Struktura pasmowa studni kwantowej i przybliżenie paraboliczne pasm.
Od struktur kwantowych do pasm elektronowych.
W naszym wprowadzeniu do zagadnienia studni kwantowych wykorzystaliśmy równanie Schrödingera do obliczenia dozwolonych wartości energii i funkcji fal elektronu zamkniętego w potencjalnej studni. Przykład tych rozwiązań przedstawiono w ??.
Jednak to obliczenie opisuje jedynie zachowanie elektronu wzdłuż szerokości studni kwantowej. Półprzewodnikowa studnia kwantowa zazwyczaj powstaje z bardzo cienkiej warstwy materiału, rozciągającej się na znacznie większym obszarze. Jeśli zdefiniujemy kierunek \(z\) jako prostopadły do warstw półprzewodnikowych, wówczas elektron jest ograniczony wzdłuż kierunku \(z\), ale pozostaje swobodny w ruchu w kierunkach \(x\) i \(y\), równoległych do warstw.
Innymi słowy, elektron jest ograniczony do jednej przestrzeni, ale nadal może poruszać się w pozostałych dwóch. Dlatego też struktury kwantowe, zwane studniami kwantowymi, są powszechnie opisywane jako dwuwymiarowe układy elektroniczne.
Aby zrozumieć konsekwencje tego zjawiska, musimy powiązać dyskretne poziomy energii, uzyskane z równania Schrödingera, ze strukturą pasmową półprzewodnika.
🧪 Wypróbuj to w OghmaNano: Ten Samouczek dotyczący parabolicznych studni kwantowych GaAs/AlGaAs oblicza stany elektronów i dziur w strukturze o ograniczonej objętości, funkcje falowe oraz dwuwymiarowe podpasma, które opisane są na tej stronie. Przegląd dostępnych modeli studni kwantowych i modeli wielopasmowych znajduje się w k·p – program do obliczania struktury pasmowej, rozwiązywania problemów związanych z kwantowymi studniami i symulacji ruchliwości nośników..
Od dyskretnych poziomów energii do paraboloidalnych pasm.
Rozważmy studnię kwantową przedstawioną po lewej stronie rysunku ??. Rozwiązanie równania Schrödingera dla tej studni prowadzi do powstania szeregu stanów o ograniczonych energiach, o wartościach \(E_1\), \(E_2\) i \(E_3\).
Te wartości energii opisują ograniczenie ruchu elektronu w kierunku \(z\). Elektron może jednak poruszać się również równolegle do warstw, w kierunkach \(x\) i \(y\). W miarę jak elektron zyskuje pęd w tej płaszczyźnie, jego całkowita energia wzrasta.
Aby opisać to zjawisko, wprowadzamy pojęcie wektora falowego w płaszczyźnie, oznaczanego jako \(k_{\parallel}\). Jego wartość jest powiązana ze składowymi wektora falowego wzdłuż dwóch kierunków, w których ruch nie jest ograniczony:
\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]
W przypadku prostego półprzewodnika o parabolicznej strukturze pasma elektronowego, dodatkowa energia związana z tym ruchem w płaszczyźnie wynosi:
\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]
gdzie \(m^{*}\) oznacza efektywną masę elektronu. Efektywna masa opisuje, w jaki sposób elektron reaguje na siły działające wewnątrz kryształu, uwzględniając wpływ struktury elektronicznej półprzewodnika.
Możemy teraz połączyć energię uzyskaną dzięki zjawisku kwantowego uwięzienia z dodatkową energią związaną z ruchem równoległym do warstw:
\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]
To równanie pokazuje, że każdy z określonych poziomów energii staje się punktem początkowym paraboli, co przedstawiono po prawej stronie rysunku ??. Te parabole nazywane są podpasmami elektronowymi.
Przy zerowej wartości wektora falowego w płaszczyźnie, najniższy punkt każdej paraboli odpowiada dokładnie energii obliczonej poprzez rozwiązanie równania Schrödingera dla danego obszaru potencjału kwantowego. Wraz ze wzrostem wartości wektora falowego w płaszczyźnie, elektron przesuwa się w górę paraboli, zyskując energię, przy czym pozostaje w tym samym ograniczonym stanie wzdłuż osi \(z\).
W rezultacie przekształciliśmy zbiór odrębnych poziomów energii w studniach kwantowych w zbiór ciągłych, dwuwymiarowych podpasm elektronowych.
Dlaczego stosujemy wskaźnik Pasma Paraboliczne?
Aby zrozumieć, dlaczego pasma półprzewodników często przedstawia się w postaci parabol, rozważmy coś znacznie bardziej znanego: rzucanie piłką do krykieta. Energia kinetyczna piłki zależy od jej masy i prędkości:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]
Oznacza to, że jeśli rzucimy piłką dwa razy szybciej, jej energia kinetyczna będzie czterokrotnie większa. Ponieważ pęd jest określony wzorem \(p=mv\), możemy również zapisać tę zależność w następujący sposób:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]
Jeśli przedstawimy graficznie zależność energii naszej piłki do krykieta od jej pędu, otrzymamy parabolę. Piłka ma najniższą energię kinetyczną, gdy jej pęd wynosi zero, a jej energia rośnie w sposób kwadratowy wraz ze wzrostem pędu.
Co ciekawe, możemy wykorzystać bardzo podobną zależność do opisu elektronu w półprzewodniku. W mechanice kwantowej pęd jest powiązany z wektorem falowym poprzez \(p=\hbar k\). Podstawiając to do naszego wcześniejszego równania, otrzymujemy:
\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]
Jednak elektron znajdujący się w półprzewodniku nie porusza się w próżni. Oddziałuje on z okresowym polem potencjału kryształu, co zmienia związek między jego energią a ruchem. W pobliżu dolnej granicy wielu pasm przewodnictwa możemy uwzględnić to, zastępując zwykłą masę elektronu masą efektywną, \(m_e^{*}\).
Należy również uwzględnić energię na dolnej granicy pasma przewodnictwa, \(E_c\), co pozwala nam przybliżyć kształt pasma za pomocą paraboli:
\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]
Efektywna masa określa krzywiznę paraboli. Mniejsza efektywna masa powoduje, że pas energetyczny jest bardziej zakrzywiony, co oznacza, że elektron szybciej zyskuje energię wraz ze wzrostem jego wektora falowego. Większa efektywna masa powoduje, że pas energetyczny jest bardziej płaski.
Zaletą tego przybliżenia jest to, że pozwala ono opisać pasmo elektronowe, wykorzystując jedynie energię na krawędzi pasma i efektywną masę. Po obliczeniu energii związanej za pomocą równania Schrödingera, możemy wykorzystać tę zależność do skonstruowania odpowiadających jej podpasm w strukturze kwantowej. To obliczenie można przeanalizować bezpośrednio w Samouczku dotyczącym parabolicznej struktury kwantowej GaAs/AlGaAs.
Wprowadzenie do elektronów i dziur elektronowych
Do tej pory rozważaliśmy jedynie elektrony w paśmie przewodnictwa. Jednak półprzewodnik zawiera również pasmo walencyjne, w którym brak elektronu można opisać jako dodatnio naładowaną cząstkę, zwaną dziurą.
W pobliżu minimum pasma przewodnictwa energię elektronu można przybliżyć za pomocą paraboli skierowanej w górę:
\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]
Podobnie, w pobliżu maksimum pasma walencyjnego, możemy przybliżyć energie elektronów walencyjnych, używając paraboli skierowanej w dół:
\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]
Te dwie parabole przedstawiono na rysunku ??. Minimalna energia pasma przewodnictwa i maksymalna energia pasma walencyjnego są oddzielone przerwą energetyczną półprzewodnika, \(E_g\).
Podobnie jak elektrony mogą być zlokalizowane w kwantowej studni w paśmie przewodnictwa, dziury mogą być zlokalizowane przez odpowiedni potencjał w paśmie walencyjnym. Rozwiązanie równania Schrödingera dla obu typów nośników ładunku daje zatem dwa zestawy zlokalizowanych poziomów energii, na podstawie których można utworzyć odpowiednie podpasma dla elektronów i dziur.
Od struktur kwantowych po emisję i absorpcję światła.
Obserwowaliśmy już, jak rozwiązanie równania Schrödingera dla elektronu uwięzionego w kwantowej studni prowadzi do powstania szeregu poziomów energii, z których każdy staje się paraboliczną podstrefą, gdy uwzględniona jest możliwość ruchu równoległego do warstw półprzewodnika.
Możemy przeprowadzić dokładnie takie samo obliczenie dla dziur. Ilustruje to rysunek ??, na którym górne diagramy przedstawiają ograniczone stany elektronów w paśmie przewodnictwa, a dolne diagramy – odpowiadające im ograniczone stany dziur w paśmie walencyjnym. Dla lepszej czytelności, potencjał studni w paśmie walencyjnym jest przedstawiony w sposób odwrócony, a energie związane z ograniczeniem dziur mierzone są w dół od maksimum paśma walencyjnego.
Gdy obliczymy oba zestawy stanów, możemy zacząć opisywać oddziaływanie studni kwantowej ze światłem. Na przykład, elektron znajdujący się w stanie pasma przewodnictwa może rekombinować z dziurą w stanie pasma walencyjnego, emitując energię w postaci fotonu. Możliwy jest również proces odwrotny: wpadający foton może zostać zaabsorbowany, powodując przejście elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa.
Obliczanie energii przejścia
Rozważmy wyraźną czerwoną strzałkę na rysunku ??. Ilustruje ona przejście między najniższymi podpasmami elektronów i dziur przy zerowej wartości wektora fal w płaszczyźnie.
Energia potrzebna do przeprowadzenia tego przejścia to energia przerwy energetycznej półprzewodnika, powiększona o energię związaną z ograniczeniem elektronu i dziury:
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]
W tym przypadku \(E_g\) oznacza szerokość pasma energetycznego materiału tworzącego studnię kwantową, natomiast \(E_{e,n}\) i \(E_{h,m}\) oznaczają energie związane z ograniczeniem elektronów i dziur, mierzone względem odpowiednich krawędzi pasma energetycznego.
Na przykładzie przedstawionym na ilustracji, szerokość pasma energetycznego wynosi \(1.42\,\mathrm{eV}\), najniższa energia ograniczenia elektronów wynosi \(39\,\mathrm{meV}\), a najniższa energia ograniczenia dziur wynosi \(7\,\mathrm{meV}\). W rezultacie, energia przejścia wynosi:
\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]
Zauważ, że wartość ta jest nieznacznie większa niż szerokość pasma energetycznego półprzewodnika. Poprzez ograniczenie elektronów i dziur do obszaru potencjału kwantowego, zwiększyliśmy energię potrzebną do zachodzenia przejścia optycznego. Dzięki temu możemy regulować długość fali absorpcji i emisji, po prostu zmieniając szerokość obszaru potencjału.
Co się dzieje przy wyższych wartościach pędu w płaszczyźnie materiału?
Elektrony i dziury nie są ograniczone do dolnych części odpowiednich podpasm. Mogą również poruszać się równolegle do warstw półprzewodnika, zyskując dodatkową energię wraz ze wzrostem ich wektora fal w płaszczyźnie warstwy.
Jest to zilustrowane przerywaną czerwoną strzałką na rysunku. W przypadku bezpośredniej tranzycji optycznej wektor falowy kryształu w płaszczyźnie jest w przybliżeniu zachowany, ponieważ pęd przenoszony przez foton jest stosunkowo niewielki.
W naszym uproszczonym modelu z parabolą jako funkcją pasmową, energia przejścia wynosi zatem:
\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]
W tym przypadku \(\mu\) oznacza zredukowaną masę efektywną pary elektron-dziura, zdefiniowaną w następujący sposób:
\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]
Wraz ze wzrostem wektora fal w płaszczyźnie, energia przejścia również wzrasta. Oznacza to, że optyczne przejście między dwiema podstrefami nie ogranicza się do pojedynczej energii fotonu: różne zajęte stany na paraboli mogą przyczyniać się do szerszego zakresu przejść optycznych.
Jak bardzo dokładne jest przybliżenie paraboliczne?
Opracowany przez nas model jest celowo uproszczony. Zakłada on, że każdą strefę energetyczną można przedstawić za pomocą paraboli o odpowiedniej efektywnej masie. Jest to często przydatne przybliżenie w pobliżu minimum strefy przewodnictwa, gdzie zależność między energią a wektorem fal jest w przybliżeniu kwadratowa.
Jednak rzeczywiste struktury pasm energetycznych półprzewodników są bardziej złożone. Przykład można znaleźć w ??, gdzie przedstawiono obliczoną strukturę pasm elektronowych arsenku galu (GaAs).
Zauważ, że pasmo przewodnictwa ma w przybliżeniu paraboloidalny kształt w pobliżu swojego minimum w punkcie Gamma, ale kształt ten zmienia się, gdy oddalamy się od tego punktu. Pasmo walencyjne jest jeszcze bardziej złożone i zawiera pasma odpowiadające ciężkim dziurom, lekkim dziurom oraz pasma rozszczepione, które mogą wzajemnie na siebie oddziaływać.
Należy również pamiętać, że pozioma oś na tym wykresie przedstawia ścieżkę w przestrzeni odwrotnej, prowadzącą od punktu L przez punkt Gamma do punktu X. Nie jest to wykres przedstawiający położenie wewnątrz półprzewodnika. Opisuje on, w jaki sposób dozwolone energie elektronów zmieniają się w zależności od wektora fal krystalicznych.
W przypadku mieszania pasm, gdy istotne stają się takie czynniki, jak nieparaboliczność, odkształcenia lub silne ograniczenie, konieczne jest wyjście poza proste przybliżenie oparte na efektywnej masie. Jednym ze sposobów osiągnięcia tego jest zastosowanie wielopasmowej teorii k·p, która pozwala na jednoczesne traktowanie kilku pasm elektronowych, zamiast przybliżać każde z nich jako niezależną parabolę.