Δομή ζωνών κβαντικής πηγάδας και η προσέγγιση παραβολικής ζώνης.

Από τις Κβαντικές Δομές σε Ηλεκτρονικές Ζώνες

Στην εισαγωγή μας στις κβαντικές πηγάδες, χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση του Schrödinger για να υπολογίσουμε τις επιτρεπόμενες ενέργειες και τις κυματοσυναρτήσεις ενός ηλεκτρονίου που περιορίζεται μέσα σε μια δυναμική πηγάδα. Ένα παράδειγμα αυτών των λύσεων απεικονίζεται στο ??.

Ωστόσο, αυτός ο υπολογισμός περιγράφει μόνο πώς συμπεριφέρεται το ηλεκτρόνιο κατά μήκος του πλάτους της περιοχής. Μια ημιαγωγική κβαντική περιοχή σχηματίζεται συνήθως από μια πολύ λεπτή στρώση υλικού που εκτείνεται σε μια πολύ μεγαλύτερη περιοχή. Εάν ορίσουμε την κατεύθυνση \(z\) ως κάθετη στις ημιαγωγικές στρώσεις, τότε το ηλεκτρόνιο περιορίζεται κατά μήκος της \(z\), αλλά παραμένει ελεύθερο να κινείται στις κατευθύνσεις \(x\) και \(y\), παράλληλα με τις στρώσεις.

Με άλλα λόγια, το ηλεκτρόνιο περιορίζεται σε μία διάσταση, αλλά μπορεί ακόμα να κινείται στις άλλες δύο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι κβαντικές πηγάδες περιγράφονται συνήθως ως δισδιάστατα ηλεκτρονικά συστήματα.

Για να κατανοήσουμε τις συνέπειες αυτού, πρέπει να συσχετίσουμε τις διακριτές ενεργειακές στάθμες που προκύπτουν από την εξίσωση του Schrödinger με την ηλεκτρονική δομή ζωνών του ημιαγωγού.

Από τις Περιορισμένες Ενεργειακές Περιοχές στις Παραβολικές Ζώνες.

Εξετάστε την κβαντική δεξαμενή που απεικονίζεται στην αριστερή πλευρά του ??. Η επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger σε όλη την δεξαμενή παράγει μια σειρά περιορισμένων καταστάσεων, με ενέργειες \(E_1\), \(E_2\) και \(E_3\).

Αυτές οι ενέργειες περιγράφουν τον περιορισμό του ηλεκτρονίου στην κατεύθυνση \(z\). Ωστόσο, το ηλεκτρόνιο μπορεί επίσης να κινηθεί παράλληλα προς τις στρώσεις, στις κατευθύνσεις \(x\) και \(y\). Καθώς αποκτά ορμή σε αυτό το επίπεδο, η συνολική του ενέργεια αυξάνεται.

Για να περιγράψουμε αυτή την κίνηση, εισάγουμε τον διανυσματικό φορέα της κυματικής συνάρτησης στο επίπεδο, ο οποίος συμβολίζεται ως \(k_{\parallel}\). Το μέτρο του σχετίζεται με τις συνιστώσες του διανυσματικού φορέα κατά μήκος των δύο μη περιορισμένων κατευθύνσεων:

\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]

Για έναν απλό ημιαγωγό με μια παραβολική ηλεκτρονική ζώνη, η πρόσθετη ενέργεια που σχετίζεται με αυτή την κίνηση στο επίπεδο είναι:

\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]

όπου \(m^{*}\) είναι η αποτελεσματική μάζα του ηλεκτρονίου. Η αποτελεσματική μάζα περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο το ηλεκτρόνιο αντιδρά στις δυνάμεις εντός του κρυστάλλου, λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση της ηλεκτρονικής δομής του ημιαγωγού.

Μπορούμε πλέον να συνδυάσουμε την ενέργεια που προκύπτει από τον κβαντικό περιορισμό με την επιπλέον ενέργεια που σχετίζεται με την κίνηση παράλληλη προς τα στρώματα:

\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]

Αυτή η εξίσωση μας λέει ότι κάθε περιορισμένο επίπεδο ενέργειας γίνεται το σημείο εκκίνησης μιας παραβολής, όπως απεικονίζεται στη δεξιά πλευρά του ??. Αυτές οι παραβολές είναι γνωστές ως ηλεκτρονικές υποζώνες.

Στο σημείο μηδέν του διανυσματικού κύματος στο επίπεδο, το κατώτατο σημείο κάθε παραβολής αντιστοιχεί ακριβώς στην ενέργεια που υπολογίζεται με την επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger σε όλη την κβαντική περιοχή. Καθώς το διανυσματικό κύμα στο επίπεδο αυξάνεται, το ηλεκτρόνιο κινείται προς τα πάνω στην παραβολή και αποκτά ενέργεια, παραμένοντας όμως στην ίδια περιορισμένη κατάσταση κατά μήκος του \(z\).

Ως εκ τούτου, μετατρέψαμε ένα σύνολο διακριτών ενεργειακών επιπέδων κβαντικής φρεάτιδας σε ένα σύνολο συνεχών, δισδιάστατων ηλεκτρονικών υποζωνών.

Γιατί χρησιμοποιούμε παραβολικές ζώνες;

Για να κατανοήσουμε γιατί οι ζώνες ημιαγωγών απεικονίζονται συχνά με παραβολές, ας εξετάσουμε κάτι πολύ πιο οικείο: την ρίψη μιας μπάλας κρίκετ. Η κινητική ενέργεια της μπάλας εξαρτάται από τη μάζα και την ταχύτητά της:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]

Αυτό μας δείχνει ότι αν εκτοξεύσουμε την μπάλα με διπλάσια ταχύτητα, θα έχει τετραπλάσια κινητική ενέργεια. Δεδομένου ότι η ορμή δίνεται από την εξίσωση \(p=mv\), μπορούμε επίσης να εκφράσουμε αυτή τη σχέση ως εξής:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]

Αν απεικονίσουμε γραφικά την ενέργεια της μπάλας του κρίκετ σε σχέση με την ορμή της, λαμβάνουμε μια παραβολή. Η μπάλα έχει τη χαμηλότερη κινητική ενέργεια όταν η ορμή της είναι μηδέν, και η ενέργειά της αυξάνεται τετραγωνικά καθώς αυξάνεται και η ορμή της.

Είναι ενδιαφέρον ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια πολύ παρόμοια σχέση για να περιγράψουμε ένα ηλεκτρόνιο μέσα σε έναν ημιαγωγό. Στην κβαντική μηχανική, η ορμή σχετίζεται με το διανυσματικό κύμα μέσω της εξίσωσης \(p=\hbar k\). Αντικαθιστώντας αυτό στην προηγούμενη εξίσωσή μας, παίρνουμε:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]

Ωστόσο, ένα ηλεκτρόνιο μέσα σε έναν ημιαγωγό δεν κινείται στο κενό. Αλληλεπιδρά με το περιοδικό δυναμικό του κρυστάλλου, το οποίο αλλάζει τη σχέση μεταξύ της ενέργειάς του και της κίνησής του. Κοντά στο κατώτατο σημείο πολλών ζωνών αγωγιμότητας, μπορούμε να λάβουμε υπόψη αυτό το φαινόμενο αντικαθιστώντας την κανονική μάζα του ηλεκτρονίου με μια αποτελεσματική μάζα, \(m_e^{*}\).

Επιπλέον, πρέπει να συμπεριλάβουμε την ενέργεια στο κατώτερο άκρο της ζώνης αγωγιμότητας, \(E_c\), η οποία μας δίνει την προσέγγιση της παραβολικής ζώνης:

\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]

Η αποτελεσματική μάζα καθορίζει την καμπυλότητα της παραβολής. Μια μικρότερη αποτελεσματική μάζα οδηγεί σε μια πιο έντονα καμπυλωμένη ζώνη, πράγμα που σημαίνει ότι το ηλεκτρόνιο αποκτά ενέργεια πιο γρήγορα καθώς αυξάνεται ο διανυσματικός του αριθμός κύματος. Μια μεγαλύτερη αποτελεσματική μάζα παράγει μια πιο επίπεδη ζώνη.

Το πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι ότι μας επιτρέπει να περιγράψουμε μια ηλεκτρονική ζώνη χρησιμοποιώντας μόνο την ενέργεια στο όριο της ζώνης και την αποτελεσματική μάζα. Αφού υπολογίσουμε τις ενέργειες περιορισμού χρησιμοποιώντας την εξίσωση του Schrödinger, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη σχέση για να κατασκευάσουμε τις αντίστοιχες υποζώνες κβαντικής περιοχής. Αυτός ο υπολογισμός μπορεί να εξερευνηθεί απευθείας στο GaAs/AlGaAs parabolic quantum-well tutorial.

Εισαγωγή στις έννοιες των ηλεκτρονίων και των οπών.

Μέχρι στιγμής, εξετάσαμε μόνο τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας. Ωστόσο, ένας ημιαγωγός περιέχει επίσης μια ζώνη σθένους, στην οποία η απουσία ενός ηλεκτρονίου μπορεί να περιγραφεί ως ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο που ονομάζεται «κενό».

Κοντά στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας, η ενέργεια του ηλεκτρονίου μπορεί να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας μια παραβολή που ανοίγει προς τα πάνω:

\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]

Ομοίως, κοντά στο μέγιστο της ενεργειακής ζώνης σθένους, μπορούμε να προσεγγίσουμε τις ενέργειες των ηλεκτρονίων σθένους χρησιμοποιώντας μια παραβολή με κορυφή προς τα κάτω:

\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]

Αυτές οι δύο παραβολές απεικονίζονται στο ??. Το ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας και το μέγιστο της ζώνης σθένους διαχωρίζονται από το ενεργειακό χάσμα του ημιαγωγού, \(E_g\).

Όπως τα ηλεκτρόνια μπορούν να περιοριστούν μέσα σε μια κβαντική δεξαμενή της ζώνης αγωγιμότητας, έτσι και οι οπές μπορούν να περιοριστούν από ένα κατάλληλο δυναμικό της ζώνης σθένους. Επομένως, η επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger και για τους δύο τύπους φορέων παραγωγεί δύο σύνολα περιορισμένων ενεργειακών επιπέδων, από τα οποία μπορούμε να κατασκευάσουμε τις αντίστοιχες υποζώνες ηλεκτρονίων και οπών.

Από τις Κβαντικές Δομές σε Εκπομπή και Απορρόφηση Φωτός

Έχουμε ήδη δει πώς η επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger για ένα ηλεκτρόνιο που περιορίζεται σε μια κβαντική δεξαμενή παράγει μια σειρά ενεργειακών επιπέδων, καθένα από τα οποία μετατρέπεται σε παραβολική υποζώνη όταν λαμβάνεται υπόψη η κίνηση παράλληλη προς τις στρώσεις του ημιαγωγού.

Μπορούμε να εκτελέσουμε ακριβώς την ίδια υπολογιστική διαδικασία και για τις οπές. Αυτό απεικονίζεται στο ??, όπου τα επάνω διαγράμματα δείχνουν τις περιορισμένες ηλεκτρονικές καταστάσεις στη ζώνη αγωγιμότητας, ενώ τα κάτω διαγράμματα δείχνουν τις αντίστοιχες περιορισμένες καταστάσεις οπών στη ζώνη σθένους. Για λόγους σαφήνειας, η περιοχή της ζώνης σθένους απεικονίζεται ανάποδα, με τις ενέργειες περιορισμού των οπών να μετρώνται προς τα κάτω από το μέγιστο της ζώνης σθένους.

Αφού υπολογίσουμε και τα δύο σύνολα καταστάσεων, μπορούμε να αρχίσουμε να περιγράφουμε την αλληλεπίδραση της κβαντικής περιοχής με το φως. Για παράδειγμα, ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται σε μια κατάσταση της ζώνης αγωγιμότητας μπορεί να συνδυαστεί με μια οπή σε μια κατάσταση της ζώνης σθένους, απελευθερώνοντας ενέργεια με τη μορφή ενός φωτονίου. Η αντίστροφη διαδικασία είναι επίσης δυνατή: ένα εισερχόμενο φωτόνιο μπορεί να απορροφηθεί, διεγείροντας ένα ηλεκτρόνιο από τη ζώνη σθένους στη ζώνη αγωγιμότητας.

Υπολογισμός της Ενέργειας Μετάπτωσης

Εξετάστε την συμπαγή κόκκινη βέλη στην εικόνα ??. Αυτή απεικονίζει μια μετάβαση μεταξύ των χαμηλότερων υποζωνών ηλεκτρονίων και οπών όταν η οριζόντια διανυσματική συνιστώσα είναι μηδέν.

Η ενέργεια που απαιτείται για αυτή τη μετάβαση είναι το ενεργειακό χάσμα του ημιαγωγού, συν τις ενέργειες περιορισμού του ηλεκτρονίου και της οπής:

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]

Εδώ, το \(E_g\) είναι το ενεργειακό χάσμα του υλικού της κβαντικής περιοχής, ενώ τα \(E_{e,n}\) και \(E_{h,m}\) είναι οι ενέργειες περιορισμού των ηλεκτρονίων και των οπών, οι οποίες μετρώνται σε σχέση με τις αντίστοιχες άκρες ζώνης.

Για το παράδειγμα που απεικονίζεται στο σχήμα, το ενεργειακό χάσμα είναι \(1.42\,\mathrm{eV}\), η χαμηλότερη ενέργεια περιορισμού των ηλεκτρονίων είναι \(39\,\mathrm{meV}\) και η χαμηλότερη ενέργεια περιορισμού των οπών είναι \(7\,\mathrm{meV}\). Η προκύπτουσα ενέργεια μετάπτωσης είναι, επομένως:

\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]

Παρατηρήστε ότι αυτό είναι ελαφρώς μεγαλύτερο από το ενεργειακό χάσμα του ομοιοπολικού ημιαγωγού. Περιορίζοντας τα ηλεκτρόνια και τις οπές μέσα σε μια κβαντική φρεάτιδα, αυξήσαμε την ενέργεια που απαιτείται για την οπτική μετάβαση. Αυτό μας δίνει έναν τρόπο να ρυθμίσουμε το μήκος κύματος απορρόφησης και εκπομπής απλά αλλάζοντας το πλάτος της φρεάτιδας.

Τι συμβαίνει σε υψηλότερη ορμή στο επίπεδο του υλικού;

Τα ηλεκτρόνια και οι οπές δεν περιορίζονται στα χαμηλότερα επίπεδα ενέργειας των αντίστοιχων υποζωνών τους. Μπορούν επίσης να κινούνται παράλληλα με τις ημιαγωγικές στρώσεις, αποκτώντας επιπλέον ενέργεια καθώς αυξάνεται η επιπεδοκύμα τους.

Αυτό απεικονίζεται με το διακεκομμένο κόκκινο βέλος στο σχήμα. Για μια άμεση οπτική μετάβαση, η ορμή του κρυσταλλικού διανύσματος στο επίπεδο διατηρείται κατά προσέγγιση, επειδή η ορμή που μεταφέρει ένα φωτόνιο είναι σχετικά μικρή.

Στο απλό παραβολικό μοντέλο ζωνών που χρησιμοποιούμε, η ενέργεια μετάπτωσης είναι επομένως:

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]

Εδώ, το \(\mu\) είναι η μειωμένη αποτελεσματική μάζα του ζεύγους ηλεκτρονίου-οπής, η οποία ορίζεται ως εξής:

\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]

Καθώς αυξάνεται η επιπεδική διανυσματική συχνότητα, αυξάνεται επίσης και η ενέργεια μετάπτωσης. Αυτό σημαίνει ότι μια οπτική μετάπτωση μεταξύ δύο υποζωνών δεν περιορίζεται σε μια μοναδική ενέργεια φωτονίου: διαφορετικές καταληπτές καταστάσεις κατά μήκος των παραβολών μπορούν να συμβάλουν σε ένα ευρύτερο φάσμα οπτικών μεταπτώσεων.

Πόσο ακριβής είναι η παραβολική προσέγγιση;

Το μοντέλο που έχουμε αναπτύξει είναι σκόπιμα απλό. Υποθέτει ότι κάθε ηλεκτρονική ζώνη μπορεί να αναπαρασταθεί από μια παραβολή με μια κατάλληλη αποτελεσματική μάζα. Αυτό είναι συχνά μια χρήσιμη προσέγγιση κοντά στο ελάχιστο μιας ζώνης αγωγιμότητας, όπου η σχέση μεταξύ ενέργειας και διανυσματικής ορμής είναι κατά προσέγγιση τετραγωνική.

Ωστόσο, οι πραγματικές δομές ζωνών ημιαγωγών είναι πιο περίπλοκες. Ένα παράδειγμα παρουσιάζεται στο ??, το οποίο απεικονίζει την υπολογισμένη ηλεκτρονική δομή ζωνών του GaAs.

Παρατηρήστε ότι η ζώνη αγωγιμότητας έχει περίπου παραβολικό σχήμα κοντά στο ελάχιστό της στο σημείο Γ, αλλά αποκλίνει από αυτό το απλό σχήμα καθώς απομακρυνόμαστε. Η ζώνη σθένους είναι ακόμη πιο περίπλοκη, περιέχοντας ζώνες βαρέων οπών, ελαφρών οπών και διασπασμένων ζωνών, οι οποίες μπορούν να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

Είναι επίσης σημαντικό να αναγνωρίσουμε ότι ο οριζόντιος άξονας αυτού του διαγράμματος ακολουθεί μια διαδρομή στον αμοιβαίο χώρο, από το L μέσω του Gamma προς το X. Δεν είναι ένα διάγραμμα της θέσης μέσα σε μια ημιαγωγική συσκευή. Περιγράφει πώς οι επιτρεπόμενες ενέργειες των ηλεκτρονίων μεταβάλλονται ανάλογα με τον κρυσταλλικό διανυσματικό κύμα.

Όταν στην ανάμιξη των ενεργειακών ζωνών, η μη παραβολικότητα, η τάση ή ο ισχυρός περιορισμός γίνονται σημαντικοί παράγοντες, πρέπει να ξεπεράσουμε την απλή προσέγγιση της αποτελεσματικής μάζας. Ένας τρόπος για να το κάνουμε αυτό είναι μέσω της πολυζωνικής θεωρίας k·p, η οποία επιτρέπει την ταυτόχρονη επεξεργασία πολλών ηλεκτρονικών ζωνών, αντί να προσεγγίζουμε καθεμία ως μια ανεξάρτητη παραβολή.