Stany własne, normalizacja i charakter stanu

Rozwiązywacz równań własnych zwraca wartości energii i wektory obwiedni. Na tej stronie wyjaśniono, w jaki sposób OghmaNano normalizuje te obwiednie, jak określa charakter orbitalny każdego stanu i jak śledzi, który podpasmo odpowiada któremu, podczas skanowania wektora falowego w płaszczyźnie – wszystkie te informacje są potrzebne w kolejnych procedurach optycznych i transportowych.

1. Normalizacja

Wielopasmowa obwiednia ma jeden składnik dla każdej funkcji bazowej w każdym węźle. OghmaNano normalizuje całkowite prawdopodobieństwo, sumowane dla wszystkich pasm i zintegrowane w całej siatce, do wartości 1:

\[ \sum_{z}\sum_{b} \big|\psi_b(z)\big|^2\,\Delta z = 1. \]

Ta fizyczna normalizacja powoduje, że \(|\psi_b(z)|^2\Delta z\) prawdopodobieństwo znalezienia nośnika w paśmie. \(b\) w pobliżu węzła \(z\)oraz zapewnia, że elementy optycznej macierzy i gęstość warstw mają odpowiednią, poprawną skalę bezwzględną. W przypadku rozwiązywania problemów za pomocą metod skalarnych (parabolicznych i opartych na krzemie) stosuje się tę samą zasadę, ale tylko dla jednego zakresu częstotliwości.

2. Charakter państwa

Ponieważ stany wielopasmowe łączą orbitale o charakterze s i p, każdy stan własny ma określone właściwości, które można opisać jako udział prawdopodobieństwa wystąpienia w danym orbitalu. OghmaNano oblicza sumę kwadratów tych udziałów.

\[ w_S = \sum_z\big(|\psi_{S\uparrow}|^2+|\psi_{S\downarrow}|^2\big)\Delta z, \quad w_X, w_Y, w_Z \ \text{likewise}, \]

w taki sposób, że \(w_S+w_X+w_Y+w_Z=1\) (plus waga azotu \(w_N\) w 10-pasmowym modelu). Stan o dużej wartości \(w_S\) przypomina stan przewodzący (elektron); stan zdominowany przez \(w_X, w_Y, w_Z\) przypomina stan walencyjny (dziura). Poszczególne wagi \(X, Y, Z\) ujawniają również, czy stan walencyjny przypomina stan z ciężką dziurą (głównie \(X, Y\)) czy stan z lekką dziurą, co wpływa na jego właściwości optyczne zasady selekcji.

3. Klasyfikacja stanów na podstawie cechy S.

Gdy stany przewodnictwa i walencyjne są rozwiązywane łącznie w jednym spektrum, należy je uporządkować, rozdzielając elektrony i dziury. OghmaNano wykorzystuje do tego wagę charakteru S \(w_S\): stan jest traktowany jako podobny do elektronu proporcjonalnie do \(w_S\), a jako podobny do dziury proporcjonalnie do \(1-w_S\). Ta ciągła waga jest istotna w pobliżu krawędzi pasma materiałów o małej przerwie energetycznej, gdzie silne mieszanie się stanów przewodnictwa i walencyjnych powoduje, że rozróżnienie między elektronami i dziurami staje się faktycznie częściowe. Ta sama waga jest uwzględniana w obliczeniach gain, gdzie wpływa na skalę emisji i absorpcji w każdej tranzycji.

4. Śledzenie podpasm wzdłuż rozproszenia.

Dyspersja w płaszczyźnie jest obliczana poprzez rozwiązanie hamiltonianu w serii punktów \(k_\parallel\). Rozwiązywacz wartości własnych zwraca stany w kolejności energii, ale ta kolejność może się zmieniać, gdy podpasma się przecinają lub od siebie oddalają, więc proste sortowanie po energii spowodowałoby pomieszanie oznaczeń pasm. OghmaNano zamiast tego śledzi stany na podstawie nakładania się: w każdym nowym punkcie \(k_\parallel\) dopasowuje każdy poprzedni wektor własny do nowego wektora własnego, z którym ma największe nakładanie się.

\[ \text{match}(i) = \arg\max_j \Big|\textstyle\sum_z\sum_b \psi^{(k-1)}_{i,b}(z)^\*\,\psi^{(k)}_{j,b}(z)\,\Delta z\Big|^2, \]

dzięki czemu każda podgrupa zachowuje spójną charakterystykę w całym zakresie rozproszenia. To ciągłe oznaczanie jest tym, co sprawia, że energie podgrup \(E_n(k_\parallel)\) są gładkimi funkcjami, odpowiednimi do obliczania całek optycznych i transportowych.

5. Analiza funkcji falowych.

Ograniczone obszary mają bezpośrednie znaczenie fizyczne. Liczba węzłów w tych obszarach określa indeks podpasma; ich przestrzenny zasięg pokazuje, jak silnie stan jest zlokalizowany i jak daleko rozprzestrzenia się poza barierę; a nakładanie się obszarów elektronów i dziur określa siłę przejścia optycznego między nimi. W strukturach odkształconych lub asymetrycznych obszary elektronów i dziur mogą być przesunięte na przeciwległe strony studni potencjału, co zmniejsza ich nakładanie się i efektywność optyczną – efekt, który jest bezpośrednio uwzględniany w modelach wielopasmowych i wpływa na obliczenia matrix-element.