Κατανόηση της Θεωρίας k·p: Από τις Παραβολικές Ζώνες στα Πολυζωνικά Μοντέλα

Γιατί χρειαζόμαστε ένα ακόμη μοντέλο δομής ζωνών;

Στην εισαγωγή μας στις παραβολικές ζώνες κβαντικών φρεάτων, απεικονίσαμε την ενέργεια ενός ηλεκτρονίου χρησιμοποιώντας μια απλή παραβολή. Η καμπυλότητά της καθοριζόταν από μια αποτελεσματική μάζα, γεγονός που μας επέτρεψε να μετατρέψουμε κάθε περιορισμένη κβαντική κατάσταση φρέατος σε μια δισδιάστατη ηλεκτρονική υποζώνη. Αυτή είναι μια πολύ χρήσιμη προσέγγιση, ιδιαίτερα κοντά στο κατώτατο σημείο μιας απλής ζώνης αγωγιμότητας.

Ωστόσο, ένας πραγματικός ημιαγωγός περιέχει διάφορες ηλεκτρονικές ζώνες. Αυτές μπορούν να βρίσκονται κοντά η μία στην άλλη, να αποκλίνουν από ένα παραβολικό σχήμα και να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τις ζώνες σθένους, όπου οι καταστάσεις βαρέων οπών, ελαφρών οπών και διαχωρισμένων οπών δεν μπορούν πάντα να αντιμετωπιστούν ως ανεξάρτητα σωματίδια με μία μόνο μάζα.

Η μέθοδος k·p παρέχει έναν τρόπο περιγραφής αυτών των φαινομένων χωρίς να απαιτείται η επαναϋπολογισμός της πλήρους ηλεκτρονικής δομής σε ατομική κλίμακα για κάθε διανυσματικό κύμα. Ξεκινάμε με ηλεκτρονικές καταστάσεις σε ένα καλά κατανοητό σημείο στη δομή ζωνών του κρυστάλλου και υπολογίζουμε πώς αυτές αλλάζουν καθώς το διανυσματικό κύμα απομακρύνεται από αυτό το σημείο. Το σημαντικότερο είναι ότι επιτρέπουμε σε διαφορετικές ηλεκτρονικές ζώνες να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

Σκοπός αυτής της σελίδας είναι να εξηγήσει την προέλευση των εξισώσεων k·p, γιατί η αποτελεσματική μάζα εμφανίζεται φυσικά και πώς ένα σύνολο συνδεδεμένων εξισώσεων μετατρέπεται στο πολυζωνικό Hamiltonian που χρησιμοποιείται σε έναν επιλυτή για κβαντικές πηγές.

Ξεκινώντας με ένα ηλεκτρόνιο σε έναν κρύσταλλο.

Για ένα ηλεκτρόνιο που κινείται μέσα σε έναν ημιαγωγό κρύσταλλο, ξεκινάμε με την γνωστή χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger:

\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Εδώ, το \(m_0\) είναι η συνήθης (ελεύθερου ηλεκτρονίου) μάζα, το \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\) είναι ο τελεστής ορμής και το \(V_{\mathrm{crystal}}\) είναι το δυναμικό που υφίσταται το ηλεκτρόνιο λόγω της περιοδικής διάταξης των ατόμων. Έχουμε χρησιμοποιήσει σκόπιμα το \(m_0\) και όχι την αποτελεσματική μάζα του ημιαγωγού: σε αυτό το στάδιο, η επίδραση του κρυστάλλου δεν έχει ενσωματωθεί ακόμη σε μια κατά προσέγγιση μάζα.

Ένα βασικό χαρακτηριστικό ενός ιδανικού κρυστάλλου είναι ότι το δυναμικό του επαναλαμβάνεται από μια στοιχειώδη κυψέλη στην επόμενη. Εάν το \(\mathbf R\) περιγράφει μια μετατόπιση του πλέγματος, τότε:

\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση του Schrödinger απευθείας σε όλη αυτή την επαναλαμβανόμενη δυναμική, αλλά το θεώρημα του Bloch μας παρέχει έναν πολύ πιο χρήσιμο τρόπο έκφρασης των λύσεων της.

Το θεώρημα του Bloch: Διαχωρισμός του Κύματος από τον Κρύσταλλο

Το θεώρημα του Bloch διατυπώνει ότι μια ηλεκτρονική κατάσταση σε έναν περιοδικό κρύσταλλο μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο ενός επίπεδου κύματος και μιας συνάρτησης που επαναλαμβάνεται μαζί με το κρυσταλλικό πλέγμα:

\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]

Τα δύο μέρη έχουν διαφορετικές λειτουργίες. Ο παράγοντας του επίπεδου κύματος περιγράφει πώς αλλάζει η συνολική φάση καθώς κινούμαστε μέσα στο κρύσταλλο. Η συνάρτηση \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\) περιγράφει τις λεπτομέρειες του κύματος εντός κάθε στοιχειώδους κυψέλης και έχει την ίδια περιοδικότητα με τον κρύσταλλο:

\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]

Η ένδειξη \(n\) μας υποδεικνύει ποια ηλεκτρονική ζώνη εξετάζουμε, ενώ το \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\) είναι το διανυσματικό μέγεθος της κρυσταλλικής συχνότητας. Η ποσότητα \(\hbar\mathbf k\) ονομάζεται κρυσταλλική ορμή. Έχει στενή σχέση με την ορμή που χρησιμοποιήσαμε στην προηγούμενη αναλογία με την μπάλα του κρίκετ, αν και οι δύο δεν πρέπει να συγχέονται σε έναν περιοδικό κρύσταλλο.

Αυτή είναι η πρώτη σημαντική απλοποίηση: αντί να περιγράφουμε μια νέα κυματοσυνάρτηση σε ατομική κλίμακα σε ολόκληρο τον κρύσταλλο για κάθε \(\mathbf k\), μπορούμε να εργαστούμε με τις περιοδικές συναρτήσεις της μοναδιαίας κυψέλης \(u\). Η μέθοδος k·p εξετάζει πώς αυτές οι συναρτήσεις και οι ενέργειές τους αλλάζουν όταν μετακινούμαστε σε μια μικρή απόσταση στον χώρο των διανυσμάτων κύματος.

Από πού προέρχεται ο όρος k·p;

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση του Bloch στην εξίσωση του Schrödinger. Όταν ο τελεστής της ορμής δρά στο γινόμενο του επίπεδου κύματος και της περιοδικής συνάρτησης της κυψέλης, το αποτέλεσμα είναι:

\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]

Με άλλα λόγια, η επίδραση μιας κυματοσυνάρτησης Bloch ισοδυναμεί με την αντικατάσταση του τελεστή ορμής που δρα στο \(u\) με τον τελεστή \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\). Εφαρμόζοντας αυτό στον όρο κινητικής ενέργειας και ακυρώνοντας τον κοινό παράγοντα επίπεδου κύματος, προκύπτει:

\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]

Η επέκταση του τετραγώνου είναι το κρίσιμο βήμα. Επειδή το \(\mathbf k\) είναι μια παράμετρος και όχι χωρική παράγωγος, λαμβάνουμε:

\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]

Ο πρώτος όρος είναι η αρχική μας κρυσταλλική Χαμιλτονιανή. Ο τελευταίος όρος είναι μια απλή τετραγωνική συνεισφορά ενέργειας. Ο μεσαίος όρος, \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\), είναι αυτός που δίνει το όνομα στη μέθοδο: k·p.

Φυσικά, μας δείχνει ότι η απομάκρυνση από τον επιλεγμένο διανυσματικό φορέα αναφοράς μπορεί να αναμίξει ηλεκτρονικές καταστάσεις μέσω του τελεστή ορμής. Για να κατανοήσουμε τι σημαίνει αυτό, πρέπει να επιλέξουμε τις καταστάσεις μεταξύ των οποίων μπορεί να συμβεί αυτή η ανάμιξη.

Επιλογή σημείου αναφοράς και βάσης.

Οι δομές ζωνών των ημιαγωγών είναι συχνά πιο ενδιαφέρουσες κοντά στο ελάχιστο ή το μέγιστο μιας ζώνης. Για έναν ημιαγωγό άμεσου διακένου, όπως το GaAs, το ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας και το μέγιστο της ζώνης σθένους εμφανίζονται στο κέντρο της ζώνης, γνωστό ως σημείο Γ \(\Gamma\). Για την ακόλουθη εξήγηση, επεκτείνουμε λοιπόν την ανάλυση γύρω από το \(\mathbf k=0\). Η ίδια γενική ιδέα μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα άλλο σημείο αναφοράς, όταν το σχετικό ακρότατο σημείο της ζώνης βρίσκεται σε άλλο σημείο της ζώνης Brillouin.

Στο σημείο \(\mathbf k=0\), ο όρος k·p μηδενίζεται. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ήδη αρκετές περιοδικές ως προς την κυψέλη κρυσταλλικές καταστάσεις σε αυτό το σημείο:

\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]

Αυτές οι γνωστές καταστάσεις αποτελούν τη βάση μας. Μια κατάσταση σε έναν κοντινό διανυσματικό κύμα μπορεί στη συνέχεια να περιγραφεί ως συνδυασμός αυτών:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]

Οι συντελεστές \(c_1,c_2,\ldots\) περιγράφουν το πόσο κάθε αναφερόμενη κατάσταση συμβάλλει στη νέα κατάσταση. Αυτά ακριβώς είναι τα στοιχεία που χρειάζεται να προσδιορίσει ο υπολογισμός μας. Αυτό το επιτυγχάνουμε εισάγοντας την επέκταση στην εξίσωση k·p και προβάλλοντάς την σε κάθε βασική κατάσταση.

Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση πινάκων. Τα στοιχεία της είναι:

\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]

\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]

Το σύμβολο \(\delta_{nm}\) ισούται με ένα όταν οι δύο ετικέτες ζωνών είναι ίδιες και με μηδέν σε κάθε άλλη περίπτωση. Ως εκ τούτου, η διαγώνιος αυτού του πίνακα περιέχει τις ενέργειες αναφοράς των ζωνών και τους τετραγωνικούς όρους των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Τα διαγώνια στοιχεία του περιέχουν τις συνδέσεις ορμής μεταξύ διαφορετικών ζωνών.

Αυτά τα στοιχεία της μήτρας ορμής είναι κεντρικής σημασίας για τη θεωρία k·p. Εάν μια σύζευξη είναι μηδενική, οι αντίστοιχες καταστάσεις δεν αναμιγνύονται μέσω αυτού του όρου. Εάν είναι σημαντική, οι ενέργειές τους και οι κυματοσυναρτήσεις τους μπορούν να αλλάξουν σημαντικά καθώς απομακρυνόμαστε από το σημείο αναφοράς.

Ένα Παράδειγμα: Τι Συμβαίνει Όταν Αλληλεπιδρούν Δύο Σύνολα;

Πριν εξετάσουμε οκτώ ή δέκα ζώνες, είναι χρήσιμο να δούμε τι κάνει ένα μοντέλο με δύο ζώνες. Ας υποθέσουμε ότι διατηρούμε μόνο μία κατάσταση στη ζώνη αγωγιμότητας και μία κατάσταση στη ζώνη σθένους, με ενέργειες αναφοράς \(E_c\) και \(E_v\). Η διαφορά μεταξύ τους στο σημείο αναφοράς είναι το ενεργειακό χάσμα, \(E_g=E_c-E_v\).

Για λόγους σαφήνειας, εξετάζουμε την κίνηση κατά μήκος μιας συγκεκριμένης κρυσταλλικής διεύθυνσης, με διανυσματική κυματική συνάρτηση \(k\), και επιλέγουμε τις φάσεις των βασικών καταστάσεων μας έτσι ώστε η παράμετρος σύζευξης \(P\) να είναι πραγματικός αριθμός. Η ενδεικτική Χαμιλτονιανή είναι:

\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]

Εδώ, \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\) για την επιλεγμένη κατεύθυνση. Παρατηρήστε ότι οι δύο εκτός διαγωνίου όροι μηδενίζονται στο \(k=0\), αλλά αυξάνονται καθώς απομακρυνόμαστε από το σημείο αναφοράς. Επομένως, το μοντέλο δεν περιγράφει δύο ανεξάρτητες παραβολές: οι καταστάσεις της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους μπορούν να αναμιχθούν.

Για να προσδιορίσουμε τις επιτρεπόμενες ενέργειες, λύνουμε ένα πρόβλημα ιδιοτιμών, όπως ακριβώς κάναμε όταν υπολογίζαμε τις δεσμευμένες καταστάσεις μιας κβαντικής πηγάδας:

\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]

Αντί να υπολογίζεται μια μοναδική τιμή ενέργειας, ο πίνακας 2x2 παράγει δύο διακλαδώσεις ενέργειας. Για αυτό το απλοποιημένο παράδειγμα, αυτές είναι:

\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Στο σημείο \(k=0\), τα δύο αποτελέσματα συρρικνώνονται στα \(E_c\) και \(E_v\), όπως αναμενόταν. Καθώς το \(k\) αυξάνεται, η σύζευξη αλλάζει και τις δύο ενέργειες και αναμιγνύει τις υποκείμενες βασικές καταστάσεις. Αυτή η εξάρτηση από τη ρίζα επίσης δείχνει γιατί μια συζευγμένη ζώνη δεν χρειάζεται να παραμένει τέλεια παραβολική μακριά από το ακρότατό της.

Το πρακτικό μάθημα είναι πιο σημαντικό από την απλή απομνημόνευση αυτής της έκφρασης: η μορφή μιας ζώνης εξαρτάται όχι μόνο από την ίδια την ενέργεια της ζώνης, αλλά και από τη σύνδεσή της με τις γειτονικές ζώνες.

Από πού προέρχεται η αποτελεσματική μάζα;

Στο εκπαιδευτικό πρόγραμμα για την παραβολική κβαντική δεξαμενή, χρησιμοποιήσαμε την αποτελεσματική μάζα ως παράμετρο εισόδου. Το παράδειγμα με τις δύο ζώνες μας επιτρέπει τώρα να δούμε από πού προέρχεται. Πολύ κοντά στο \(k=0\), το αποτέλεσμα της ζώνης αγωγιμότητας μπορεί να προσεγγιστεί αναπτύσσοντας τη ρίζα για μικρές τιμές του \(k\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]

Συγκρίνετε αυτό με την γνωστή μας παραβολική εξίσωση:

\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]

Και τα δύο έχουν το ίδιο μαθηματικό σχήμα. Η εξίσωση των τετραγωνικών συντελεστών τους δίνει την αποτελεσματική μάζα αυτού του απλοποιημένου μοντέλου δύο ζωνών:

\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]

Αυτό είναι ένα χρήσιμο αποτέλεσμα. Η αποτελεσματική μάζα δεν είναι μια αυθαίρετη αντικατάσταση της μάζας του ηλεκτρονίου. Προκύπτει επειδή η κατάσταση του ηλεκτρονίου συνδέεται με άλλες ηλεκτρονικές ζώνες εντός του κρυστάλλου. Σε αυτό το συγκεκριμένο παράδειγμα, ένα μικρότερο ενεργειακό χάσμα ή μια ισχυρότερη σύνδεση παράγουν μεγαλύτερη καμπυλότητα της ζώνης αγωγιμότητας και μικρότερη αποτελεσματική μάζα.

Ένας πραγματικός ημιαγωγός έχει πολλές άλλες ζώνες, και όχι μόνο τις δύο που χρησιμοποιήσαμε στο παράδειγμά μας. Εάν αντιμετωπίσουμε τη σύζευξή τους διαταρακτικά, η αντίστοιχη διόρθωση στην ενέργεια μιας απομονωμένης ζώνης είναι:

\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]

Κάθε γειτονική ζώνη συμβάλλει ανάλογα με τη συζευγνυόμενη ορμή της και την απόστασή της στην ενέργεια. Η προκύπτουσα καμπυλότητα είναι γενικά κατευθυνσιοεξαρτώμενη, επομένως η πληρέστερη περιγραφή είναι ένας τανυστής αποτελεσματικής μάζας, και όχι μια απλή βαθμωτή μάζα. Μια βαθμωτή αποτελεσματική μάζα είναι κατάλληλη όταν η συμμετρία ή η επιλεγμένη προσέγγιση μας επιτρέπουν να αντιμετωπίσουμε την καμπυλότητα ως την ίδια στις κατευθύνσεις που μας ενδιαφέρουν.

Υπάρχει ένας σημαντικός περιορισμός: η διαταρακτική έκφραση γίνεται αναξιόπιστη όταν ο παρονομαστής είναι μικρός, πράγμα που σημαίνει ότι δύο ζώνες βρίσκονται κοντά η μία στην άλλη ενεργειακά. Σε αυτή την περίπτωση, είναι καλύτερο να διατηρηθούν και οι δύο ζώνες ρητά στον Χαμιλτονιανό, αντί να κρυφτεί η αλληλεπίδρασή τους μέσα σε μια ενιαία αποτελεσματική μάζα.

Από μια προσέγγιση δύο ζωνών σε μια πολυζωνική προσέγγιση Hamiltonian.

Το επόμενο βήμα είναι απλό από θεωρητική άποψη. Αντί να ξεκινήσουμε μόνο με δύο κρυσταλλικές καταστάσεις, διατηρούμε αρκετές σχετικές καταστάσεις στη βάση μας:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]

Αυτό παράγει μια Χαμιλτονιανή διαστάσεων \(N\) x \(N\). Κάθε διαγώνιο στοιχείο περιγράφει μια ζώνη αναφοράς και τη τετραγωνική της διόρθωση· κάθε επιτρεπόμενο μη διαγώνιο στοιχείο περιγράφει μια σύζευξη μεταξύ δύο βασικών καταστάσεων. Η επίλυση της μήτρας για ένα επιλεγμένο διανυσματικό κύμα δίνει όλες τις προκύπτουσες ενέργειες ζώνης και το ποσοστό κάθε βασικής κατάστασης στο αντίστοιχο ιδιοδιανυσμα.

Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στη ζώνη αγωγιμότητας. Οι καταστάσεις των «βαρέων οπών» και των «ελαφρών οπών» ενδέχεται να είναι εκφυλισμένες στο κέντρο της ζώνης και η ανάμειξή τους δεν μπορεί να αναπαρασταθεί πιστά με την ανάθεση μιας ανεξάρτητης σταθερής μάζας σε καθεμία από αυτές. Ένα μοντέλο πολλαπλών ζωνών επιτρέπει σε αυτές τις καταστάσεις να αλληλεπιδρούν φυσικά καθώς αλλάζει ο διανυσματικός κύματος.

Πρέπει ακόμα να αποφασίσουμε ποιες ζώνες να διατηρήσουμε. Η γενική προσέγγιση είναι να διατηρήσουμε τις καταστάσεις που είναι πιο σχετικές με τις ενέργειες και τη φυσική που μας ενδιαφέρουν. Η σύζευξη με πιο απομακρυσμένες, αποκλεισμένες καταστάσεις μπορεί να συμπεριληφθεί κατά προσέγγιση μέσω διορθώσεων στις παραμέτρους του διατηρούμενου Hamiltonian. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο διαφορετικά μοντέλα k·p μπορούν να έχουν διαφορετικό αριθμό ζωνών και διαφορετικές παραμέτρους υλικού.

Για παράδειγμα, ένα κοινό μοντέλο οκτώ ζωνών τύπου σφαλερίτη διατηρεί μια αγώγιμη κατάσταση τύπου s και τρεις ομολογικές καταστάσεις σθένους τύπου p, καθεμία από τις οποίες έχει δύο συστατικά σπιν. Η λεπτομερής επιλογή της βάσης, των όρων συμμετρίας και των στοιχείων της μήτρας εξηγείται στο κεφάλαιο βάσεις και Χαμιλτονιανά και στις σελίδες του μοντέλου που είναι ειδικές για κάθε υλικό.

Γιατί χρειαζόμαστε την ιδιότητα της σπιν και τη σύζευξη σπιν-τροχιάς;

Μέχρι αυτό το σημείο, το απλό παράδειγμά μας με τις δύο ζώνες δεν περιλάμβανε την ιδιότητα της σπιν. Ωστόσο, τα ηλεκτρόνια έχουν δύο συνιστώσες σπιν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ατομική τροχιά πρέπει να αναπαριστάται από τις βασικές καταστάσεις σπιν-πάνω και σπιν-κάτω (ή από μια κατάλληλη ισοδύναμη βάση σπιν).

Εάν η ιδιοπεριστροφή δεν είχε καμία επίδραση στις ενέργειες, αυτό θα διπλασίαζε κυρίως το πρόβλημα. Τα πραγματικά ημιαγωγά κρύσταλλα παρουσιάζουν επίσης αλληλεπίδραση ιδιοπεριστροφής-τροχιάς, η οποία συνδέει την ιδιοπεριστροφή του ηλεκτρονίου με την κίνησή του μέσω του δυναμικού του κρυστάλλου. Σε μια απλοποιημένη περιγραφή Pauli, η πρόσθετη Χαμιλτονιανή είναι:

\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]

όπου \(c\) είναι η ταχύτητα του φωτός και \(\boldsymbol{\sigma}\) συμβολίζει τις μήτρες Pauli. Δεν χρειάζεται να αναπτύξουμε αυτόν τον σχετικιστικό όρο εδώ· το σημαντικό σημείο είναι η φυσική του συνέπεια. Η ιδιότητα της σπιν και η τροχιακή ιδιότητα δεν είναι πλέον ανεξάρτητες και ορισμένες καταστάσεις που διαφορετικά θα είχαν την ίδια ενέργεια διαχωρίζονται.

Στη γνωστή ζώνη σθένους της δομής τύπου σφαλερίτη, η αλληλεπίδραση μεταξύ της σπιν και της τροχιακής ορμής δημιουργεί τις διακλαδώσεις των «βαρέων οπών», των «ελαφρών οπών» και των «αποσυνδεδεμένων οπών», με την ενέργεια των «αποσυνδεδεμένων οπών» να συμβολίζεται συνήθως με \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Αυτές δεν είναι απλώς τρεις άσχετες παραβολές: ο χαρακτήρας και η αλληλεπίδρασή τους εξαρτώνται από το διανυσματικό κύμα και την υποκείμενη κρυσταλλική συμμετρία.

Αυτό εξηγεί την ονομασία «οκτα-ζωνική k·p»: τέσσερις βασικές καταστάσεις τροχιακών (μία αγώγιμη και τρεις σθένουσες), καθεμία με δύο συστατικά σπιν, παράγουν μια βάση οκτώ συστατικών. Η πραγματική Χαμιλτονιανή περιλαμβάνει τις επιτρεπόμενες συνδέσεις ορμής και σπιν μεταξύ τους. Μια ολοκληρωμένη υπολογιστική προσέγγιση κβαντικής πηγάδας χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο παρουσιάζεται στο GaAs/AlGaAs οκτα-ζωνικό σεμικρυσταλλικό k·p σεμινάριο.

Πώς μετατρέπεται αυτό σε υπολογισμό για μια κβαντική δομή τύπου πηγαδιού;

Μέχρι στιγμής, περιγράψαμε μια μαζική κρυσταλλική δομή, στην οποία η ενέργεια των ηλεκτρονίων μεταβάλλεται ανάλογα με ένα τρισδιάστατο διανυσματικό κύμα. Για να περιγράψουμε μια κβαντική δεξαμενή, πρέπει τώρα να επιστρέψουμε στη γεωμετρία που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη σελίδα του εκπαιδευτικού υλικού.

Ας υποθέσουμε ότι τα ημιαγωγικά στρώματα εκτείνονται παράλληλα στο επίπεδο \(x\)-\(y\) και είναι στοιβαγμένα κατά μήκος του \(z\). Ο διανυσματικός αριθμός κύματος στο επίπεδο, \(k_{\parallel}\), παραμένει μια χρήσιμη παράμετρος επειδή η δομή είναι κατά προσέγγιση ομοιόμορφη κατά μήκος των στρωμάτων. Ωστόσο, το ηλεκτρόνιο περιορίζεται στην κατεύθυνση \(z\), επομένως πρέπει να υπολογίσουμε τη χωρική του μεταβολή κατά μήκος της περιοχής.

Η τυπική προσέγγιση της συνάρτησης περιβάλλουσας αντικαθιστά το διανυσματικό μέγεθος της κατεύθυνσης ανάπτυξης στον ομοιογενή Χαμιλτονιανό k·p με έναν διαφορικό τελεστή:

\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]

Οι άκρες των ζωνών ενέργειας και άλλες σχετικές παράμετροι υλικού μπορούν επίσης να μεταβάλλονται ανάλογα με το \(z\), αντανακλώντας τις διαφορετικές ημιαγωγικές στρώσεις. Το πρόβλημα δεν είναι πλέον μια απλή πεπερασμένη μήτρα που υπολογίζεται σε ένα μόνο διανυσματικό κύμα: είναι ένα σύνολο συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων για τις συναρτήσεις περιβάλλουσας σε όλη τη συσκευή. Όταν οι παράμετροι μεταβάλλονται στις διεπαφές, η σειρά των τελεστών και οι συνθήκες αντιστοίχισης πρέπει να επιλέγονται με συνέπεια, έτσι ώστε η Χαμιλτονιανή να παραμένει φυσικά σημαντική και Ερμιτιανή.

Το απλούστερο παραβολικό μοντέλο επιλύει μία μόνο κλιμακωτή εξίσωση Schrödinger για ένα ηλεκτρόνιο ή μια οπή. Ένα μοντέλο πολλαπλών ζωνών k·p, αντίθετα, επιλύει για διάφορα συζευγμένα στοιχεία της κυματοσυνάρτησης. Οι προκύπτουσες ιδιοτιμές δίνουν τα περιορισμένα επίπεδα ενέργειας, ενώ οι ιδιοδιανύσματά τους μας δείχνουν πώς οι διατηρούμενες ιδιότητες της ζώνης συμβάλλουν σε κάθε κατάσταση.

Επαναλαμβάνοντας τον υπολογισμό για διαφορετικές τιμές του \(k_{\parallel}\), κατασκευάζουμε τη δομή των υποζωνών της κβαντικής περιοχής. Σε αντίθεση με μια συλλογή ανεξάρτητων παραβολών, αυτές οι υποζώνες μπορούν να αλληλεπιδρούν, να έχουν μη παραβολική καμπύλη και να αλλάζουν χαρακτηριστικά καθώς αυξάνεται ο διανυσματικός παράγοντας της επιπέδου.

Τι μας επιτρέπει να υπολογίσουμε η πρόσθετη φυσική;

Το πλεονέκτημα ενός υπολογισμού πολλαπλών ζωνών δεν είναι απλώς ότι παράγει πιο περίπλοκες διαγράμματα ζωνών. Μας παρέχει μια πιο ρεαλιστική περιγραφή των ηλεκτρονικών καταστάσεων που συμμετέχουν στις διαδικασίες μεταφοράς και οπτικών ιδιοτήτων.

Στο μάθημα για τις οπτικές μεταπτώσεις, παρουσιάσαμε την πιθανότητα μιας μετάπτωσης ενός ηλεκτρονίου από μια κατειλημμένη σε μια κενή κατάσταση. Η ένταση της μετάπτωσης εξαρτάται από ένα στοιχείο μήτρας μεταξύ των αρχικών και τελικών κυματοσυναρτήσεων. Ένα ιδιοδιάνυσμα πολλαπλών ζωνών περιέχει πληροφορίες σχετικά με τον μικτό τροχιακό και σπιν χαρακτήρα κάθε κατάστασης, κάτι που είναι απαραίτητο κατά τον υπολογισμό της κατεύθυνσης και της έντασης των οπτικών μεταπτώσεων.

Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο κατά τη μελέτη των μεταπτώσεων που εξαρτώνται από την πόλωση, της οπτικής ενίσχυσης, της αυθόρμητης εκπομπής και των συστημάτων στα οποία η ανάμιξη των ενεργειακών ζωνών είναι σημαντική. Οι λεπτομερείς οπτικές στοιχειακές συναρτήσεις εξαρτώνται από το επιλεγμένο Hamiltonian και τη βάση, αλλά ο υπολογισμός τους ακολουθεί φυσικά μόλις ληφθούν οι συνδεδεμένες ιδιοκαταστάσεις.

Μοντέλα k·p στο OghmaNano

Η OghmaNano παρέχει διάφορα μοντέλα για διαφορετικές ημιαγωγικές δομές. Όλα αυτά βασίζονται στη γενική φιλοσοφία k·p που αναπτύχθηκε εδώ, αλλά διαφέρουν ως προς τις ηλεκτρονικές καταστάσεις που περιλαμβάνουν και χρησιμοποιούν τις κατάλληλες παραμέτρους υλικού για κάθε κρυσταλλικό σύστημα.

• Ο οκταζωνικός τύπος k·p για την δομή τύπου σφαλερίτη περιλαμβάνει τις αγώγιμες και τις παρόμοιες με p καταστάσεις της ζώνης σθένους, καθώς και την αλληλεπίδραση σπιν και σπιν-τροχιάς.
• Η προσέγγιση k·p με δέκα ζώνες ενέργειας τύπου σφαλερίτη διατηρεί μια εκτεταμένη ηλεκτρονική βάση για προβλήματα που απαιτούν πρόσθετες συζευγμένες καταστάσεις.
• Ο οκταζωνικός προσέγγιση k·p για την ουρτσίτη χρησιμοποιεί τη συμμετρία και τις παραμέτρους ζώνης που είναι κατάλληλες για τους κρυστάλλους ουρτσίτη.

Το επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζει τις πραγματικές βασικές καταστάσεις και εξηγεί πώς αυτές διατάσσονται στις πίνακες Hamiltonian που χρησιμοποιούν αυτοί οι επιλυτές.