Κατανόηση του εξαζωνικού μοντέλου Luttinger–Kohn για την ενεργειακή ζώνη των ηλεκτρονίων αγωγού.

Γιατί χρειαζόμαστε ένα ξεχωριστό μοντέλο για τις οπές;

Στο παραδειγματικό μάθημα για παραβολικές ζώνες, αντιμετωπίσαμε τα ηλεκτρόνια και τις οπές χρησιμοποιώντας ξεχωριστές παραβολές. Αυτό αποτελεί ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης, αλλά οι ανώτερες ζώνες σθένους πολλών ημιαγωγών είναι σημαντικά πιο περίπλοκες. Αντί για μια ενιαία ζώνη οπών, συναντάμε αρκετές στενά διαχωρισμένες ζώνες που μπορούν να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

Αυτά ονομάζονται συνήθως ζώνες «βαριάς οπής» (HH), «ελαφριάς οπής» (LH) και «διαχωρισμένης» (SO) ζώνης, όπως απεικονίζεται στο ??. Οι όροι «βαριά» και «ελαφριά» αναφέρονται στις διαφορετικές καμπυλότητες των ζωνών και, κατά συνέπεια, στις διαφορετικές αποτελεσματικές μάζες· δεν σημαίνουν ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά φυσικά είδη οπών.

Το μοντέλο Luttinger–Kohn (LK) με έξι ζώνες περιγράφει αυτές τις καταστάσεις σθένους μαζί. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για κβαντικά πηγάδια πυριτίου, γερμάνιου και SiGe, όπου οι καταστάσεις αγωγιμότητας μπορούν να αντιμετωπιστούν χρησιμοποιώντας μια ξεχωριστή το μοντέλο της Silicon ValleyΣε αντίθεση με ένα μοντέλο οκτώ ζωνών, το μοντέλο LK έξι ζωνών δεν περιλαμβάνει ρητά τη ζώνη αγωγιμότητας: επικεντρώνεται στη φυσική των οπών.

Από πού προέρχονται οι έξι πολιτείες;

Για να κατανοήσουμε τον αριθμό έξι, είναι χρήσιμο να ξεκινήσουμε με τις τροχιακές της ενεργειακής ζώνης σθένους. Κοντά στο κέντρο της ζώνης, οι σχετικές καταστάσεις στους ημιαγωγούς διαμαντιού και σφαλερίτη έχουν τρία συστατικά τροχιακών τύπου p, τα οποία μπορούμε να ονομάσουμε X, Y και Z. Ένα ηλεκτρόνιο έχει επίσης δύο πιθανά συστατικά σπιν. Επομένως, τρία συστατικά τροχιακών πολλαπλασιασμένα επί δύο συστατικά σπιν δίνουν έξι καταστάσεις.

Η αλληλεπίδραση τροχιακής στροφής του κρυστάλλου συνδέει την τροχιακή και την σπιντική γωνιακή ορμή. Επομένως, είναι πρακτικό να αντικατασταθούν οι ξεχωριστές τροχιακές και σπιντικές ετικέτες με καταστάσεις συνολικής γωνιακής ορμής, οι οποίες συμβολίζονται με J και την προβολή της, mJ. Οι έξι καταστάσεις διαχωρίζονται σε μια ομάδα τεσσάρων με J = 3/2 και μια ομάδα δύο με J = 1/2:

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

Οι τέσσερις καταστάσεις J = 3/2 σχηματίζουν την περιοχή των «βαρέων» και «ελαφρών» οπών στο κέντρο της ζώνης. Το υπόλοιπο ζεύγος σχηματίζει τη διαχωρισμένη ζώνη, η οποία μετατοπίζεται προς τα κάτω λόγω της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς, \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Αυτές δεν είναι έξι άσχετες παραβολές: καθώς ένας φορέας απομακρύνεται από το κέντρο της ζώνης, τα διάφορα συστατικά μπορούν να αναμιχθούν, και γι' αυτό πρέπει να επιλυθούν μαζί.

Επιλογή της μεθόδου των έξι ζωνών.

Η OghmaNano χρησιμοποιεί τη βάση της ολικής γωνιακής ορμής, με την ακόλουθη σειρά καταστάσεων:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

Η πρώτη και η τέταρτη κατάσταση έχουν χαρακτηριστικά «βαριάς οπής», οι δύο μεσαίες καταστάσεις της ομάδας J = 3/2 έχουν χαρακτηριστικά «ελαφριάς οπής» και οι δύο τελευταίες καταστάσεις είναι «αποσυνδεδεμένες» καταστάσεις. Αυτή η διάταξη είναι χρήσιμη επειδή η διαχωρισμός λόγω αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς έχει ήδη συμπεριληφθεί στη βάση: στο κέντρο της ζώνης, το ζεύγος των «αποσυνδεδεμένων» καταστάσεων βρίσκεται \(\Delta_{\mathrm{so}}\) κάτω από τις ανώτερες καταστάσεις της ζώνης αγωγιμότητας.

Ως εκ τούτου, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ερμιτιανή μήτρα 6 × 6, η οποία περιγράφει τις μεμονωμένες καταστάσεις και τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους. Οι επιτρεπόμενες ενέργειες προκύπτουν από την εύρεση των ιδιοτιμών της, ενώ οι ιδιοδιανύσματα μας πληροφορούν σχετικά με τον χαρακτήρα κάθε προκύπτουσας κατάστασης ως προς τις καταστάσεις "βαριάς οπής", "ελαφριάς οπής" και "αποσυνδεδεμένης οπής".

Πώς περιγράφουμε την κίνηση μιας τρύπας;

Σε μια απλή παραβολική ζώνη, μια ενιαία αποτελεσματική μάζα καθορίζει πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ενέργεια σε σχέση με τον διανυσματικό αριθμό κύματος. Εδώ, έχουμε αρκετές συνδεδεμένες καταστάσεις σθένους, επομένως μια ενιαία μάζα δεν είναι πλέον επαρκής. Αντί αυτού, το μοντέλο Luttinger–Kohn χρησιμοποιεί τρεις παραμέτρους του υλικού, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) και \(\gamma_3\), για να περιγράψει την καμπυλότητα και την ανάμειξη των ζωνών.

Αυτές οι παράμετροι συγκεντρώνονται σε τέσσερις εύχρηστες μαθηματικές ποσότητες, οι οποίες παραδοσιακά ονομάζονται \(P\), \(Q\), \(R\) και \(S\). Οι φυσικές τους ιδιότητες είναι ευκολότερο να γίνουν κατανοητές πριν δούμε τις πλήρεις εκφράσεις τους:

• \(P\): η κοινή συνεισφορά στην καμπυλότητα των ενεργειακών ζωνών.
• \(Q\): διακρίνει τις διαφορετικές κατευθύνσεις των καταστάσεων των «βαρέων» και «ελαφρών» οπών και μπορεί να διαχωρίσει τις ενέργειές τους.
• \(R\): συνδέει τις συνιστώσες της ομοιοπολικής αλληλεπίδρασης μέσω της κίνησης στο επίπεδο των ημιαγώγιμων στρωμάτων.
• \(S\): συνδέει τις περιοχές μέσω ενός συνδυασμού κίνησης στο ίδιο επίπεδο και κίνησης μεταξύ των στρωμάτων.

Ο υποκείμενος διανυσματικός κύματος έχει τρεις συνιστώσες: οι \(k_x\) και \(k_y\) περιγράφουν την κίνηση παράλληλη προς τα στρώματα του κβαντικού πηγαδιού, ενώ η \(k_z\) αναφέρεται στην κατεύθυνση ανάπτυξης, η οποία είναι κάθετη προς αυτά. Ορίζουμε επίσης την \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), όπου η \(m_0\) είναι η μάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου.

Σύμφωνα με τη σύμβαση σημείων που χρησιμοποιείται στη διαθέσιμη φόρμουλα OghmaNano, οι κινητικές συνεισφορές είναι οι εξής:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσουμε αυτές τις εκφράσεις για να κατανοήσουμε το μοντέλο. Αντίθετα, παρατηρήστε ότι ορισμένοι όροι εξαρτώνται από τα \(k_x\) και \(k_y\) διαφορετικά από το \(k_z\). Αυτή είναι η μαθηματική βάση που επιτρέπει στο μοντέλο να περιγράφει διαφορετική συμπεριφορά των "βαρέων" και "ελαφρών" οπών σε διαφορετικές κρυσταλλικές κατευθύνσεις. Οι φανταστικοί παράγοντες στα \(R\) και \(S\) αποτελούν μέρος της επιλεγμένης κβαντικής βάσης· ολόκληρος ο Χαμιλτονιανός παραμένει Ερμιτιανός και έχει πραγματικές ενέργειες.

Ένα Χρήσιμο Παράδειγμα: Μια Τρύπα που Κινείται κατά μήκος της Κατεύθυνσης Ανάπτυξης

Πριν εξετάσουμε την πλήρη μήτρα, ας εξετάσουμε την απλή περίπτωση όπου ο διανυσματικός φορέας της κυματικής συνάρτησης στο επίπεδο είναι μηδέν, δηλαδή \(k_x=k_y=0\). Στη συνέχεια, οι κινητικοί όροι απλοποιούνται σε:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

Ως αποτέλεσμα, η διαγώνιος της «βαριάς οπής» περιέχει το \(P+Q\), ενώ η διαγώνιος της «ελαφριάς οπής» περιέχει το \(P-Q\). Ακόμη και χωρίς να υπολογίσουμε όλες τις ιδιοτιμές, μπορούμε να δούμε πώς προκύπτουν διαφορετικές καμπυλότητες:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Αυτές οι εκφράσεις δείχνουν τις διαφορετικές κλίμακες καμπυλότητας κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης. Υπάρχει μια σημαντική επιφύλαξη: το τμήμα των «ελαφρών οπών» του πλήρους εξαζωνικού Hamiltonian μπορεί ακόμα να συνδέεται με τις διαχωρισμένες καταστάσεις μέσω του \(Q\). Επομένως, η δεύτερη έκφραση αποτελεί μια διαγώνια συνεισφορά και, σε γενικές γραμμές, δεν είναι η ακριβής ιδιοτιμή των «ελαφρών οπών» του εξαζωνικού μοντέλου. Αυτό καταδεικνύει ακριβώς γιατί πρέπει να λύσουμε μια μήτρα και όχι να υποθέσουμε ότι κάθε ζώνη σθένους είναι ανεξάρτητα παραβολική.

Συνδυάζοντας τις έξι πολιτείες.

Τώρα που οι επιμέρους όροι έχουν φυσική σημασία, μπορούμε να συνθέσουμε ολόκληρο τον Χαμιλτονιανό. Οι γραμμές και οι στήλες του αντιστοιχούν, κατά σειρά, στις έξι καταστάσεις που εισήχθησαν προηγουμένως. Μετράμε τις ενέργειες σε σχέση με την αναφορά της ζώνης αγωγιμότητας \(E_v\) και γράφουμε \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

Αυτό φαίνεται πολύ πιο περίπλοκο από μια απλή εξίσωση Schrödinger, αλλά η δομή του είναι απλή. Οι πρώτες τέσσερις γραμμές και στήλες περιγράφουν τη διασπορά των βαρών και των ελαφρών οπών. Οι δύο τελευταίες περιγράφουν το ζεύγος που διαχωρίζεται. Οι καταχωρήσεις στην διαγώνιο περιγράφουν τις ενέργειες των μεμονωμένων συνιστωσών, ενώ οι όροι εκτός διαγωνίου τις αναμιγνύουν. Το σύμβολο "dagger" υποδηλώνει τον Ερμιτιανό συζυγή ενός όρου· για έναν βαθμωτό συντελεστή, αυτό σημαίνει τον μιγαδικό του συζυγή.

Στο κέντρο της ζώνης και χωρίς τάση, οι κινητικοί όροι μηδενίζονται: οι τέσσερις καταστάσεις με J = 3/2 μοιράζονται την άκρη της ενεργειακής ζώνης σθένους και το διαχωρισμένο ζεύγος βρίσκεται \(\Delta\) κάτω από αυτήν. Μακριά από το κέντρο της ζώνης, η ανάμειξη αλλάζει τις ενέργειες και τον χαρακτήρα των προκύπτουσων ζωνών.

Τι συμβαίνει όταν το ημιαγωγό υφίσταται τάση;

Οι κβαντικές πηγάδες πυριτίου και γερμανίου συχνά καλλιεργούνται πάνω σε ένα υπόστρωμα με ελαφρώς διαφορετική σταθερά της κρυσταλλικής πλέγματος. Αυτό εισάγει τάση, η οποία μπορεί να αλλάξει τις ενεργειακές τιμές της ζώνης αγωγιμότητας και να άρει την εκφυλισμένη κατάσταση των βαρύτερων και ελαφρύτερων οπών.

Ένα χρήσιμο χαρακτηριστικό της διατύπωσης Luttinger–Kohn είναι ότι η παραμόρφωση μπορεί να εισαχθεί χρησιμοποιώντας ένα άλλο σύνολο όρων \(P,Q,R,S\). Απλώς συνδυάζουμε τις κινητικές και τις συνεισφορές της παραμόρφωσης:

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Για παράδειγμα, η συνεισφορά της υδροστατικής τάσης ανταποκρίνεται στη συνολική αλλαγή στον όγκο, ενώ η διαξονική συνιστώσα διακρίνει την παραμόρφωση κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης από την παραμόρφωση στο επίπεδο:

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

Τα υπόλοιπα συστατικά της τάσης συμβάλλουν στις \(R_{\varepsilon}\) και \(S_{\varepsilon}\), επιτρέποντας στην παραμόρφωση λόγω διάτμησης να αναμίξει τις καταστάσεις σθένους. Οι πλήρεις εκφράσεις τους και οι συμβάσεις δυναμικού παραμόρφωσης περιγράφονται στη σελίδα τάσης Bir–Pikus. Στη συνέχεια, μπορούμε να λύσουμε την ίδια μήτρα έξι ζωνών, συμπεριλαμβάνοντας τους όρους τάσης.

Εφαρμογή του Μοντέλου σε μια Κβαντική Δομή

Μέχρι τώρα, περιγράψαμε τη δομή των ενεργειακών ζωνών χρησιμοποιώντας τρία στοιχεία του διανυσματικού κύματος. Σε μια κβαντική φρεάτιδα, τα φορείς φορτίου περιορίζονται κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης \(z\), ενώ παραμένουν ελεύθερα να κινούνται κατά μήκος των \(x\) και \(y\). Επομένως, τα διανυσματικά κύματα στο επίπεδο διατηρούνται ως αριθμοί, αλλά η κίνηση κατά μήκος του \(z\) πρέπει να αναπαρασταθεί με έναν τελεστή:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Όλοι οι όροι που περιέχουν το \(k_z\) μετατρέπονται σε παράγωγους των κυματοσυναρτήσεων του περιβάλλοντος. Στη συνέχεια, το πρόβλημα των έξι ζωνών επιλύεται σε όλες τις ημιαγωγικές στρώσεις, λαμβάνοντας υπόψη το προφίλ δυναμικού, τις παραμέτρους του υλικού και την τάση. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνολο περιορισμένων υποζωνών σθένους, καθεμία από τις οποίες έχει μια κυματοσυνάρτηση περιβάλλοντος με έξι συνιστώσες. Αυτές οι συνιστώσες μας δείχνουν πόσο μεγάλο ποσοστό οπών βαρέως τύπου, οπών ελαφρού τύπου και οπών διαχωρισμού υπάρχει σε κάθε κατάσταση.

Εάν το πλέγμα κατεύθυνσης ανάπτυξης περιέχει \(N_z\) χωρικά σημεία, η διακριτή Χαμιλτονιανή έχει διαστάσεις \(6N_z\) επί \(6N_z\). Το OghmaNano χρησιμοποιεί αυτή την υπολογιστική μέθοδο πολλαπλών ζωνών για τις καταστάσεις της ενεργειακής ζώνης σθένους, ενώ ο επιλυτής της κοιλάδας Δ του πυριτίου διαχειρίζεται τις καταστάσεις της ενεργειακής ζώνης αγωγιμότητας ξεχωριστά. Σε αντίθεση με μια απλή παραβολική προσέγγιση, αυτή η μέθοδος μπορεί να περιγράψει την ανάμιξη των ενεργειακών ζωνών σθένους, η οποία μεταβάλλεται ανάλογα με τον επιπεδικό διανυσματικό αριθμό κύματος. Μια ολοκληρωμένη υπολογιστική μελέτη Si/SiGe χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο παρουσιάζεται στο εκπαιδευτικό πρόγραμμα κβαντικής πηγάδας έξι ζωνών Luttinger–Kohn.

Πώς συνδέεται αυτό με το μοντέλο των οκτώ επιπέδων;

Το μοντέλο LK με τις έξι ζώνες και το μοντέλο k·p οκταζωνικής δομής τύπου σφαλερίτη περιγράφουν συναφή φυσικά φαινόμενα, αλλά κάνουν διαφορετικές επιλογές σχετικά με το ποιες καταστάσεις συμπεριλαμβάνονται ρητά. Και τα δύο διατηρούν τις αλληλεπιδραστικές καταστάσεις σθένους. Το μοντέλο οκτώ ζωνών προσθέτει επίσης τις δύο, με διάκριση σπιν, αγώγιμες καταστάσεις τύπου s και τη σύζευξή τους Kane με τη ζώνη σθένους.

Σε έναν ημιαγωγό όπως το πυρίτιο, όπου τα χαμηλότερα ελάχιστα της ζώνης αγωγιμότητας εμφανίζονται μακριά από το κέντρο της ζώνης, μια ομογενοποιημένη εξίσωση Χάμιλτον με οκτώ ζώνες δεν αποτελεί άμεση περιγραφή αυτών των έξι κοιλάδων. Επομένως, είναι χρήσιμο να αντιμετωπίζουμε τη ζώνη σθένους με το μοντέλο LK με έξι ζώνες και τη ζώνη αγωγιμότητας με το ειδικό μοντέλο κοιλάδας.