Βασικές καταστάσεις, συναρτήσεις περιβάλλουσας και πολυζωνικοί Χαμιλτονιανοί.

Για να μετατρέψετε έναν ομοιογενή Χαμιλτονιανό k·p σε ένα πρόβλημα κβαντικής πηγάδας, απαιτούνται δύο στοιχεία: η προσέγγιση της συνάρτησης περιβάλλουσας, η οποία επιτρέπει σε μια ομοιογενή μήτρα να περιγράψει μια χωρικά μεταβαλλόμενη δομή, και μια συνεπής βάση στην οποία να γραφτεί η μήτρα. Αυτή η σελίδα συγκεντρώνει και τα δύο και καταγράφει τις ακριβείς διατάξεις βάσης που χρησιμοποιεί το OghmaNano, ώστε οι σελίδες που αφορούν συγκεκριμένα μοντέλα να μπορούν να αναφέρονται σε μια ενιαία ορισμό.

1. Τρεις τύποι λειτουργιών.

Είναι χρήσιμο να διαχωρίσουμε τρία αντικείμενα που συγχέονται εύκολα. Η συνάρτηση Bloch \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) είναι η ακριβής ιδιοκατάσταση του κρυστάλλου. Η περιοδική συνάρτηση της κυψέλης \(u_{n0}\) στο κέντρο της ζώνης είναι μία από τις σταθερές συναρτήσεις βάσης – τύπου s για τη ζώνη αγωγιμότητας, τύπου p (\(X,Y,Z\)) για τη ζώνη σθένους. Η συνάρτηση περιβάλλουσας \(F_n(z)\) είναι ένα αργά μεταβαλλόμενο πλάτος που πολλαπλασιάζει κάθε συνάρτηση βάσης και μεταφέρει την επίδραση του περιορισμού. Σε μια ετεροδομή, η πλήρης κατάσταση είναι ένα άθροισμα πάνω στις συναρτήσεις βάσης.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

και είναι το σύνολο των περιγραμμάτων \(\{F_n(z)\}\) που υπολογίζει ο αλγόριθμος.

2. Η προσέγγιση της συνάρτησης περιβάλλουσας.

Η προσέγγιση της συνάρτησης περιβάλλουσας βασίζεται σε δύο υποθέσεις: ότι οι ίδιες συναρτήσεις βάσης στο κέντρο της ζώνης \(u_{n0}\) μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε στρώση και ότι οι παράμετροι του υλικού (ενεργειακό χάσμα, μάζες, παράμετροι Kane και Luttinger) μεταβάλλονται ανάλογα με τη θέση σε μια κλίμακα πολύ μεγαλύτερη από τη σταθερά του πλέγματος. Η ομοιογενής μήτρα k·p μετατρέπεται στη συνέχεια σε έναν διαφορικό τελεστή που δρα στις συναρτήσεις περιβάλλουσας, με συντελεστές που εξαρτώνται από τη θέση. Η ουσιαστική αντικατάσταση είναι ότι η διανυσματική συνιστώσα του κύματος στην κατεύθυνση ανάπτυξης μετατρέπεται σε έναν διαφορικό τελεστή.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

ενώ οι διανυσματικοί δείκτες των κυμάτων στο επίπεδο \(k_x, k_y\) παραμένουν καλές κβαντικές ποσότητες επειδή η δομή είναι μεταθετικά αναλλοίωτη στο επίπεδο. Κάθε \(k_z\) στην ομογενή Χαμιλτονιανή αντικαθίσταται από αυτόν τον τελεστή και κάθε \(k_z^2\) από τη συμμετρική δεύτερη παράγωγο της προηγούμενης σελίδας. Γινόμενα όπως το \(k_x k_z\) γίνονται \(k_x(-i\,d/dz)\), συμμετρικοποιημένα έτσι ώστε ο τελεστής να παραμένει Ερμιτιανός όταν ο συντελεστής μεταβάλλεται. Το αποτέλεσμα είναι μια διαφορική εξίσωση μήτρας για τα περιβάλλοντα, η οποία διακριτοποιείται όπως περιγράφεται στη σελίδα διακριτή μέθοδος.

3. Ανάγνωση ενός μπλοκ Χαμιλτονιανού.

Ένας πολυζωνικός Χαμιλτονιανός είναι καλύτερο να εξετάζεται πρώτα ως ένα μικρό σύνολο μπλοκ, πριν εξεταστούν τα μεμονωμένα στοιχεία του. Η πιο γενική διαίρεση διαχωρίζει τις καταστάσεις που συμπεριφέρονται σαν αγώγιμες από αυτές που συμπεριφέρονται σαν σθένουσες.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

όπου \(H_{cc}\) περιγράφει τις αγώγιμες καταστάσεις τύπου s, \(H_{vv}\) τις αγώγιμες καταστάσεις τύπου p και \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) τη σύζευξη ορμής Kane μεταξύ τους. Το αγώγιμο μπλοκ είναι ουσιαστικά ένας (μη παραβολικός) τελεστής αποτελεσματικής μάζας· το μπλοκ της ζώνης σθένους περιέχει τη φυσική των βαρέων οπών, των ελαφρών οπών και των διαχωρισμένων καταστάσεων· και το μπλοκ σύζευξης είναι αυτό που καθιστά το μοντέλο «πολυζωνικό» με την αυστηρή έννοια, συνδέοντας τη μη παραβολικότητα της αγώγιμης ζώνης με τη δομή της ζώνης σθένους. Οι όροι τάσης και σπιν-τροχιάς προστίθενται στα κατάλληλα μπλοκ.

4. Βασικές διατάξεις που χρησιμοποιεί η OghmaNano.

Η αριθμητική τιμή μιας καταχώρησης στον πίνακα Hamiltonian εξαρτάται από τη σειρά με την οποία παρατίθενται οι βασικές καταστάσεις. Το OghmaNano χρησιμοποιεί μια σταθερή καρτεσιανή βάση τροχιακών για τα μοντέλα σφαλερίτη και γουρτσιτίτη και τη βάση της ολικής στροφορμής για το Luttinger–Kohn. Οι σειρές είναι οι εξής:

• Οκταζωνική δομή τύπου σφαλερίτη και οκταζωνική δομή τύπου βουρτσίτη: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Δέκα ζώνες ενέργειας τύπου σφαλερίτη: οι οκτώ που αναφέρθηκαν παραπάνω, ακολουθούμενες από δύο τοπικοποιημένες καταστάσεις αζώτου \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
• 6-ζωνική προσέγγιση Luttinger–Kohn: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
• Πυρίτιο Δ-κοιλάδα: μία ενιαία (κλιμακωτή) ζώνη ανά κοιλάδα, η οποία επιλύεται μία φορά για καθεμία από τις έξι κατευθύνσεις της κοιλάδας.

Η χρήση των καρτεσιανών τροχιακών \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) αντί των συνδυασμών της ολικής στροφορμής \(|J,m_j\rangle\) διατηρεί τις συνδέσεις μεταξύ της ορμής και της τάσης πραγματικές και απλές στην συναρμολόγηση, με το κόστος να είναι ότι η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς παραμένει ως ένας ρητός εκτός διαγωνίου όρος. Το μοντέλο Luttinger–Kohn, αντίθετα, χρησιμοποιεί τη βάση \(|J,m_j\rangle\), στην οποία η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς είναι διαγώνια, αλλά οι κινητικοί όροι παίρνουν την κλασική μορφή \(P,Q,R,S\). Και οι δύο επιλογές είναι φυσικά ισοδύναμες· η καθεμία είναι βολική για ένα διαφορετικό μοντέλο και και οι δύο είναι τεκμηριωμένες στις αντίστοιχες σελίδες τους.