Zrozumienie modelu Wurtzite'a opartego na metodzie k·p z uwzględnieniem ośmiu pasm energetycznych.

Dlaczego potrzebujemy innego modelu dla wurtzytu?

W samouczek dotyczący ośmiopasmowej struktury cynku blendeZamiast traktować każdy z nich jako niezależną parabolę, umożliwiliśmy oddziaływanie między stanami przewodnictwa i walencyjnymi. Teraz chcemy zastosować to samo podejście do materiałów, takich jak GaN, AlN, InN i ich stopów, które są powszechnie stosowane w diodach LED i laserach.

Materiały te zazwyczaj charakteryzują się strukturą kryształu wurtzytu. W odróżnieniu od struktury cynku, która ma symetrię kubiczną, wurtzyt wyróżnia się heksagonalną symetrią, co odróżnia jeden kierunek: oś c kryształu. Na całej tej stronie przyjmujemy, że jest to kierunek \(z\), przy czym kierunki \(x\) i \(y\) leżą w prostopadłej płaszczyźnie podstawowej. To rozróżnienie jest istotne, ponieważ energia elektronowa, mieszanie się orbitali i oddziaływanie ze światłem mogą zależeć od kierunku.

Najpierw przedstawimy fizyczne podstawy każdego nowego pojęcia, a następnie pokażemy, w jaki sposób ośmiopasmowy hamiltonian opisuje je. Otrzymany wynik będzie bezpośrednio związany z podpasmami w strukturach kwantowych i polaryzacją emitowanego światła.

Oś c i rozszczepienie pola krystalicznego

Rozważmy trzy stany orbitalne o charakterze zbliżonym do orbitalu p, które służą do opisu górnych pasm walencyjnych. Oznaczamy je odpowiednio jako \(X\), \(Y\) i \(Z\), zgodnie z ich charakterem orbitalnym. Są to funkcje bazowe opisujące elektrony, a nie trzy różne punkty w urządzeniu. W strukturze wurtzytowej stany \(X\) i \(Y\) są ze sobą powiązane symetrią, natomiast stan \(Z\) wyróżnia się osiowo (wzdłuż osi c).

Dzięki temu potencjał kryształu może wpływać na energię stanu podobnego do \(Z\) w stosunku do stanów podobnych do \(X,Y\), jeszcze zanim uwzględni się spin. To zjawisko nazywa się rozszczepieniem pola krystalicznego i jest ono przedstawione na ilustracji ??. Następnie sprzężenie spinowo-orbitalne miesza charakter orbitalny i spinowy, tworząc trzy zestawy podwójnych poziomów energetycznych, które często określa się jako pasma A, B i C.

Istotne jest, jaki charakter mają ich orbity. Pasmo, w którym przeważają orbity leżące w jednej płaszczyźnie \(X,Y\), zazwyczaj w odmienny sposób oddziałuje ze spolaryzowanym światłem niż pasmo, w którym dominują orbity zorientowane wzdłuż osi c \(Z\). Dlatego też rozszczepienie pola krystalicznego nie jest jedynie niewielką korektą do szerokości pasma; może ono wpływać na właściwości optyczne kwantowych studni azotanowych.

Skąd biorą się te osiem pasm?

Podobnie jak w przypadku struktury cynkowej, zachowujemy jedną dominującą orbitalę przewodzącą o charakterze „s”, oznaczoną jako \(S\), oraz trzy dominujące orbitale walencyjne o charakterze „p”, oznaczone jako \(X\), \(Y\) i \(Z\). Każda orbitala ma dwie składowe spinowe, co daje łącznie osiem stanów podstawowych:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Zamiast rozwiązywać osiem niezależnych równań, umieszczamy te stany w jednej macierzy Hamiltona. Elementy na głównej przekątnej opisują energie związane z poszczególnymi stanami bazowymi, natomiast elementy spoza głównej przekątnej opisują, jak te stany oddziałują ze sobą. Warto podzielić macierz na bloki odpowiadające stanom przewodnictwa, walencyjnym i blokowi sprzężeń:

\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]

Blok przewodnictwa zawiera dwa stany spinowe, blok walencyjny zawiera sześć, a \(H_{cv}\) łączy je ze sobą. Symbol \(\dagger\) oznacza sprzężony hermitowsko. Po przekształceniu tej macierzy do postaci diagonalnej, otrzymujemy energie i wektory własne, których składowe odpowiadające przewodnictwu, walencji, orbitalom i spinowi mogą się mieszać.

Dlaczego istnieją dwie wartości masy elektronów w paśmie przewodnictwa?

W tutorialu dotyczącym parabolicznych pasm, krzywizna pasma była kontrolowana przez efektywną masę. Struktura wurtzytowa pozwala nam rozróżnić ruch wzdłuż osi c od ruchu w płaszczyźnie podstawowej. Korzystając z \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\), można zapisać prostą, kierunkową zależność dyspersji w następujący sposób:

\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]

W związku z tym elektron może przyjmować energię w różnym tempie, w zależności od tego, czy jego ruch odbywa się równolegle, czy prostopadle do warstw. Jest to szczególnie istotne w przypadku kwantowej studni o orientacji c, gdzie ograniczenie występuje wzdłuż \(z\), natomiast podpasma są przedstawiane w odniesieniu do \(k_{\parallel}\).

W wielopasmowym hamiltonianie OghmaNano wykorzystywane są dwa parametry przewodnictwa: \(S_1\) dla osi c oraz \(S_2\) dla płaszczyzny podstawowej:

\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]

Te parametry opisują pozostałą krzywiznę pasma przewodnictwa. Ostateczne wartości mas na krawędzi pasma zależą również od sprzężenia ze stanami walencyjnymi, co uwzględniamy w dalszej części. W związku z tym parametry należy dobierać w sposób spójny, aby uniknąć podwójnego liczenia tego samego wkładu między pasmami.

Dlaczego w przypadku wurtzytu konieczne jest stosowanie dwóch parametrów Kane'a?

W wprowadzenie do teorii K·P...napotkaliśmy elementy macierzy pędu, które łączą różne stany orbitalne. Na przykład, stan przewodnictwa o charakterze „s” sprzęga się z trzema stanami walencyjnymi o charakterze „p”. Intensywność tych oddziaływań określa się jako... Parametry Kane'a.

Struktura wurtzytu wymaga oddzielnych wartości sił oddziaływania dla osi c i płaszczyzny podstawowej:

• \(P_2\): sprzężenie między \(S\) a orbitalami leżącymi w tej samej płaszczyźnie \(X,Y\) poprzez \(k_x,k_y\).
• \(P_1\): sprzężenie między \(S\) a orbitalem osi c \(Z\) za pośrednictwem \(k_z\).

W przyjętej tutaj konwencji reprezentatywne elementy hamiltonianu to:

\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]

Ich sprzężone hermitowsko wyrażenia pojawiają się po drugiej stronie macierzy. Parametry są często określone za pomocą energii Kane'a:

\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]

Posiadanie dwóch mechanizmów sprzężenia oznacza, że stany elektronowe reagują w różny sposób na oddziaływania wzdłuż osi c oraz prostopadle do niej. Ponadto pozwoli nam to później bezpośrednio wyjaśnić reguły selekcji optycznej TE i TM.

Dlaczego potrzebujemy sześciu parametrów walencyjnych?

Pasmo przewodnictwa rozpoczyna się od pojedynczej orbitali o charakterze „s” dla każdego spinu. W paśmie walencyjnym znajdują się trzy orbitale o charakterze „p” dla każdego spinu, które są blisko siebie pod względem energii. Wraz ze zmianą wektora falowego, stany te mogą się mieszać, zamiast podążać za trzema niezależnymi parabolami.

Model wurtzytu opisuje kierunkową krzywiznę i mieszanie się tych stanów za pomocą sześciu powszechnie stosowanych parametrów, oznaczonych jako \(A_1\) do \(A_6\), znanych jako parametry Rashby–Sheki–Pikusa. Niektóre z nich określają, jak zmieniają się energie pasm w zależności od ruchu wzdłuż lub w poprzek osi c, inne kontrolują sprzężenie między składowymi orbitalnymi.

Pomijając na chwilę takie pojęcia jak spin i inne, blok walencyjny w układzie kartezjańskim, którego właściwości zależą od wektora falowego, ma następującą ogólną postać:

\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]

Elementy na głównej przekątnej opisują głównie właściwości \(X\), \(Y\) i \(Z\). Elementy spoza głównej przekątnej mieszają te właściwości, gdy obecne są odpowiednie składowe wektora falowego. To mieszanie jest jednym z powodów, dla których obliczone podpasma walencyjne nie mogą być w ogólnym przypadku zastąpione trzema prostymi parabolami.

W jaki sposób OghmaNano wykorzystuje parametry A1–A6?

Poniższe definicje opisują konwencję dotyczącą współczynników kartezjańskich, stosowaną w istniejącym modelu wurtzytu OghmaNano. Najpierw definiujemy:

\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]

Gdy uwzględnimy wkład wolnych elektronów \(A_0k^2\) i przedstawimy go oddzielnie, wartości na głównej przekątnej macierzy będą następujące:

\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]

Elementy spoza głównej przekątnej to \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) i \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), przy czym należy uwzględnić ich sprzężone hermitowskie odpowiedniki. Referencja \(E_{v,\mathrm{av}}\) jest wybierana w sposób spójny z terminami dotyczącymi pola krystalicznego i sprzężenia spinowo-orbitalnego. Konwencje dotyczące parametrów różnią się w poszczególnych publikacjach, dlatego wartości podane w tabelach nie powinny być przenoszone między różnymi konwencjami hamiltonianu bez sprawdzenia, czy uwzględniono w nich wkłady związane z elektronami swobodnymi i interakcjami między pasmami.

Dodatkowe obroty: trzy pary elektronów walencyjnych

Możemy teraz wrócić do diagramu pola krystalicznego. W notacji OghmaNano odpowiednie parametry rozszczepienia oznaczane są jako \(\delta_1\), \(\delta_2\) i \(\delta_3\). Człon pola krystalicznego \(\delta_1\) odróżnia orbitale podstawowe od orbitalu osi c. Pozostałe dwa parametry opisują sprzężenie spinowo-orbitalne, które miesza charakter orbitalny i spinowy.

Diagonalizacja bloku walencyjnego w środku strefy Brillouina prowadzi do powstania trzech blisko położonych poziomów walencyjnych, z których każdy jest podwójnie zdegenerowany (A, B i C). Ich kolejność jest określana przez parametry materiału, a nie przez założenie, że określona orbital musi zawsze odpowiadać najwyższemu poziomowi. OghmaNano ustala swój punkt odniesienia dla energii walencyjnej w taki sposób, aby najwyższy uzyskany poziom walencyjny w środku strefy Brillouina odpowiadał wybranemu brzegowi pasma walencyjnego \(E_v\).

Ma to znaczenie z punktu widzenia optyki: charakterystyka najwyższego poziomu energetycznego determinuje, która polaryzacja może najsilniej oddziaływać z przejściami między pasmami o najniższej energii.

Jak naprężenia wpływają na pasma energetyczne w strukturze wurtzytu?

Warstwa półprzewodnikowa o strukturze studni kwantowej jest zazwyczaj osadzana na innym półprzewodniku. Jeśli materiały mają różne naturalne parametry sieci krystalicznej, cienka warstwa może być zmuszona do dopasowania się do odległości między atomami w płaszczyźnie, jaką mają jej sąsiednie warstwy. Powoduje to powstanie naprężeń, które przesuwają i mieszają stany elektronowe.

W strukturze opartej na płaszczyźnie c składowe odkształcenia w tej płaszczyźnie mogą być do siebie zbliżone, natomiast odkształcenie wzdłuż osi c jest inne. Dlatego w przypadku wurtzytu konieczne jest uwzględnienie kierunkowych potencjałów odkształceń. Firma OghmaNano wykorzystuje \(a_1,a_2\) do określenia wpływu pasma przewodnictwa oraz \(D_1\)–\(D_6\) do określenia macierzy odkształceń pasma walencyjnego.

Zgodnie z przyjętą konwencją dokumentacji istniejącego modelu, przesunięcie przewodzenia zapisuje się w następujący sposób:

\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]

Współczynniki odkształceń walencyjnych powstają na podstawie kombinacji \(D_i\), analogicznie do kierunkowych współczynników kinetycznych:

\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]

Aby uzyskać optymalny, pseudomorficzny wzrost warstwy na płaszczyźnie c, bez występowania naprężeń ścinających, składniki proporcjonalne do tych naprężeń znikają. Jednak pozostają one niezbędne w przypadku bardziej ogólnych orientacji wzrostu i pól naprężeń. Ważnym rezultatem jest to, że naprężenia mogą zmieniać przerwę energetyczną i modyfikować górne stany walencyjne, co ma wpływ na polaryzację optyczną.

Od charakterystyki orbitalnej do przejść optycznych typu TE i TM.

Ten przejścia optyczne samouczek wyjaśnił, w jaki sposób różnica energii między stanem przewodnictwa a stanem walencyjnym determinuje energię fotonu. Jednak sama zasada zachowania energii nie mówi nam, jak silnie dane przejście sprzęga się ze światłem. Ważna jest również orientacja pola elektrycznego światła.

W odniesieniu do standardowej konwencji dotyczącej kwantowych studni o orientacji (110), rozróżniamy:

• Polaryzacja TE: pole elektryczne w płaszczyźnie podstawowej, prostopadłe do osi c. Służy przede wszystkim do badania charakteru wiązania walencyjnego w obszarze \(X,Y\) poprzez oddziaływanie Kane'a w obszarze \(P_2\).
• Polaryzacja TM: pole elektryczne skierowane wzdłuż osi c. Pozwala ona zbadać charakter wiązania walencyjnego w \(Z\) poprzez \(P_1\).

Dla określonego kierunku polaryzacji światła \(\mathbf e\), amplituda przejścia optycznego obejmuje element macierzowy pędu:

\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]

Element macierzy uwzględnia zarówno odpowiedni, zależny od kierunku, składnik sprzężenia Kane’a, jak i nakładanie się funkcji falowych elektronów i dziur. To wyjaśnia, dlaczego ta sama studnia kwantowa może generować różne wartości siły oddziaływania dla polaryzacji TE i TM, nawet w przypadku przejść między tymi samymi poziomami energii.

Teraz możemy zrozumieć, dlaczego warto było najpierw wprowadzić pojęcia rozszczepienia pola krystalicznego, sprzężenia spinowo-orbitalnego i naprężeń: one determinują skład orbitalny stanów walencyjnych, co z kolei wpływa na sposób, w jaki stany te oddziałują ze światłem spolaryzowanym w różny sposób. Jest to istotne przy modelowaniu diod LED i laserów azotkowych. Otrzymane przejścia spolaryzowane TE i TM można badać w... Samouczek dotyczący ośmiopasmowej struktury wurtzytu GaN/AlGaN i metody k·p dla studni kwantowych..

W jaki sposób stosuje się ten model do studni kwantowej?

Do tej pory wykorzystywaliśmy składowe wektora falowego \(k_x,k_y,k_z\) do opisu pasm energetycznych w materiale. W strukturze kwantowej, która rośnie wzdłuż osi c, elektrony i dziury są ograniczone wzdłuż kierunku \(z\), ale nadal mogą poruszać się w płaszczyźnie \(x\)-\(y\). Podobnie jak w modelu cynku, wektor falowy w kierunku wzrostu staje się operatorem różniczkowym:

\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]

W związku z tym, ośmiopasmowy hamiltonian jest rozwiązywany dla ośmiu sprzężonych składowych funkcji obwiedni w całej warstwie, przy wybranych wektorach fal w płaszczyźnie. Potencjał, parametry efektywnej masy, sprzężenie Kane'a i naprężenia mogą się zmieniać między materiałem studni a barierą. Zależne od położenia współczynniki i wyrazy pochodne wymagają spójnej dyskretyzacji hermiańskiej na granicy.

Na siatce składającej się z \(N_z\) punktów, w każdym punkcie znajdują się osiem elementów, co prowadzi do powiązanego problemu numerycznego z \(8N_z\) niewiadomymi. Wartości własne określają dozwolone stany, a wektory własne opisują przestrzenną, orbitalną i spinową zawartość tych stanów. Powtarzanie rozwiązania dla różnych wektorów fal w płaszczyźnie generuje podpasma elektronowe. Następnie wykorzystuje się je do obliczenia zależnych od polaryzacji przejść optycznych.

Co wniósł model ośmiopasmowy?

Paraboliczny model stanowi przydatną podstawę do badania zjawiska kwantowego ograniczenia, ale nie pozwala na opis oddziaływań między blisko położonymi stanami walencyjnymi ani na pełne oddziaływanie optyczne w zależności od kierunku w strukturze wurtzytu. Ośmiopasmowy model zachowuje ogólny obraz ograniczonych stanów i podpasem, dodając jednocześnie elementy fizyczne niezbędne do opisu heksagonalnej struktury krystalicznej.