Funkcje bazowe, funkcje obwiedni i wielopasmowe hamiltoniany.

Przekształcenie hamiltonianu dla materiału o dużej objętości w problem związany z potencjałem kwantowym wymaga dwóch elementów: aproksymacji funkcji obwiedni, która pozwala na opis struktury o zmiennej przestrzennej za pomocą macierzy, oraz spójnego zbioru funkcji bazowych, w których można zapisać tę macierz. Na tej stronie zebrano oba te elementy i udokumentowano dokładną kolejność funkcji bazowych, których używa OghmaNano, aby poszczególne strony poświęcone konkretnym modelom mogły odwoływać się do jednej, wspólnej definicji.

1. Trzy rodzaje funkcji

Warto rozróżnić trzy obiekty, które łatwo ze sobą pomylić. Funkcja Blocha \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) to dokładna funkcja własna kryształu. Funkcja o okresowej symetrii komórkowej \(u_{n0}\) w środku strefy Brillouina jest jedną z ustalonych funkcji bazowych – przypominająca funkcję s dla pasma przewodnictwa i funkcję p (\(X,Y,Z\)) dla pasma walencyjnego. Funkcja obwiedni \(F_n(z)\) to wolnozmieniająca się amplituda, która mnoży każdą funkcję bazową i przenosi efekt ograniczenia. W heterostrukturze pełny stan jest sumą funkcji bazowych.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

i to właśnie zbiór kopert \(\{F_n(z)\}\) jest obliczany przez algorytm.

2. Metoda przybliżenia za pomocą funkcji obwiedni.

Metoda aproksymacji za pomocą funkcji obwiedni opiera się na dwóch założeniach: po pierwsze, że w każdej warstwie można używać tych samych funkcji bazowych dla punktu środka strefy Brillouina \(u_{n0}\), a po drugie, że parametry materiału (przerwa energetyczna, masy, parametry Kane'a i Luttingera) zmieniają się w zależności od położenia w skali znacznie większej niż stała sieci krystalicznej. W efekcie macierz k·p dla materiału staje się operatorem różniczkowym działającym na funkcje obwiedni, z współczynnikami zależnymi od położenia. Kluczowa zmiana polega na tym, że wektor falowy w kierunku wzrostu staje się operatorem różniczkowym.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

podczas gdy wektory fal w płaszczyźnie \(k_x, k_y\) nadal stanowią dobre liczby kwantowe, ponieważ struktura jest niezmiennicza względem translacji w tej płaszczyźnie. Każdy składnik \(k_z\) w hamiltonianie jest zastępowany przez ten operator, a każdy składnik \(k_z^2\) przez symetryczną drugą pochodną z poprzedniej strony. Iloczyny, takie jak \(k_x k_z\), przekształcają się w \(k_x(-i\,d/dz)\), a następnie są symetryzowane, aby operator pozostawał hermitowski, gdy współczynnik się zmienia. W rezultacie otrzymujemy macierzowe równanie różniczkowe dla obwiedni, które jest dyskretyzowane zgodnie z opisem na stronie strona z różnicami skończonymi.

3. Odczytywanie macierzy Hamiltona.

Najlepiej analizować wielopasmowy hamiltonian, dzieląc go najpierw na niewielką liczbę bloków, a dopiero później badać poszczególne elementy. Najgrubsze podział oddziela stany o charakterze przewodzącym od stanów o charakterze walencyjnym.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

gdzie \(H_{cc}\) opisuje stany przewodnictwa o charakterze „s”, \(H_{vv}\) stany walencyjne o charakterze „p”, a \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) sprzężenie pędu Kane’a między nimi. Blok przewodnictwa jest zasadniczo operatorem efektywnej masy (nieparabolicznej); blok walencyjny zawiera fizykę związaną z ciężkimi dziurami, lekkimi dziurami i stanami rozszczepionymi; a blok sprzężenia sprawia, że model jest „wielopasmowy” w ścisłym sensie, łącząc nieparaboliczność przewodnictwa ze strukturą walencyjną. Dodatkowe składniki związane z odkształceniem i oddziaływaniem spinowo-orbitalnym są dodawane do odpowiednich bloków.

4. Podstawowe sekwencje stosowane przez OghmaNano.

Wartość liczbowa elementu macierzy Hamiltona zależy od kolejności, w jakiej wymienione są stany bazowe. OghmaNano wykorzystuje stałą bazę orbitalną kartezjańską dla modeli cynku i wurtzytu oraz bazę całkowitego momentu pędu dla modelu Luttingera–Kohna. Kolejność elementów to:

• Struktura cynkblendy z 8 pasmami i struktura wurcytu z 8 pasmami: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Dziesięciopasmowa struktura cynkblendy: osiem wyższych poziomów, a następnie dwa zlokalizowane stany azotu \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Sześciopasmowy model Luttingera–Kohna: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
• Krzemowa dolina Δ: pojedynczy (skalarny) pas dla każdej doliny, obliczany raz dla każdej z sześciu orientacji doliny.

Zastosowanie orbitali kartezjańskich \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) zamiast kombinacji całkowitego momentu pędu \(|J,m_j\rangle\) pozwala zachować rzeczywiste i łatwe do zdefiniowania sprzężenia momentu i naprężeń, kosztem pozostawienia sprzężenia spinowo-orbitalnego jako wyraźnego elementu spoza głównej przekątnej. Model Luttingera-Kohna wykorzystuje natomiast bazę \(|J,m_j\rangle\), w której sprzężenie spinowo-orbitalne jest diagonalne, ale wyrazy kinetyczne przybierają klasyczną postać \(P,Q,R,S\). Oba rozwiązania są fizycznie równoważne; każde z nich jest wygodne dla innego modelu, a informacje na ich temat znajdują się na odpowiednich stronach.