Epitaksja pseudomorficzna i tensory odkształceń
Cele edukacyjne. Po przeczytaniu tej strony powinieneś/powinnaś być w stanie:
- Zdefiniuj tensor odkształceń dla warstwy pseudomorficznej naniesionej na podłoże.
- Wyznacz relację OghmaNano \(\varepsilon_{zz}=-2(C_{12}/C_{11})\varepsilon_{xx}\).
- Rozróżnij odkształcenia ściskające od odkształceń rozciągających oraz określ wpływ tych odkształceń na krawędzie pasm energetycznych.
- Zrozum, na czym polegają składowe odkształcenia związane z ciśnieniem hydrostatycznym oraz odkształcenia ścinające (dwuosiowe).
- Zobacz, w jaki sposób naprężenie wpływa na hamiltoniany przewodnictwa i wiązania.
Wymagania wstępne. wprowadzenie do koncepcji studni kwantowej. Przydatna jest podstawowa wiedza z zakresu teorii sprężystości (naprężenia, odkształcenia, prawo Hooke’a).
Szacowany czas czytania: 20 minut.
Gdy warstwę nanosi się na podłoże o innej stałej sieci krystalicznej, ulega ona odkształceniu, aby dopasować się do odległości między płaszczyznami podłoża. To pseudomorficzne odkształcenie nie jest czymś, czego należy unikać – jest to narzędzie projektowe, które przesuwa krawędzie pasm energetycznych, rozszczepia pasma ciężkich i lekkich dziur oraz reguluje długość fali i polaryzację emisji. Na tej stronie przedstawiono tensor odkształceń, którego używa OghmaNano, oraz wyjaśniono, w jaki sposób wpływa on na hamiltoniany k·p.
1. Pseudomorficzny wzrost
Poniżej określonej krytycznej grubości powstaje cienka, spójna warstwa: jej atomy w płaszczyźnie warstwy układają się w rzędach równoległych do podłoża, co wymusza przyjęcie przez nią stałej sieci krystalicznej w płaszczyźnie warstwy, odpowiadającej stałej podłoża, podczas gdy w kierunku wzrostu warstwa może się swobodnie rozprężać. W związku z tym naprężenie w płaszczyźnie warstwy wynosi...
\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]
gdzie \(a_{\text{sub}}\) i \(a_{\text{layer}}\) oznaczają parametry sieci krystalicznej odpowiednio podłoża i warstwy w stanie nienaprężonym. Jeśli naturalna odległość między atomami w warstwie jest większa niż w podłożu (\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)), to naprężenie w płaszczyźnie warstwy jest ujemne, co oznacza, że warstwa jest ściskana; odwrotna sytuacja prowadzi do naprężenia rozciągającego. Oprogramowanie OghmaNano sygnalizuje błąd, jeśli brakuje danych dotyczących parametrów sieci krystalicznej lub stałych sprężystości, ponieważ w takim przypadku nie można określić naprężenia.
2. Odkształcenie poza płaszczyzną.
Wzdłuż kierunku wzrostu warstwa nie jest obciążona, więc nie występują naprężenia normalne do powierzchni: \(\sigma_{zz}=0\). W przypadku kryształu o strukturze kubicznej, który rośnie na płaszczyźnie [001], prawo Hooke'a wiąże naprężenie normalne z odkształceniami za pomocą stałych sprężystości \(C_{11}\) i \(C_{12}\).
\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]
Ustawienie \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\) i rozwiązanie równania pozwala uzyskać zależność, której używa OghmaNano.
\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]
W związku z tym warstwa ta odkształca się w przeciwnych kierunkach wzdłuż \(z\): warstwa poddana ściskającym naprężeniom (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0)), a w odwrotnym przypadku. W przypadku wzrostu [001] istotne są składowe ścinające. \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) wszystkie wynoszą zero, więc odkształcenie jest czysto dwuosiowe.
3. Elementy poddawane działaniu ciśnienia hydrostatycznego i obciążeniom dwuosiowym.
Warto rozdzielić naprężenie na składową hydrostatyczną, która powoduje zmianę objętości, oraz na składową dwosiową (ścinającą), która powoduje zmianę kształtu. Składowa hydrostatyczna to ślad...
\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]
co powoduje zmianę szerokości pasma poprzez potencjały deformacji. Składowa dwuosiowa, proporcjonalna do \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\), nie zmienia objętości, ale znosi degenerację pasm walencyjnych, a w przypadku krzemu powoduje rozszczepienie dolin pasma przewodnictwa. Obie składowe działają poprzez różne wyrazy w hamiltonianie, dlatego można je analizować niezależnie.
4. Wpływ na krawędzie pasma.
Hydrostatyczna składowa przesuwa pasmo przewodnictwa o \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), a średnią wartość pasma walencyjnego o \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\), co zmienia przerwę energetyczną. Składowa dwosiowa wpływa na pasmo walencyjne poprzez potencjały deformacji ścinającej \(b\) i \(d\) (dla struktury cynkowej) i rozszczepia ciężkie i lekkie dziury. Zwykle naprężenie ściskające przesuwa ciężką dziurę w górę, sprzyjając emisji TE, natomiast naprężenie rozciągające może przesuwać lekką dziurę w górę, sprzyjając emisji TM. Dokładne operatory są omówione w strona Bir–Pikus, a sposób, w jaki każdy algorytm przetwarza tensor naprężeń, jest podsumowany tam oraz na stronach modelu (struktura cynkowa, struktura wurcytowa, krzem, Luttinger–Kohn).
Uwaga dotycząca implementacji. OghmaNano definiuje odkształcenie w płaszczyźnie w odniesieniu do stałej sieci krystalicznej warstwy, \(\varepsilon_{xx}=(a_{\text{sub}}-a_{\text{layer}})/a_{\text{layer}}\), i implementuje wynik [001] \(\varepsilon_{zz}=-2(C_{12}/C_{11})\varepsilon_{xx}\), ustawiając wszystkie składowe ścinające na zero. Niektóre źródła normalizują wartości w odniesieniu do stałej podłoża; różnica jest rzędu drugiego w odniesieniu do rozbieżności i pomijalna dla typowych odkształceń, ale warto o tym pamiętać podczas porównywania wyników z innymi programami.
Najważniejsze punkty.
- Warstwa o pseudomorficznej strukturze przyjmuje odległość między płaszczyznami podłoża: \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=(a_{\text{sub}}-a_{\text{layer}})/a_{\text{layer}}\).
- Zerowy poziom naprężeń normalnych daje \(\varepsilon_{zz}=-2(C_{12}/C_{11})\varepsilon_{xx}\).
- Odkształcenie rozkłada się na dwie składowe: pierwszą, powodującą zmianę objętości i działającą w sposób hydrostatyczny, oraz drugą, powodującą zmianę kształtu i działającą w dwóch osiach.
- Hydrostatyczne odkształcenie powoduje przesunięcie szczeliny; dwuosiowe odkształcenie rozszczepia pasma walencyjne i doliny krzemu.