Κβαντικό πηγάδι GaN/AlGaN: Εκπαιδευτικό υλικό 8 ζωνών για τη μέθοδο k·p της ουρτζίτης.
1. Εισαγωγή
Σε αυτό το σεμινάριο, θα υπολογίσουμε τις ηλεκτρονικές καταστάσεις και την οπτική απόκριση μιας κβαντικής πηγάδας GaN που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο φραγμούς AlGaN, χρησιμοποιώντας το μοντέλο οκτώ ζωνών wurtzite k·p του OghmaNano. Το παράδειγμα περιλαμβάνει μια πηγάδα GaN 10 nm και δύο στρώσεις AlGaN 20 nm. Αρχικά, θα εκτελέσουμε το παρεχόμενο παράδειγμα και στη συνέχεια θα εξετάσουμε τις διασπορές των υποζωνών αγωγιμότητας και σθένους, καθώς και τα προκύπτοντα οπτικά φάσματα.
Εδώ είναι σημαντική η διάκριση μεταξύ των κρυσταλλικών δομών wurtzite και zincblende. Και οι δύο είναι ημιαγώγιμες, αλλά η wurtzite έχει έναν προτιμώμενο εξαγωνικό άξονα c. Η διαφορετική κρυσταλλική συμμετρία επηρεάζει τη διάσπαση της ενεργειακής ζώνης, τη σύζευξη μεταξύ των ηλεκτρονικών καταστάσεων και την ένταση του πολωμένου φωτός σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Ως εκ τούτου, ένας υπολογισμός οκτώ ζωνών για τη δομή zincblende δεν μπορεί απλώς να χρησιμοποιηθεί ξανά με τις παραμέτρους του υλικού GaN.
2. Άνοιγμα του παραδείγματος οκταζωνικής δομής wurtzite.
Από την καρτέλα Αρχείο, κάντε κλικ στην επιλογή Νέα προσομοίωση. Στο παράθυρο που θα εμφανιστεί, κάντε διπλό κλικ στην επιλογή Δείγματα GaAs (??). Παρά την ονομασία της κατηγορίας, περιέχει επίσης παραδείγματα κβαντικών φρεάτων νιτριδίου και πυριτίου. Στο επόμενο παράθυρο, κάντε διπλό κλικ στην επιλογή GaN Wurtzite 8 band k.p (??). Αυτό ανοίγει την προετοιμασμένη στοίβα υλικών και επιλέγει την κατάλληλη επίδειξη.
3. Επιθεώρηση της κβαντικής πηγής GaN/AlGaN.
Το κύριο παράθυρο εμφανίζει την τριστρωματική δομή (??). Στην πραγματική υπολογιστική διαδικασία της κβαντικής περιοχής, ο περιορισμός γίνεται κατά μήκος του πάχους αυτής της στοίβας: οι ηλεκτρονικές κυματοσυνάρσεις μεταβάλλονται σε διάφορα στρώματα, ενώ τα διαγράμματα διασποράς περιγράφουν την κίνηση παράλληλη προς αυτά.
Κάντε κλικ στην επιλογή "Επεξεργαστής επιπέδων" στην αριστερή εργαλειοθήκη. Όπως φαίνεται στην εικόνα ??, το παράδειγμα χρησιμοποιεί την ακόλουθη γεωμετρία:
| στρώση | πάχος | Τύπος |
|---|---|---|
| AlGaN | 20 νανόμετρα | Ενεργό / εμπόδιο |
| GaN (ποσοτική δομή) | 10 ναυτικά μίλια | Κβαντική πηγή |
| AlGaN | 20 νανόμετρα | Ενεργό / εμπόδιο |
Για την πρώτη σας δοκιμή, αφήστε τις προκαθορισμένες ρυθμίσεις υλικών ως έχουν. Η εικόνα οθόνης δείχνει τα πάχη των στρώσεων, αλλά δεν εμφανίζει την μοριακή κλάσμα του Al, τη διαμόρφωση της τάσης ή τις παραμέτρους πόλωσης· αυτά θα πρέπει να ελεγχθούν στις ρυθμίσεις υλικών του παραδείγματος πριν χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση μιας συγκεκριμένης πλάκας που χρησιμοποιείται σε ένα πείραμα.
4. Γιατί να χρησιμοποιηθεί μια οκταζωνική ομογενοποιημένη συνάρτηση Wurtzite;
Ένα απλό παραβολικό μοντέλο αποδίδει μια αποτελεσματική μάζα σε κάθε φορέα και υποθέτει ότι η ενέργειά του μεταβάλλεται κατά προσέγγιση ανάλογα με το τετράγωνο του διανυσματικού κύματος στο επίπεδο. Αυτό είναι χρήσιμο κοντά σε ένα ακραίο σημείο της ζώνης, αλλά δεν μπορεί να περιγράψει πώς οι διάφορες καταστάσεις της ζώνης αγωγιμότητας αλληλεπιδρούν μεταξύ τους καθώς αυξάνεται το διανυσματικό κύμα. Στα υλικά τύπου wurtzite, το εξαγωνικό κρυσταλλικό περιβάλλον διακρίνει επίσης την κίνηση και την πόλωση του φωτός κατά μήκος του άξονα c από αυτές στο κάθετο επίπεδο.
Η προσέγγιση των οκτώ ζωνών διατηρεί μια τροχιακή μορφή παρόμοια με αυτή ενός αγωγού και τρεις τροχιακές μορφές παρόμοιες με αυτές ενός σθένους, καθεμία από τις οποίες έχει δύο συστατικά σπιν. Εννοιολογικά, μια ιδιοκατάσταση έχει τη μορφή:
\[ \Psi_{n,\mathbf{k}_{\parallel}}(\mathbf{r})= e^{i\mathbf{k}_{\parallel}\cdot\mathbf{r}_{\parallel}} \sum_{\alpha=1}^{8}F_{n\alpha}(z)u_{\alpha}(\mathbf{r}), \]
όπου οι συναρτήσεις \(F_{n\alpha}(z)\) περιγράφουν τον περιορισμό σε όλη την περιοχή του πηγαδιού και \(u_\alpha\) είναι οι οκτώ βασικές καταστάσεις Bloch. Ως εκ τούτου, μια δεδομένη περιορισμένη κατάσταση μπορεί να έχει συνεισφορές από περισσότερα από ένα τροχιακά της ενεργειακής ζώνης σθένους· αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η περιγραφή κάθε έγχρωμης καμπύλης χρησιμοποιώντας μια ενιαία, σταθερή ετικέτα για τις βαριές οπές ή τις ελαφριές οπές μπορεί να είναι παραπλανητική μακριά από το όριο της ζώνης.
Η διάταξη της ενεργειακής ζώνης σθένους του wurtzite επηρεάζεται από τις αλληλεπιδράσεις του κρυσταλλικού πεδίου και της στροφο-τροχιακής αλληλεπίδρασης. Σε μια συνοπτική μορφή, ο υπολογισμός επιλύει:
\[ H_{8\times8}\!\left(k_x,k_y,-i\frac{\partial}{\partial z}\right) \mathbf{F}_n(z)=E_n(\mathbf{k}_{\parallel})\,\mathbf{F}_n(z). \]
Παρατηρήστε ότι ο διανυσματικός κύματος στο επίπεδο διατηρείται ρητά, ενώ ο διανυσματικός κύματος στην κατεύθυνση ανάπτυξης αντικαθίσταται από έναν διαφορικό τελεστή. Επαναλαμβάνοντας αυτό το πρόβλημα ιδιοτιμών για διαφορετικά \(k_{\parallel}\), παράγονται τα διαγράμματα διασποράς των υποζωνών που εμφανίζονται παρακάτω. Μια πιο λεπτομερής συζήτηση σχετικά με τη βάση, τους όρους του κρυσταλλικού πεδίου και τους συντελεστές των υλικών δίνεται στο κεφάλαιο για τη θεωρία Wurtzite k·p.
5. Εκτελέστε την προσομοίωση.
Επιστρέψτε στην καρτέλα "Αρχείο" και πατήστε "Εκτέλεση προσομοίωσης". Ανοίξτε την καρτέλα "Τερματικό" για να παρακολουθήσετε την πρόοδο. Στο ??, το τερματικό εντοπίζει τον επιλυτή WZ KP8, αναφέρει τη συναρμολόγηση της αραιής μήτρας, εκτυπώνει πληροφορίες σύγκλισης και προχωρά στα δειγματοληπτικά διανυσματικά κύματα. Επίλυει τις ηλεκτρονικές και τις καταστάσεις σθένους ξεχωριστά σε κάθε σημείο.
Επειδή πρόκειται για ένα πρόβλημα πολλαπλών συνιστωσών που αφορά τη συνάρτηση περιβάλλουσας, είναι πιο περίπλοκο από την επίλυση μιας ανεξάρτητης παραβολικής εξίσωσης για κάθε ζώνη. Περιμένετε μέχρι να ολοκληρωθούν ο επιλυτής ιδιοτιμών και οι επακόλουθες οπτικές υπολογίσεις, πριν ελέγξετε τα αρχεία που προκύπτουν.
5.1 Έλεγχος των οπτικών εντάσεων μετάπτωσης
Στο μεταγενέστερο στάδιο της προσομοίωσης, το πρόγραμμα αναφέρει τις τιμές της οπτικής μήτρας (??). Για μια συμβατική κρυσταλλική δομή τύπου c-plane wurtzite, το TE αναφέρεται στο οπτικό ηλεκτρικό πεδίο κάθετο στον άξονα c, ενώ το TM αναφέρεται στην συνιστώσα του παράλληλη προς αυτόν τον άξονα. Αυτές οι πολωσιμότητες δεν είναι απαραίτητο να συνδέονται εξίσου ισχυρά με μια συγκεκριμένη ηλεκτρονική μετάβαση.
Ένας χρήσιμος τρόπος για να αντιληφθεί κανείς την οπτική ισχύ είναι μέσω του τετραγώνου του στοιχείου της μεταβατικής μήτρας:
\[ M_{cv}^{(\mathbf{e})}(\mathbf{k}_{\parallel})= \left\langle\Psi_{c,\mathbf{k}_{\parallel}}\middle| \mathbf{e}\!\cdot\!\mathbf{p}\middle| \Psi_{v,\mathbf{k}_{\parallel}}\right\rangle, \qquad S_{cv}^{(\mathbf{e})}\propto\left|M_{cv}^{(\mathbf{e})}\right|^2. \]
Εδώ, το \(\mathbf{e}\) καθορίζει την πόλωση του φωτός και το \(\mathbf{p}\) είναι ο τελεστής ορμής. Μια κατάσταση μπορεί να υπάρχει στην ηλεκτρονική δομή ζωνών, αλλά να συνεισφέρει πολύ λίγο σε μια συγκεκριμένη οπτική πόλωση εάν το στοιχείο της μήτρας είναι μικρό. Επομένως, οι σχετικές τιμές TE/TM στο άκρο παρέχουν επιπλέον φυσικές πληροφορίες πέρα από τις απλές θέσεις των ενεργειακών επιπέδων.
6. Κατανόηση των υπολογισμένων ηλεκτρονικών ζωνών.
Ο οριζόντιος άξονας κάθε γραφήματος ζώνης είναι η οριζόντια διανυσματική συνιστώσα \(k_{\parallel}\), και όχι η θέση εντός της κβαντικής φρεάτιδας. Ο κατακόρυφος άξονας είναι η ενέργεια μιας περιορισμένης υποζώνης. Στο σημείο \(k_{\parallel}=0\), κάθε καμπύλη ξεκινά από μία από τις διακριτές ενέργειες περιορισμού. Η κίνηση προς τα δεξιά δείχνει πώς η ίδια ηλεκτρονική κατάσταση διασκορπίζεται όταν ο φορέας κινείται παράλληλα προς τα στρώματα.
6.1 Καταστάσεις στη ζώνη αγωγιμότητας
Ανοίξτε την έξοδο της ζώνης αγωγιμότητας και εξετάστε τη διασπορά στο ??. Είναι ορατά αρκετά διακριτά ενεργειακά επίπεδα, τα οποία ξεκινούν από διαφορετικές ενέργειες κοντά στην άκρη της ζώνης του GaN. Για μικρή διανυσματική κυματάριθμο, μια χρήσιμη προσέγγιση για μια υποζώνη αγωγιμότητας είναι
\[ E_{c,n}(k_{\parallel})\simeq E_{c,n}(0) +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}}. \]
Ο όρος \(E_{c,n}(0)\) περιέχει την ενέργεια περιορισμού, ενώ ο \(m_{e,\parallel}^{*}\) περιγράφει την απόκριση του φορέα στην κίνηση στο ίδιο επίπεδο. Αυτή η σχέση βοηθά στην εξήγηση των περίπου αυξανόμενων καμπυλών, αν και η πλήρης υπολογιστική προσέγγιση με οκτώ ζώνες διατηρεί τη διαζωνική σύζευξη αντί να επιβάλλει ένα σταθερό παραβολικό σχήμα.
6.2 Καταστάσεις στη ζώνη σθένους
Η γραφική παράσταση της ενεργειακής ζώνης σθένους (??) είναι πιο περίπλοκη. Το άνω τμήμα της αρχικά αυξάνεται απομακρυνόμενο από το \(k_{\parallel}=0\) πριν καμπυλωθεί προς τα κάτω· αρκετά από τα κατώτερα τμήματα έχουν εμφανώς διαφορετικές καμπυλότητες. Τέτοια σχήματα είναι δυνατά σε ένα συνδυασμένο μοντέλο ενεργειακής ζώνης σθένους τύπου wurtzite, στο οποίο η διαίρεση του κρυσταλλικού πεδίου, η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς, ο περιορισμός και η ανάμιξη των ζωνών δρουν από κοινού.
Αυτή η απεικόνιση δεν θα πρέπει να ερμηνεύεται ως απόδειξη ότι κάθε έγχρωμη καμπύλη έχει μια σταθερή ταυτότητα στις ζώνες Α, Β ή Γ σε όλο το εύρος του διανυσματικού κύματος. Για να γίνει μια οριστική αντιστοίχιση, εξετάστε τις συνεισφορές των υποκείμενων συνιστωσών των ιδιοδιανυσμάτων. Ομοίως, ασυνήθιστα ακραία σημεία εκτός του κέντρου αξίζει να συγκριθούν με τις επιλεγμένες παραμέτρους υλικού και τάσης, εάν το μοντέλο χρησιμοποιείται ποσοτικά.
7. Οπτικές μεταπτώσεις, διεγερμένη εκπομπή και απορρόφηση.
Οι ηλεκτρονικές ζώνες καθορίζουν τις ενέργειες των πιθανών οπτικών μεταπτώσεων, αλλά οι εντάσεις των μεταπτώσεων εξαρτώνται επίσης από τις κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων και των οπών, την πόλωση και την πληρότητα των φορέων. Σε έναν κοινό διανυσματικό κύμα εντός του επιπέδου, η ενέργεια του φωτονίου για μια κάθετη μετάπτωση είναι
\[ \hbar\omega=E_{c,n}(\mathbf{k}_{\parallel}) -E_{v,m}(\mathbf{k}_{\parallel}). \]
Ο χρυσός κανόνας του Φέρμι εξηγεί γιατί τα οπτικά στοιχεία μήτρας που εμφανίζονται στο τερματικό είναι σημαντικά. Σε σχηματική μορφή, ο ρυθμός για μια μετάβαση είναι:
\[ W_{v\rightarrow c}^{(\mathbf{e})}= \frac{2\pi}{\hbar}\left|H_{cv}^{\prime(\mathbf{e})}\right|^2 \delta\!\left(E_c-E_v-\hbar\omega\right). \]
Το στοιχείο της μήτρας διαταραχής \(H'_{cv}\) εξαρτάται από την πόλωση του φωτός και τις συμμετέχουσες καταστάσεις. Η συνάρτηση δέλτα επιβάλλει τη διατήρηση της ενέργειας· κατά την κατασκευή ενός πρακτικού φάσματος, οι συνεισφορές των επιτρεπόμενων μεταπτώσεων αθροίζονται στις δειγματοληπτικές καταστάσεις και διευρύνονται. Οι παράγοντες πληρότητας των φορέων καθορίζουν στη συνέχεια εάν η απορρόφηση ή η διεγερμένη εκπομπή κυριαρχεί σε ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος. Ένας βολικός σχηματικός συνολικός παράγοντας είναι ο \(f_c-f_v\), όπου οι \(f_c\) και \(f_v\) είναι οι πληρότητες των ηλεκτρονίων στις καταστάσεις αγωγιμότητας και σθένους, αντίστοιχα.
Επειδή η στρώση GaN έχει μεγάλο ενεργειακό χάσμα, τα υπολογισμένα φάσματά της εμφανίζονται στην περιοχή του σχεδόν υπεριώδους, κυρίως γύρω στα 330–370 nm στο παρεχόμενο παράδειγμα. Το μήκος κύματος και η ενέργεια των φωτονίων συνδέονται μέσω της εξίσωσης \(E_{\gamma}=hc/\lambda\).
7.1 Επαγόμενη εκπομπή και καθαρό κέρδος
Το διάγραμμα της διεγερμένης εκπομπής (??) περιέχει μια σειρά φασμάτων για διαφορετικές συνθήκες φορέα. Ο υπολογισμός της καθαρής ενίσχυσης (??) λαμβάνει υπόψη τον ανταγωνισμό μεταξύ εκπομπής και απορρόφησης. Μια θετική ενίσχυση του υλικού υποδεικνύει ενίσχυση εντός αυτού του ηλεκτρονικού μοντέλου, αλλά από μόνη της δεν αποδεικνύει ότι μια πλήρης κοιλότητα λέιζερ έχει φτάσει στο όριο: πρέπει επίσης να λαμβάνονται υπόψη ο παράγοντας περιορισμού και οι απώλειες του συντονιστή.
7.2 Απορρόφηση
Τα αποτελέσματα της απορρόφησης παρουσιάζονται στο ??. Οι άκρες και τα φασματικά χαρακτηριστικά τους καθορίζονται από τις αποστάσεις μεταξύ των καταλημμένων ενεργειακών επιπέδων και των διαθέσιμων ενεργειακών επιπέδων αγωγιμότητας, σταθμισμένες από τα οπτικά στοιχεία της μήτρας. Σε μια κβαντική περιοχή τύπου wurtzite, τα αντίστοιχα φάσματα TE και TM ενδέχεται να διαφέρουν επειδή η τροχιακή σύσταση μιας ενεργειακής κατάστασης καθορίζει πόσο έντονα συνδέεται με κάθε πόλωση.
Τα χαρακτηριστικά που παρατηρούνται σε αυτά τα φάσματα είναι αποτέλεσμα του διαμορφωμένου μοντέλου και της διεύρυνσης. Δεν θα πρέπει να ταυτίζονται αυτόματα με συγκεκριμένα εξιτονικά μέγιστα: μια υπολογιστική προσέγγιση που βασίζεται στην ενδοζωνική μετάβαση ενός μεμονωμένου σωματιδίου (k·p) δεν αποτελεί, από μόνη της, μια πλήρη περιγραφή των εξιτονίων που συνδέονται μέσω της αλληλεπίδρασης Coulomb μεταξύ ηλεκτρονίων και οπών.
8. Αυθόρμητη εκπομπή.
Σε αντίθεση με την διεγερμένη εκπομπή, η αυθόρμητη εκπομπή συμβαίνει χωρίς την παρουσία ενός προσπίπτοντος φωτονίου που να προκαλεί τη μετάβαση. Εξαρτάται από τη διαθεσιμότητα ενός ηλεκτρονίου στην αγώγιμη ζώνη και μιας κενής θέσης στη ζώνη σθένους (μιας οπής). Ο ηλεκτρονικός παράγοντας πληρότητας είναι επομένως ανάλογος με
\[ R_{\mathrm{sp}}(\omega)\ \propto\ \sum_{c,v,\mathbf{k}_{\parallel}} \left|M_{cv}(\mathbf{k}_{\parallel})\right|^2 f_c(1-f_v)\,L\!\left(E_c-E_v-\hbar\omega\right), \]
όπου \(L\) συμβολίζει την επιλεγμένη φασματική διεύρυνση και η αναλογία παραλείπει τους φωτονικούς παράγοντες. Το αποτέλεσμα απεικονίζεται στο ??. Η λογαριθμική κλίμακα επιτρέπει τη σύγκριση φασμάτων που καλύπτουν πολλές τάξεις μεγέθους. Παρατηρήστε τα οπτικά χαρακτηριστικά κοντά στο τμήμα του φάσματος με τα μικρότερα μήκη κύματος και την αλλαγή στη συνολική κλίμακα στις διάφορες συνθήκες που απεικονίζονται.
9. Δοκιμάστε το μόνοι σας.
💡 Δύο χρήσιμοι υπολογισμοί που μπορείτε να κάνετε στη συνέχεια:
- Αλλάξτε το πλάτος του κβαντικού πηγαδιού GaN. Δοκιμάστε να μειώσετε το κεντρικό στρώμα των 10 nm σε 7 nm, αφήνοντας τα φράγματα αμετάβλητα. Υπολογίστε ξανά τις ιδιοκαταστάσεις και συγκρίνετε τα χαμηλότερα επίπεδα αγωγιμότητας και τις ενέργειες οπτικών μεταπτώσεων. Η ισχυρότερη περιορισμός θα αυξήσει γενικά το διάστημα μεταξύ των περιορισμένων επιπέδων, αν και η λεπτομερής απόκριση της ζώνης σθένους είναι πολυζωνική.
- Συγκρίνετε τις τιμές της έντασης των TE και TM. Χρησιμοποιήστε τις οπτικές τιμές έντασης που αναφέρει ο τερματικός σταθμός για να εντοπίσετε τις μεταπτώσεις που ευνοούν έντονα μία συγκεκριμένη πόλωση. Εξετάστε πώς αυτό σχετίζεται με τον χαρακτήρα της ενεργειακής κατάστασης, αντί να υποθέτετε ότι όλες οι μεταπτώσεις συμβάλλουν εξίσου στο φάσμα.
✅ Τι πρέπει να προσέξετε;
Ένας στενότερος πυθμένας συνήθως αυξάνει τις ενέργειες περιορισμού των ηλεκτρονίων και αλλάζει τις ενεργειακές στάθμες των οπών, μετατοπίζοντας τις διαθέσιμες ενέργειες διακλαδικής μετάπτωσης. Οι αναλογίες TE/TM μπορούν να διαφέρουν σημαντικά από τη μία ζεύγη καταστάσεων στην άλλη, επειδή εξετάζουν διαφορετικές συνιστώσες τροχιάς των κυματικών συναρτήσεων του wurtzite. Για μια ποσοτική μελέτη υλικού, εξετάστε επίσης τις επιδράσεις της σύνθεσης του κράματος, της τάσης και των ηλεκτρικών πεδίων πόλωσης.