις ηλεκτρονικές καταστάσεις.

Σε μια δομή τύπου c, οι συνιστώσες της παραμόρφωσης στο επίπεδο μπορούν να είναι παρόμοιες μεταξύ τους, ενώ η παραμόρφωση κατά μήκος του άξονα c είναι διαφορετική. Επομένως, η δομή τύπου Wurtzite απαιτεί κατευθυντικές δυναμικές παραμόρφωσης. Η OghmaNano χρησιμοποιεί το \(a_1,a_2\) για τη συνεισφορά της ζώνης αγωγιμότητας και τα \(D_1\)–\(D_6\) για τη μήτρα παραμόρφωσης της ζώνης σθένους.

Σύμφωνα με τις υπάρχουσες προδιαγραφές της τεκμηρίωσης του μοντέλου, η μετατόπιση της αγωγιμότητας αναγράφεται ως εξής:

\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]

Οι συντελεστές τάσης σθένωσης προκύπτουν από συνδυασμούς των \(D_i\), με τρόπο ανάλογο με τους κατευθυντικούς κινητικούς συντελεστές:

\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]

Για ιδανική ψευδομορφική ανάπτυξη στον κ-επίπεδο χωρίς παραμόρφωση λόγω διάτμησης, οι όροι που είναι ανάλογοι με τις συνιστώσες διάτμησης μηδενίζονται. Παραμένουν απαραίτητοι για πιο γενικές κατευθύνσεις ανάπτυξης και πεδία παραμόρφωσης. Το σημαντικό αποτέλεσμα είναι ότι η παραμόρφωση μπορεί να αλλάξει το ενεργειακό χάσμα και να αναδιατάξει τις ανώτερες καταστάσεις σθένους, με συνέπειες για την οπτική πόλωση.

Από την τροχιακή χαρακτηριστική συνάρτηση στις οπτικές μεταπτώσεις TE και TM.

Το οπτικό-μεταβάσεων σεμινάριο εξήγησε πώς η διαφορά ενέργειας μεταξύ μιας αγώγιμης και μιας ενεργειακής ζώνης καθορίζει την ενέργεια του φωτονίου. Ωστόσο, η απλή διατήρηση της ενέργειας δεν μας λέει πόσο έντονα μια μετάβαση συνδέεται με το φως. Ο προσανατολισμός του ηλεκτρικού πεδίου του φωτός έχει επίσης σημασία.

Για τη συνήθη γεωμετρία κβαντικού πηγαδιού τύπου c, διακρίνουμε:

• Πολωρισμός TE: ηλεκτρικό πεδίο εντός της βασικής επιφάνειας, κάθετο στον άξονα c. Ερευνά κυρίως τον χαρακτήρα της ζώνης αγωγιμότητας \(X,Y\) μέσω της σύζευξης Kane \(P_2\).
• Πολωρισμός TM: το ηλεκτρικό πεδίο είναι παράλληλο στον άξονα c. Διερευνά τον χαρακτήρα της ζώνης αγωγιμότητας \(Z\) μέσω της \(P_1\).

Για μια συγκεκριμένη διεύθυνση πόλωσης του φωτός \(\mathbf e\), το πλάτος της οπτικής μετάπτωσης περιλαμβάνει το στοιχείο της μήτρας ορμής:

\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]

Το στοιχείο της μήτρας περιλαμβάνει τόσο την κατάλληλη κατευθυντική σύζευξη Kane όσο και την επικάλυψη των κυματικών συναρτήσεων των ηλεκτρονίων και των οπών. Αυτό εξηγεί γιατί η ίδια κβαντική φρεάτιδα μπορεί να παράγει διαφορετικές οπτικές εντάσεις TE και TM, ακόμη και για μεταπτώσεις μεταξύ των ίδιων ενεργειακών επιπέδων.

Τώρα μπορούμε να κατανοήσουμε γιατί ήταν χρήσιμο να εισαχθούν πρώτα η διάσπαση του κρυσταλλικού πεδίου, η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς και η τάση: αυτές καθορίζουν τον ορμπιταλικό συνδυασμό των ενεργειακών επιπέδων, ο οποίος με τη σειρά του καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο αυτά τα επίπεδα αλληλεπιδρούν με το φως διαφορετικής πόλωσης. Αυτό είναι σημαντικό κατά τη μοντελοποίηση των νιτριδικών LED και λέιζερ. Οι προκύπτουσες μεταπτώσεις με πόλωση TE και TM μπορούν να εξερευνηθούν στο GaN/AlGaN eight-band wurtzite k·p quantum-well tutorial.

Πώς εφαρμόζεται το μοντέλο σε μια κβαντική δεξαμενή;

Μέχρι στιγμής, έχουμε χρησιμοποιήσει τις συνιστώσες του διανυσματικού κύματος \(k_x,k_y,k_z\) για να περιγράψουμε τις ενεργειακές ζώνες του όγκου. Σε μια κβαντική φρεάτιδα που αναπτύσσεται κατά μήκος του άξονα c, τα ηλεκτρόνια και οι οπές περιορίζονται κατά μήκος του \(z\), αλλά μπορούν ακόμα να κινούνται μέσα στην επιφάνεια \(x\)-\(y\). Όπως και στο μοντέλο της σφαλερίτης, η συνιστώσα του διανυσματικού κύματος κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης γίνεται ένας διαφορικός τελεστής:

\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]

Ως εκ τούτου, η οκταζωνική εξίσωση Hamiltonian επιλύεται για οκτώ συνδεδεμένα στοιχεία περιβάλλουσας σε όλη τη στοίβα στρωμάτων, σε επιλεγμένους επιπεδικούς διανυσματικούς κύματος. Το δυναμικό, οι παράμετροι αποτελεσματικής μάζας, η σύζευξη Kane και η τάση μπορούν όλα να αλλάξουν μεταξύ των υλικών της περιοχής και του φραγμού. Οι συντελεστές που εξαρτώνται από τη θέση και οι όροι παραγώγισης απαιτούν μια συνεπή διακριτοποίηση της διεπαφής Hermitian.

Σ ένα πλέγμα με \(N_z\) σημεία, υπάρχουν οκτώ συνιστώσες σε κάθε σημείο, δημιουργώντας ένα συνδεδεμένο αριθμητικό πρόβλημα με \(8N_z\) αγνώστους. Οι ιδιοτιμές του παρέχουν τις περιορισμένες καταστάσεις· οι ιδιοδιανύσματα περιγράφουν τη χωρική, τροχιακή και σπινική περιεκτικότητα αυτών των καταστάσεων. Επαναλαμβάνοντας την επίλυση σε διαφορετικά διανύσματα κυμάτων στο επίπεδο, παράγονται οι ηλεκτρονικές υποζώνες. Αυτές στη συνέχεια χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των εξαρτώμενων από την πόλωση οπτικών μεταπτώσεων.

Τι έχει προσφέρει το μοντέλο των οκτώ επιπέδων;

Το παραβολικό μοντέλο αποτελεί ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης για την κβαντική περιορισμό, αλλά δεν μπορεί να περιγράψει τη σύζευξη μεταξύ στενά διαχωρισμένων ενεργειακών ζωνών ή την πλήρη κατευθυντική οπτική απόκριση του υλικού wurtzite. Το μοντέλο οκτώ ζωνών διατηρεί την ίδια γενική εικόνα των περιορισμένων καταστάσεων και των υποζωνών, ενώ παράλληλα προσθέτει τις φυσικές ιδιότητες που απαιτούνται για την εξαγωνική κρυσταλλική δομή.