Zrozumienie sześciopasmowego modelu Luttingera-Kohna opisującego strukturę elektronową walencyjną.

Dlaczego potrzebujemy odrębnego modelu do opisu otworów?

W samouczek dotyczący pasma parabolicznegowykorzystaliśmy oddzielne parabole do opisu zachowania elektronów i dziur. To dobre wyjściowe założenie, ale górne pasma walencyjne wielu półprzewodników są znacznie bardziej złożone. Zamiast pojedynczego pasma dziur, mamy do czynienia z kilkoma blisko położonymi pasmami, które mogą oddziaływać ze sobą.

Te pasma nazywa się potocznie pasmem ciężkich dziur (HH), pasmem lekkich dziur (LH) i pasmem rozszczepionym (SO), co przedstawiono na rysunku ??. Określenia „ciężkie” i „lekkie” odnoszą się do różnych krzywizn tych pasm, a zatem do różnych efektywnych mas; nie oznaczają one, że istnieją dwa różne rodzaje fizycznych dziur.

Sześciopasmowy model Luttingera–Kohna (LK) opisuje te stany walencyjne łącznie. Jest on szczególnie przydatny w przypadku kwantowych studni krzemowych, germanowych i SiGe, gdzie stany przewodnictwa można opisywać za pomocą oddzielnego modelu model doliny krzemowej. W przeciwieństwie do ośmiopasmowego modelu, sześciopasmowy model LK nie uwzględnia wprost pasma przewodnictwa: skupia się na fizyce dziur.

Skąd biorą się te sześć stanów?

Aby zrozumieć znaczenie liczby sześć, warto zacząć od rozważenia orbitali pasma walencyjnego. W pobliżu środka strefy, odpowiednie stany w półprzewodnikach typu diament i cynkowego blendu charakteryzują się trzema składowymi orbitalnymi o charakterze p, które możemy oznaczyć jako X, Y i Z. Elektron ma również dwie możliwe składowe spinu. Zatem pomnożenie trzech składowych orbitalnych przez dwie składowe spinu daje w sumie sześć stanów.

Oddziaływanie spinowo-orbitalne w krysztale łączy moment pędu orbitalny i spinowy. W związku z tym wygodnie jest zastąpić oddzielne oznaczenia momentu pędu orbitalnego i spinowego stanami całkowitego momentu pędu, oznaczanymi jako J i jego projekcja mJ. Sześć stanów dzieli się na grupę czterech stanów, dla których J = 3/2, oraz grupę dwóch stanów, dla których J = 1/2:

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

Cztery stany o J = 3/2 tworzą wielokrotność stanów odpowiadających ciężkim i lekkim dziurom w centrum strefy Brillouina. Pozostała para stanów tworzy rozszczepioną podstrefę, przesuniętą w dół ze względu na energię oddziaływania spin-orbita, \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Nie są to sześć niezależnych parabol: w miarę oddalania się nośnika od centrum strefy, poszczególne składowe mogą się mieszać, dlatego należy je rozwiązywać łącznie.

Wybór sześciopasmowej metody obliczeniowej

OghmaNano wykorzystuje bazę opartą na całkowitym momencie pędu, przy czym stany są uporządkowane w następujący sposób:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

Pierwszy i czwarty stan mają charakter „ciężkiej dziury”, środkowe dwa stany w grupie J = 3/2 mają charakter „lekkiej dziury”, a dwa ostatnie stany to stany oddzielone. Taka kolejność jest przydatna, ponieważ sprzężenie spinowo-orbitalne jest już uwzględnione w bazie: w środku strefy Brillouina para oddzielonych stanów znajduje się \(\Delta_{\mathrm{so}}\) poniżej górnych stanów pasma walencyjnego.

W związku z tym możemy skonstruować macierz Hamiltona o wymiarach 6 × 6, która opisuje poszczególne stany i oddziaływania między nimi. Dopuszczalne wartości energii uzyskujemy, znajdując wartości własne tej macierzy, natomiast wektory własne informują nas o charakterze każdego otrzymanego stanu – czy jest to stan związany z ciężką dziurą, lekką dziurą, czy też stan o rozszczepionej strukturze.

Jak opisać ruch otworu?

W pojedynczej parabolicznej strefie przewodnictwa, pojedyncza efektywna masa określa, jak szybko energia zmienia się wraz z wektorem falowym. W naszym przypadku mamy do czynienia z kilkoma sprzężonymi stanami walencyjnymi, więc jedna masa nie wystarcza. Zamiast tego, model Luttingera-Kohna wykorzystuje trzy parametry materiałowe, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) i \(\gamma_3\), do opisu krzywizny i mieszania się stref.

Parametry te są grupowane w cztery wygodne w użyciu wielkości matematyczne, które tradycyjnie określa się jako \(P\), \(Q\), \(R\) i \(S\). Łatwiej zrozumieć ich fizyczne znaczenie, zanim zapoznamy się z ich pełnymi wzorami:

• \(P\): wspólny wkład w zakrzywienie stanów walencyjnych.
• \(Q\): pozwala rozróżnić różne orientacje stanów odpowiadających ciężkim i lekkim dziurom oraz oddzielić ich poziomy energetyczne.
• \(R\): łączy składowe walencyjne poprzez ruch w płaszczyźnie warstw półprzewodnikowych.
• \(S\): pary atomów łączą się ze sobą dzięki kombinacji ruchów w jednej płaszczyźnie oraz ruchów wzdłuż warstw.

Podstawowy wektor falowy ma trzy składowe: \(k_x\) i \(k_y\) opisują ruch równoległy do warstw studni kwantowej, natomiast \(k_z\) odnosi się do kierunku wzrostu, czyli jest do nich prostopadły. Definiujemy również \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), gdzie \(m_0\) to masa swobodnego elektronu.

W przyjętej konwencji znaków, stosowanej w dostarczonym modelu OghmaNano, wkłady kinetyczne wynoszą:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

Nie musimy zapamiętywać tych wyrażeń, aby zrozumieć model. Zamiast tego zwróćmy uwagę, że niektóre terminy zależą od \(k_x\) i \(k_y\) w inny sposób niż od \(k_z\). To właśnie dzięki temu modelowi matematycznemu możemy opisać różne właściwości „ciężkich” i „lekkich” dziur w różnych kierunkach w strukturze krystalicznej. Czynniki urojone w \(R\) i \(S\) stanowią część wybranej bazy kwantowej; pełny hamiltonian pozostaje hermitowski i ma rzeczywiste wartości energii.

Przydatny przykład: przesuwająca się wzdłuż kierunku wzrostu szczelina.

Zanim przejdziemy do analizy pełnej macierzy, rozważmy prosty przypadek, w którym wektor fal w płaszczyźnie wynosi zero, czyli \(k_x=k_y=0\). Wówczas wyrazy związane z energią kinetyczną upraszczają się do:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

W związku z tym, przekątna odpowiadająca ciężkim dziurom zawiera \(P+Q\), natomiast przekątna odpowiadająca lekkim dziurom zawiera \(P-Q\). Nawet bez obliczania wszystkich wartości własnych, możemy zauważyć, jak powstają różne krzywizny:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Te wyrażenia pokazują różne skale krzywizny wzdłuż kierunku wzrostu. Istnieje jednak istotne zastrzeżenie: część odpowiadająca lekkim dziurom w pełnym sześciopasmowym hamiltonianie nadal może oddziaływać ze stanami rozszczepionymi poprzez \(Q\). Zatem drugie wyrażenie stanowi wkład diagonalny, a nie ogólnie rzecz biorąc, dokładną wartość własną lekkich dziur w sześciopasmowym modelu. To dokładnie ilustruje, dlaczego musimy rozwiązywać równanie macierzowe, zamiast zakładać, że każda pasma walencyjna ma niezależnie paraboliczny kształt.

Łącząc sześć stanów.

Ponieważ poszczególne składniki hamiltonianu mają teraz fizyczne znaczenie, możemy złożyć pełny hamiltonian. Jego wiersze i kolumny odpowiadają, w odpowiedniej kolejności, sześciu wcześniej wprowadzonym stanom. Mierzymy energie względem stanu odniesienia pasma walencyjnego \(E_v\) i zapisujemy \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

To wygląda na znacznie bardziej skomplikowane niż pojedyncze równanie Schrödingera, ale jego struktura jest dość prosta. Pierwsze cztery wiersze i kolumny opisują przestrzeń stanów odpowiadającą ciężkim i lekkim dziurom. Ostatnie dwa opisują parę stanów o rozszczepionej energii. Elementy na przekątnej opisują energie poszczególnych składowych, natomiast elementy spoza przekątnej powodują ich mieszanie. Symbol sztyletu oznacza sprzężony hermitowsko element; w przypadku współczynnika skalarnego oznacza to jego sprzężenie zespolone.

W centrum strefy i bez zewnętrznych oddziaływań, człony kinetyczne zanikają: cztery stany o J = 3/2 mają wspólny brzeg pasma walencyjnego, a rozszczepiona para leży \(\Delta\) poniżej tego brzegu. Z dala od centrum strefy, mieszanie się stanów zmienia energie i charakter wynikowych pasm.

Co się dzieje, gdy półprzewodnik jest poddawany naprężeniom?

Kwantowe studnie wykonane z krzemu i germanu często tworzy się na podłożu o nieznacznie innej stałej sieci krystalicznej. Powoduje to powstawanie naprężeń, które mogą zmieniać energie pasm walencyjnych i znosić degenerację stanów odpowiadających ciężkim i lekkim dziurom.

Przydatną cechą formalizmu Luttingera–Kohna jest możliwość wprowadzenia odkształceń za pomocą innego zbioru składników \(P,Q,R,S\). Po prostu łączymy wkłady związane z energią kinetyczną i odkształceniami:

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Na przykład, wpływ naprężeń hydrostatycznych zależy od całkowitej zmiany objętości, natomiast składowa dwuosiowa odróżnia odkształcenia w kierunku wzrostu od odkształceń w płaszczyźnie:

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

Pozostałe składowe naprężeń wpływają na \(R_{\varepsilon}\) i \(S_{\varepsilon}\), umożliwiając mieszanie się stanów walencyjnych pod wpływem naprężeń ścinających. Pełne wzory i konwencje dotyczące potencjału deformacji omówione są na stronie strona poświęcona naprężeniom Bir–Pikus. Następnie możemy rozwiązać tę samą macierz sześciopasmową, uwzględniając w niej składniki związane z naprężeniami.

Zastosowanie modelu do studni kwantowej.

Do tej pory opisywaliśmy strukturę pasmową, wykorzystując trzy składowe wektora falowego. W strukturze kwantowej nośniki ładunku są ograniczone wzdłuż kierunku wzrostu \(z\), natomiast mogą swobodnie poruszać się wzdłuż kierunków \(x\) i \(y\). W związku z tym składowe wektora falowego w płaszczyźnie są nadal wyrażane w postaci liczb, ale ruch wzdłuż kierunku \(z\) musi być reprezentowany przez operator:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Wszystkie wyrażenia zawierające \(k_z\) stają się pochodnymi funkcji falowych otoczki. Następnie rozwiązuje się problem sześciopasmowy dla wszystkich warstw półprzewodnika, uwzględniając profil potencjału, parametry materiałowe i naprężenia. W wyniku otrzymuje się zbiór ograniczonych podpasem walencyjnych, z których każda ma sześciokomponentową funkcję falową otoczki. Komponenty te informują nas o tym, jaka część każdego stanu ma charakter ciężkich dziur, lekkich dziur i dziur o rozszczepionej energii.

Jeśli siatka określająca kierunek wzrostu zawiera \(N_z\) punktów przestrzennych, dyskretny hamiltonian ma wymiary \(6N_z\) na \(6N_z\). OghmaNano wykorzystuje to wielopasmowe obliczenie do analizy stanów walencyjnych, natomiast moduł silicon Δ-valley solver oddzielnie analizuje stany przewodnictwa. W przeciwieństwie do prostego parabolicznego modelu, to podejście pozwala opisać mieszanie się pasm walencyjnych, które zmienia się w zależności od wektora fal w płaszczyźnie. Pełne obliczenie dla Si/SiGe z wykorzystaniem tego modelu przedstawiono w six-band Luttinger–Kohn quantum-well tutorial.

Jaki jest związek między tym a modelem ośmiu poziomów?

Sześciokanałowy model LK oraz ośmiopasmowy model k·p dla struktury cynkowej opisują powiązane zagadnienia z zakresu fizyki, ale różnią się w kwestii tego, które stany są uwzględniane w sposób bezpośredni. Oba modele zachowują oddziałujące stany walencyjne. Ośmiopasmowy model dodaje również dwa stany przewodnictwa, rozróżnione ze względu na spin i przypominające stany „s”, oraz ich sprzężenie Kane’a do pasma walencyjnego.

W półprzewodnikach, takich jak krzem, gdzie najniższe minima przewodnictwa występują z dala od środka strefy Brillouina, ośmiopasmowy hamiltonian skupiony w środku strefy nie jest bezpośrednim opisem tych sześciu dolin. Dlatego warto rozpatrywać pasmo walencyjne za pomocą sześciopasmowego modelu LK, a pasmo przewodnictwa za pomocą dedykowanego modelu dolin.