Κβαντικό πηγάδι GaAs/AlGaAs: Εκπαιδευτικό υλικό 8 ζωνών για τη μέθοδο k·p της δομής τύπου σφαλερίτη.

1. Εισαγωγή

Σε αυτό το εκπαιδευτικό πρόγραμμα, θα υπολογίσουμε τις ηλεκτρονικές και οπτικές ιδιότητες μιας κβαντικής πηγής GaAs/AlGaAs χρησιμοποιώντας το μοντέλο οκτώ ζωνών τύπου zincblende k·p του OghmaNano. Θα ξεκινήσουμε με ένα έτοιμο παράδειγμα, θα εξετάσουμε τη δομή των στρώσεων, θα εκτελέσουμε την προσομοίωση και θα αναλύσουμε τις προκύπτουσες υποζώνες αγωγιμότητας και σθένους. Τέλος, θα εξετάσουμε τα οπτικά φάσματα που υπολογίζονται από τις καταστάσεις.

Το παραβολικό κβαντικό φρεάτιο – εκπαιδευτικό υλικό εξετάζει τα ηλεκτρόνια και τις οπές χρησιμοποιώντας σχετικά απλές ζώνες αποτελεσματικής μάζας. Εδώ, η Χαμιλτονιανή περιλαμβάνει μια βάση ζώνης αγωγιμότητας και τις βάσεις βαριάς οπής (HH), ελαφριάς οπής (LH) και διαχωρισμένης (SO) ζώνης σθένους, με δύο σπιν για καθεμία: συνολικά οκτώ καταστάσεις βάσης. Η σύζευξη μεταξύ αυτών των καταστάσεων επιτρέπει στο μοντέλο να περιγράψει φαινόμενα που δεν μπορούν να περιγραφούν από ανεξάρτητες παραβολές, ιδίως την ανάμιξη της ζώνης σθένους και τις αλλαγές στην καμπυλότητα με τον επιπεδικό διανυσματικό φορέα.

2. Άνοιγμα του παραδείγματος με τις οκτώ ζώνες.

Στο OghmaNano, πατήστε "Νέα προσομοίωση" στην καρτέλα "Αρχείο". Κάντε διπλό κλικ στον φάκελο "Δείγματα GaAs" (??). Από τα παραδείγματα κβαντικών φρεάτων, κάντε διπλό κλικ στο "GaAs/AlGaAs QW 8 band k.p" (??). Αυτό ανοίγει μια προδιαμορφωμένη προσομοίωση· δεν χρειάζεται να εισαγάγετε χειροκίνητα έναν πίνακα Hamiltonian 8x8.

3. Δομή κβαντικής πηγάδας και παράμετροι υλικού.

Το κύριο παράθυρο εμφανίζει μια τριών στρώσεων δομή AlGaAs/GaAs/AlGaAs (??). Ανοίξτε τον επεξεργαστή στρώσεων χρησιμοποιώντας το κουμπί στα αριστερά. Το παρεχόμενο παράδειγμα αποτελείται από δύο φραγμούς AlGaAs πάχους 40 nm που περιβάλλουν μια περιοχή GaAs πάχους 10 nm:

Οι ζώνες αγωγιμότητας και σθένους του GaAs βρίσκονται εντός του περιβάλλοντος ενεργειακού χάσματος του AlGaAs, παρέχοντας περιορισμό κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης της στρώσης. Στον επεξεργαστή στρώσεων, η κεντρική στρώση GaAs επισημαίνεται συγκεκριμένα ως κβαντικό πηγάδι (??). Οι καταχωρήσεις οπτικών υλικών και οι τύποι στρώσεων έχουν ήδη διαμορφωθεί σε αυτό το παράδειγμα.

Ο επιλυτής οκτώ ζωνών απαιτεί περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το υλικό από ένα κλιμακωτό παραβολικό μοντέλο ζωνών: εκτός από τις άκρες των ζωνών και τις αποτελεσματικές μάζες, παράμετροι που περιγράφουν τη διαζωνική σύζευξη, την ενέργεια διαχωρισμού και (όπου ισχύει) την τάση εισέρχονται στον Χαμιλτονιανό. Μπορείτε να ελέγξετε τις συναρτήσεις GaAs μέσω των ηλεκτρικών παραμέτρων και του επεξεργαστή κώδικα του υλικού (??). Η εικόνα οθόνης δείχνει τις παραμορφώσεις της ζώνης σθένους b και d. Δεν χρειάζεται να τις τροποποιήσετε για αυτήν την εισαγωγική εκτέλεση.

Ποιες είναι οι αλλαγές στον υπολογισμό των οκτώ ζωνών;

Ένα παραβολικό μοντέλο αποδίδει μια ξεχωριστή καμπυλότητα σε κάθε ζώνη. Η προσέγγιση k·p κατασκευάζει, αντίθετα, έναν πίνακα, τα διαγώνια στοιχεία του οποίου συνδέουν τις υποκείμενες βασικές καταστάσεις. Σχηματικά, το πρόβλημα της περιορισμένης κατάστασης είναι

\[ H_{8\times8}(k_x,k_y,-i\partial_z)\,\Psi_n(z) =E_n(k_x,k_y)\,\Psi_n(z). \]

Εδώ, το \(z\) είναι η κατεύθυνση περιορισμού· τα \(k_x\) και \(k_y\) περιγράφουν την κίνηση παράλληλη προς τα στρώματα. Η κυματοσυνάρτηση περιβάλλουσας \(\Psi_n\) έχει οκτώ συνιστώσες, οι οποίες περιγράφουν τις συνεισφορές των διαφόρων βασικών καταστάσεων. Για αυτό το εκπαιδευτικό υλικό, θα επικεντρωθούμε στις υπολογιζόμενες ενέργειες και όχι στην πλήρη άλγεβρα πινάκων. Μια λεπτομερής εξήγηση είναι διαθέσιμη στο κεφάλαιο για τη θεωρία οκτώ ζωνών του σφενδονίτη.

4. Εκτέλεση της προσομοίωσης.

Επιστρέψτε στην καρτέλα "Αρχείο" και κάντε κλικ στο μπλε κουμπί "Εκτέλεση προσομοίωσης". Η οκταζωνική Χαμιλτονιανή συναρμολογείται και επιλύεται για μια σειρά από επίπεδα διανυσματικά κύματα. Μπορείτε να παρακολουθήσετε την υπολογιστική διαδικασία στην καρτέλα "Τερματικό" (??).

Το παράδειγμα τερματικού δείχνει τη δημιουργία της αραιής μήτρας, ακολουθούμενη από τις ενέργειες των ιδιοκαταστάσεων και μηνύματα όπως block converged after 12 iterations. Οι καταστάσεις αγωγιμότητας και σθένους επιλύονται ξεχωριστά σε διαδοχικά διανύσματα κύματος. Περιμένετε μέχρι να ολοκληρωθεί η εκτέλεση και το κουμπί να επιστρέψει στην κατάσταση "Εκτέλεση προσομοίωσης" πριν εξετάσετε τα αποτελέσματα.

5. Κατανόηση της υπολογισμένης δομής ζωνών.

Ο επιλυτής υπολογίζει ένα διακριτό σύνολο περιορισμένων ιδιοκαταστάσεων για κάθε επίπεδο διανυσματικό κύμα \(k_{\parallel}\). Επομένως, το γράφημα απεικονίζει τη διασπορά των υποζωνών και όχι το χωρικό προφίλ της άκρης της ζώνης σε όλο το στρώμα. Ανοίξτε την καρτέλα "Έξοδος" και αναζητήστε στον φάκελο bands ή ανοίξτε τα αρχεία περίληψης των ζωνών που εμφανίζονται στο ??.

5.1 Υποζώνες αγωγιμότητας

Το διάγραμμα της ζώνης αγωγιμότητας (??) εμφανίζει δύο κλαδιά που καμπυλώνουν προς τα πάνω. Στο σημείο \(k_{\parallel}=0\), η κάθετη απόσταση προέρχεται από τις διαφορετικές περιορισμένες καταστάσεις. Η αύξηση της ενέργειας στο σημείο \(k_{\parallel}\) αντικατοπτρίζει την κίνηση παράλληλη προς την περιοχή του κβαντικού πηγαδιού, όπου οι φορείς δεν είναι περιορισμένοι.

Κοντά στο ελάχιστο μιας υποζώνης αγωγιμότητας, η διασπορά μπορεί να προσεγγιστεί από την εξίσωση:

\[ E_n(k_{\parallel})\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m_{n,\parallel}^{*}}. \]

Στο μοντέλο πολλαπλών ζωνών, αυτό αποτελεί μια τοπική προσέγγιση: η καμπυλότητα, και συνεπώς η φαινομενική αποτελεσματική μάζα, δεν χρειάζεται να παραμένει σταθερή σε όλο το εύρος του σχεδιασμένου διανυσματικού κύματος. Η σύζευξη μεταξύ της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους συμβάλλει στη συμπεριφορά.

5.2 Υποζώνες σθένους: ανάμιξη και καμπυλότητα.

Το διάγραμμα της ενεργειακής ζώνης σθένους είναι πιο ενδιαφέρον (??). Οι δύο κλάδοι που απεικονίζονται ξεκινούν από διαφορετικές ενέργειες, καμπυλώνονται προς τα κάτω και φαίνεται να συγκλίνουν σε μια πεπερασμένη τιμή του \(k_{\parallel}\). Στην ενεργειακή ζώνη σθένους του τύπου σφαλερίτη, οι καταστάσεις των «βαρέων οπών» και των «ελαφρών οπών» δεν συμπεριφέρονται σαν δύο εντελώς ανεξάρτητες παραβολές: σε πεπερασμένο διανυσματικό κύμα, οι όροι στην Χαμιλτονιανή μπορούν να αναμείξουν τα χαρακτηριστικά τους.

Ένας χρήσιμος τρόπος για να το εκφράσουμε είναι να εξετάσουμε δύο γειτονικές καταστάσεις, οι οποίες συνδέονται μέσω ενός στοιχείου μήτρας \(V\):

\[ H_{\mathrm{illustrative}}= \begin{pmatrix}E_{\mathrm{HH}}(k)&V(k)\\ V^{*}(k)&E_{\mathrm{LH}}(k)\end{pmatrix}. \]

Εάν τους επιτραπεί να συνδυαστούν, οι ενέργειές τους απωθούν κοντά σε μια πιθανή συνάντηση και ο χαρακτήρας HH/LH μπορεί να ανταλλάσσεται μεταξύ των κλάδων. Μια πραγματική διασταύρωση είναι επίσης δυνατή, όπου η σχετική σύζευξη εξαφανίζεται λόγω συμμετρίας. Η παρούσα στιγμιότυπη εικόνα από μόνη της δεν διακρίνει αυτές τις περιπτώσεις: για να καθοριστεί ο χαρακτήρας της κατάστασης, ελέγξτε τις αντίστοιχες ιδιοδιανυσματικές συναρτήσεις και, εάν χρειάζεται, υπολογίστε περισσότερα σημεία κοντά στην φαινομενική τομή. Ο πίνακας 2x2 που εμφανίζεται παραπάνω είναι απλώς μια απεικόνιση και όχι ολόκληρος ο οκταδιάστατος Χαμιλτονιανός.

5.3 Παρατήρηση των καταστάσεων αγωγιμότητας και σθένους σε συνδυασμό.

Η συνδυασμένη γραφική παράσταση (??) τοποθετεί τις καταστάσεις των ηλεκτρονίων και των ηλεκτρονίων της εξωτερικής στιβάδας σε μια κοινή κλίμακα ενέργειας. Σε αυτό το παράδειγμα, οι καταστάσεις της εξωτερικής στιβάδας βρίσκονται κοντά στην ενεργειακή αναφορά, ενώ οι περιορισμένες καταστάσεις αγωγιμότητας βρίσκονται περίπου στα 1,5 eV και άνω. Το χάσμα μεταξύ ενός συγκεκριμένου ζεύγους καταστάσεων είναι η ενέργεια του φωτονίου μιας πιθανής κάθετης οπτικής μετάπτωσης, υπό την επιφύλαξη του σχετικού οπτικού στοιχείου μήτρας και της πληρότητας των φορέων.

Επειδή η ορμή των φωτονίων είναι σχετικά μικρή, η πιο χρήσιμη πρώτη προσέγγιση είναι ότι μια οπτική μετάβαση διατηρεί τη διανυσματική συνιστώσα στο επίπεδο:

\[ \hbar\omega=E_{c,n}(k_{\parallel})-E_{v,m}(k_{\parallel}), \qquad \lambda=\frac{hc}{\hbar\omega}. \]

Διαφορετικά ζεύγη καταστάσεων ηλεκτρονίων και οπών συμβάλλουν, επομένως, σε διαφορετικά μήκη κύματος. Οι πολυζωνικές κυματοσυναρτήσεις καθορίζουν επίσης την ένταση και την πόλωση κάθε μετάπτωσης, πέρα από όσα μπορούν να εξαχθούν μόνο από τις ενέργειες.

6. Οπτικές ιδιότητες της κβαντικής περιοχής.

Ο υπολογισμός των οκτώ ζωνών παρέχει ηλεκτρονικές ενέργειες και συναρτήσεις κυμάτων μικτής κατάστασης για το οπτικό μοντέλο. Το παράδειγμα παράγει ξεχωριστά φάσματα για την διεγερμένη εκπομπή, την απορρόφηση, το καθαρό κέρδος και την αυθόρμητη εκπομπή. Οι πολλαπλές καμπύλες σε κάθε γράφημα αντιστοιχούν στην ακολουθία των συνθηκών φορέα που χρησιμοποιούνται από την παρεχόμενη προσομοίωση· δεν είναι οκτώ ξεχωριστές ζώνες Hamiltonian.

6.1 Επαγόμενη εκπομπή και απορρόφηση

Η διεγερμένη εκπομπή συμβαίνει όταν ένα εισερχόμενο φωτόνιο προκαλεί ένα ηλεκτρόνιο να πραγματοποιήσει μια ακτινοβολική μετάβαση από μια κατειλημμένη κατάσταση αγωγιμότητας σε μια κενή κατάσταση σθένους. Η απορρόφηση είναι η αντίστροφη διαδικασία: ένα ηλεκτρόνιο σθένους απορροφά ένα φωτόνιο και μετακινείται σε μια διαθέσιμη κατάσταση αγωγιμότητας. Οι παράγοντες πληρότητας αυτών των καταστάσεων απεικονίζονται σχηματικά ως εξής:

\[ \begin{aligned} \text{stimulated emission:}&\quad f_c(1-f_v),\\ \text{absorption:}&\quad f_v(1-f_c). \end{aligned} \]

Οι καμπύλες εκπεμπόμενης ακτινοβολίας (??) και οι καμπύλες απορροφούμενης ακτινοβολίας (??) έχουν κοινές βασικές ενέργειες μετάπτωσης, αλλά οι εντάσεις τους διαφέρουν ανάλογα με τις μεταβολές στις καταστάσεις πληρότητας. Στα αποτελέσματα αυτά, μεγάλο μέρος της φασματικής δομής βρίσκεται στην περιοχή 790–850 nm· οι ακριβείς ιδιότητες εξαρτώνται από τις διαμορφωμένες υποζώνες, τα στοιχεία της μήτρας, τις πληθυσμιακές κατανομές των φορέων και τη διεύρυνση των φασματικών γραμμών.

6.2 Καθαρή αύξηση: όταν οι εκπομπές υπερβαίνουν τις απορροφήσεις.

Το διάγραμμα του καθαρού κέρδους (??) συνδυάζει τις ανταγωνιστικές συνεισφορές της διεγερμένης εκπομπής και της απορρόφησης. Η αφαίρεση των πιθανοτήτων πληρότητας αυτών δίνει ένα ιδιαίτερα απλό αποτέλεσμα:

\[ f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c)=f_c-f_v. \]

Έτσι, η μετάβαση γίνεται παραγωγική όταν η κατάσταση αγωγιμότητας στην οποία συμμετέχει είναι πιο γεμάτη από την αντίστοιχη κατάσταση ηλεκτρονίων σθένους. Οι αρνητικές τιμές καθαρής ενίσχυσης αντιπροσωπεύουν συνθήκες στις οποίες κυριαρχεί η απορρόφηση· οι θετικές τιμές αντιστοιχούν στην περίπτωση όπου η διεγερμένη εκπομπή υπερτερεί της απορρόφησης. Ο συντελεστής καθαρής ενίσχυσης που παρουσιάζεται εδώ είναι το οπτικό αποτέλεσμα μιας κβαντικής φρεάτιδας· δεν θα πρέπει να ερμηνεύεται αυτόματα ως η ενίσχυση της συνολικής οπτικής κοιλότητας λέιζερ, η οποία εξαρτάται επίσης από τον περιορισμό και άλλες οπτικές απώλειες.

6.3 Αυθόρμητη εκπομπή

Η αυθόρμητη εκπομπή δεν απαιτεί την παρουσία ενός προσπίπτοντος φωτονίου για να προκαλέσει τη μετάβαση. Συμβαίνει όταν μια καταλημμένη ηλεκτρονική κατάσταση ανασυνδυάζεται ακτινοβολιακά σε μια διαθέσιμη κατάσταση σθένους. Ο αντίστοιχος παράγοντας πληρότητας είναι και πάλι \(f_c(1-f_v)\), αλλά η αυθόρμητη και η διεγερμένη εκπομπή έχουν διαφορετικούς φασματικούς παράγοντες και διαφορετικές φυσικές ερμηνείες. Τα φάσματα στο ?? χρησιμοποιούν μια λογαριθμική κάθετη κλίμακα· επομένως, ίση κάθετη απόσταση δεν σημαίνει ίση απόλυτη αύξηση στον ρυθμό εκπομπής φωτονίων.

Για μια πιο λεπτομερή εξήγηση σχετικά με τις ιδιότητες των μεταπτώσεων, τις επαγγελματικές κατηγορίες και τη διεύρυνση της φασματικής γραμμής, δείτε τις σελίδες οπτικές μεταπτώσεις και θεωρία ενίσχυσης.

7. Εντοπισμός των αρχείων εξόδου

Αφού ολοκληρωθεί η προσομοίωση, επιλέξτε την επιλογή "Έξοδος" στο κύριο παράθυρο (??). Μεταξύ των ορατών αποτελεσμάτων περιλαμβάνονται τα Ec.csv, Ev.csv και Ec_Ev.csv για τα διαγράμματα ζωνών, καθώς και τα gain.csv, absorption.csv, net_gain.csv και spontaneous.csv. Οι φάκελοι bands και gain περιέχουν επιπλέον αποτελέσματα από τον επιλυτή. Κάντε διπλό κλικ σε ένα αρχείο CSV για να ανοίξετε το διάγραμμα του στο OghmaNano ή εξάγετε τα αριθμητικά δεδομένα για ανάλυση σε άλλο πρόγραμμα.

8. Δοκιμάστε το μόνοι σας: συγκρίνετε το με το παραβολικό μοντέλο.

Ως δεύτερο πείραμα, αλλάξτε το πάχος του στρώματος GaAs από 10 nm σε 8 nm, διατηρώντας παράλληλα αμετάβλητα και τα δύο φράγματα AlGaAs στα 40 nm. Εκτελέστε ξανά την προσομοίωση και συγκρίνετε τις ιδιοενέργειες περιορισμού και το εύρος μήκους κύματος των οπτικών μεταπτώσεων.