☰
Το OghmaNano περιέχει μια οικογένεια αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση της δομής ζωνών ημιαγωγών, κβαντικών φρεάτων και μεθόδων k·p, για τον υπολογισμό των ηλεκτρονικών καταστάσεων τόσο σε δισδιάστατα κβαντικά φρεάτια όσο και σε ογκώδεις ημιαγωγούς. Τα μοντέλα υπολογίζουν τις περιορισμένες ηλεκτρονικές και οπτικές καταστάσεις, τη διασπορά των ηλεκτρονικών ζωνών, τις κυματοσυναρτήσεις, την ανάμιξη των ζωνών και τα οπτικά στοιχεία μήτρας, και μπορούν να συνδυαστούν με υπολογισμούς οπτικής απορρόφησης, αυθόρμητης εκπομπής, διεγερμένης εκπομπής, ενίσχυσης, σκέδασης φορέων και κινητικότητας.
Υπάρχει μια σειρά από μοντέλα δομής ζωνών που είναι διαθέσιμα για διάφορα ημιαγωγικά υλικά και κρυσταλλικές δομές:
Συνολικά, αυτά τα μοντέλα επιτρέπουν στην OghmaNano να υπολογίζει τόσο τις δισδιάστατες υποζώνες κβαντικών φρεάτων όσο και τις τρισδιάστατες δομές ζωνών ημιαγωγών. Στα κβαντικά φρεάτα, τα φορείς φορτίου περιορίζονται κατά μήκος της κατεύθυνσης ανάπτυξης, ενώ παραμένουν ελεύθερα να κινούνται παράλληλα προς τα στρώματα. Σε έναν υπολογισμό πολλαπλών ζωνών k·p, το διανυσματικό κύμα της κατεύθυνσης ανάπτυξης αντικαθίσταται από τον τελεστή της συνάρτησης περιβάλλουσας.
\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]
και τα προκύπτοντα συζευγμένα εξισώματα επιλύονται σε όλη την ετεροδομή ημιαγωγού. Επαναλαμβάνοντας τον υπολογισμό ως συνάρτηση του διανυσματικού κύματος στο επίπεδο, προκύπτει η δισδιάστατη διασπορά των υποζωνών. Τα ογκώδη μοντέλα, όπως ο επιλυτής περοβσκίτη, επιλύουν απευθείας το Χαμιλτονιανό ως συνάρτηση του τρισδιάστατου διανυσματικού κύματος \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).
Οι υπολογιζόμενες ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα παρέχουν περισσότερα από ένα απλό διάγραμμα ζωνών. Αποτελούν το σημείο εκκίνησης για προσομοιώσεις των οπτικών μεταπτώσεων, της απορρόφησης, της αυθόρμητης εκπομπής, της διεγερμένης εκπομπής και της οπτικής ενίσχυσης, καθώς και της διασποράς των φορέων, των χρόνων χαλάρωσης και της κινητικότητας, όπου αυτό υποστηρίζεται. Αυτές οι δυνατότητες καθιστούν τους επιλυτές δομής ζωνών κατάλληλους για τη μοντελοποίηση ημιαγωγών λέιζερ, LED, φωτοανιχνευτών, ετεροδομών κβαντικών φρεάτων, ημιαγωγών καναλιών υψηλής κινητικότητας, συσκευών πυριτίου/SiGe και μεταλλοαλογονιδικών περοβσκιτών για ηλιακά κύτταρα και υλικά που εκπέμπουν φως.
Για μια γενική εισαγωγή στις υποκείμενες φυσικές αρχές, δείτε τις ενότητες κβαντικές πηγάδες και περιορισμός φορέων και εισαγωγή στην θεωρία k·p.
Ο υπολογισμός της ηλεκτρονικής δομής ζωνών είναι μόνο το πρώτο στάδιο της προσομοίωσης. Μόλις γίνουν γνωστές οι ενέργειες και οι κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονικών καταστάσεων, το OghmaNano μπορεί να τις χρησιμοποιήσει για να υπολογίσει μια σειρά οπτικών και ιδιοτήτων μεταφοράς φορτίου. Αυτές περιλαμβάνουν την οπτική απορρόφηση, την αυθόρμητη και την διεγερμένη εκπομπή, την οπτική ενίσχυση, τους ρυθμούς σκέδασης των φωνονίων, τους χρόνους χαλάρωσης των φορέων και την κινητικότητα των φορέων φορτίου.
Η ίδια βασική ιδέα αποτελεί τη βάση για πολλές από αυτές τις υπολογιστικές μεθόδους: ένα φορέας μεταβαίνει από μια αρχική ηλεκτρονική κατάσταση σε μια τελική κατάσταση, με την πιθανότητα μετάβασης να καθορίζεται από τη σύζευξη μεταξύ των δύο καταστάσεων. Στο όριο της ασθενούς αλληλεπίδρασης, αυτό περιγράφεται από τον χρυσό κανόνα του Fermi.
\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]
Η αλληλεπιδρούσα Χαμιλτονιανή \(\hat H_{\mathrm{int}}\) εξαρτάται από τη φυσική διαδικασία που εξετάζεται. Για μια οπτική μετάβαση, περιγράφει την αλληλεπίδραση μεταξύ των ηλεκτρονικών καταστάσεων και του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Για τη διασπορά των φορέων, μπορεί να περιγράψει τις αλληλεπιδράσεις με τις ταλαντώσεις του πλέγματος, συμπεριλαμβανομένων των ακουστικών φωνόνων ή των διαμήκων οπτικών (LO) φωνόνων. Η υπολογιζόμενη δομή ζωνών παρέχει, επομένως, μια κοινή ηλεκτρονική βάση από την οποία μπορούν να εξαχθούν τόσο οι οπτικές όσο και οι ιδιότητες μεταφοράς.
Για οπτικές υπολογιστικές μεθόδους, το OghmaNano συνδυάζει τις υπολογισμένες καταστάσεις της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους με τα οπτικά στοιχεία μήτρας και τις κατανομές των φορέων. Οι μεταπτώσεις μεταξύ καταλήπτων και μη καταλήπτων καταστάσεων μπορούν στη συνέχεια να αθροιστούν σε όλη την υπολογισμένη δομή ζωνών για να ληφθούν η απορρόφηση, η διεγερμένη εκπομπή, η καθαρή οπτική ενίσχυση και η αυθόρμητη εκπομπή.
Επειδή οι ιδιοδιανύσματα πολλαπλών ζωνών k·p διατηρούν πληροφορίες σχετικά με τον τροχιακό και σπιν χαρακτήρα κάθε κατάστασης, ο οπτικός υπολογισμός μπορεί να υπερβεί την απλή αντιστοίχιση των ενεργειακών επιπέδων. Η ανάμειξη των ζωνών αλλάζει τα στοιχεία της μεταβατικής μήτρας και, κατά συνέπεια, την ένταση της οπτικής απόκρισης. Σε ανισότροπα συστήματα, όπως οι ημιαγωγοί τύπου wurtzite, αυτό επιτρέπει επίσης τη διακριτή αντιμετώπιση των οπτικών μεταβάσεων με πόλωση TE και TM.
Οι ηλεκτρονικές καταστάσεις μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της πιθανότητας διάχυσης ενός φορέα από ένα τμήμα της δομής ζωνών σε ένα άλλο. Ανάλογα με το υλικό και το μοντέλο, το OghmaNano μπορεί να συμπεριλάβει μηχανισμούς όπως: σκέδαση ακουστικών φωνόνων και Ευτυχής σκέδαση πολικών-οπτικών φωνόνων. Αυτές οι διαδικασίες καθορίζουν τον χρόνο ζωής των φορέων, τη χαλάρωση της ορμής και, τελικά, την κινητικότητα των φορέων φορτίου.
Η διασπορά Fröhlich είναι ιδιαίτερα σημαντική σε πολικούς ημιαγωγούς όπως το GaAs, το InP, το GaN και τα μεταλλο-αλογονιδικά περοβσκίτες. Ένα διαμήκες οπτικό φωνόνιο δημιουργεί ένα ταλαντούμενο πεδίο πόλωσης που αλληλεπιδρά με ένα ηλεκτρόνιο ή μια οπή. Η ένταση αυτής της αλληλεπίδρασης περιγράφεται από το στοιχείο μήτρας Fröhlich.
\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]
Εδώ, το \(q\) είναι το διανυσματικό κύμα των φωνόνων, το \(\omega_{LO}\) είναι η γωνιακή συχνότητα των φωνόνων LO και τα \(\varepsilon_\infty\) και \(\varepsilon_s\) περιγράφουν την ηλεκτρονική και στατική διηλεκτρική θωράκιση του υλικού. Η εξάρτηση από το \(1/q\) αντανακλά τη μακροπρόθεσμη φύση της πολικής αλληλεπίδρασης.
Εφαρμόζοντας τον χρυσό κανόνα του Fermi και ολοκληρώνοντας σε όλες τις διαθέσιμες τελικές καταστάσεις, λαμβάνουμε τον ρυθμό σκέδασης των φορέων. Για παράδειγμα, στην περίπτωση της απορρόφησης ενός LO-φωνονίου,
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]
Η συνάρτηση Dirac delta επιβάλλει τη διατήρηση της ενέργειας, ενώ η ολοκλήρωση πάνω στο \(\mathbf{q}\) αθροίζει τις διανυσματικές κυματικές συναρτήσεις των φωτονίων που μπορούν να συνδέσουν τις αρχικές και τελικές ηλεκτρονικές καταστάσεις. Η εκπομπή φωτονίων LO υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο, εκτός από το γεγονός ότι ο φορέας χάνει μια ενέργεια \(\hbar\omega_{LO}\). Αντίθετα, η σκέδαση από ακουστικά φωτόνια περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις με τις χαμηλότερης ενέργειας δονήσεις του πλέγματος που σχετίζονται με την ελαστική παραμόρφωση του κρυστάλλου.
Ένα γεγονός σκέδασης δεν καταστρέφει απαραίτητα όλη την κατευθυνόμενη ορμή ενός φορέα. Για παράδειγμα, η εμπρόσθια σκέδαση αλλάζει μόνο ελαφρώς την κατεύθυνση του φορέα, ενώ η οπίσθια σκέδαση αντιτίθεται έντονα στο ηλεκτρικό ρεύμα. Για υπολογισμούς μεταφοράς, το OghmaNano μπορεί επομένως να χρησιμοποιήσει έναν ρυθμό χαλάρωσης της ορμής αντί να λαμβάνει απλώς το αντίστροφο του συνολικού ρυθμού σκέδασης.
Αφού υπολογιστεί ο χρόνος χαλάρωσης της μεταφοράς σε όλη την ηλεκτρονική δομή ζωνών, η κινητικότητα μπορεί να ληφθεί με τον υπολογισμό του μέσου όρου της ταχύτητας και των ιδιοτήτων σκέδασης των ηλεκτρονικών καταστάσεων που συμμετέχουν στη μεταφορά. Στο πλαίσιο της προσέγγισης του χρόνου χαλάρωσης,
\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]
Η ταχύτητα των φορέων ορίζεται άμεσα από τη διασπορά των ηλεκτρονίων που υπολογίζεται.
\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]
Αυτό συνδέει άμεσα την υπολογισμένη δομή ζωνών με μια πειραματικά μετρήσιμη μεταφορική ποσότητα. Αντί να υποθέτουμε μια ενιαία σταθερή αποτελεσματική μάζα και χρόνο σκέδασης, ο υπολογισμός μπορεί να λάβει υπόψη τον τρόπο με τον οποίο η ταχύτητα των φορέων και η σκέδαση μεταβάλλονται στις ηλεκτρονικές ζώνες.
Για κβαντικές πηγές Si/SiGe, το OghmaNano μπορεί να υπολογίσει τη σκέδαση ακουστικών φωνόνων και την κινητικότητα των ηλεκτρονίων ή οπών σε δύο διαστάσεις, χρησιμοποιώντας τα μοντέλα της κοιλάδας Δ του πυριτίου και Luttinger–Kohn. Για ομοιογενείς μεταλλο-αλογονιδικές περοβσκίτες, η υπολογιζόμενη οκταζωνική ηλεκτρονική δομή μπορεί να συνδυαστεί με τη σκέδαση ηλεκτρονίων-φωνόνων Fröhlich για να ληφθούν οι χρόνοι χαλάρωσης των φορέων και η κινητικότητα που περιορίζεται από τα φωνόνια.
Υπάρχουν παραδείγματα εφαρμογής στα ακόλουθα: Εκπαιδευτικό πρόγραμμα για την ηλεκτρονική κινητικότητα των υλικών Si/SiGe, Εκπαιδευτικό πρόγραμμα για την κινητικότητα των οπών στα υλικά Si/SiGe και Εκπαιδευτικό πρόγραμμα για τη δομή ζωνών και την κινητικότητα των περοβσκιτών.
Τα παραδείγματα που παρέχονται με το OghmaNano προσφέρουν έτοιμες βάσεις για κάθε μοντέλο δομής ζωνών. Για κβαντομηχανικές οπτικές υπολογίσεις, το GaAs/AlGaAs eight-band k·p tutorial παρουσιάζει τον υπολογισμό ηλεκτρονικών υποζωνών, απορρόφησης, διεγερμένης εκπομπής, οπτικής ενίσχυσης και αυθόρμητης εκπομπής.
Για υπολογισμούς μεγάλης κλίμακας, το σεμινάριο για τη δομή ζωνών και την κινητικότητα των περοβσκιτών δείχνει πώς να υπολογίσετε τις ηλεκτρονικές ζώνες των υλικών CsPbX3 και MAPbX3 και να χρησιμοποιήσετε τις προκύπτουσες καταστάσεις για να υπολογίσετε τη σκέδαση Fröhlich και την κινητικότητα των φορέων φορτίου.
Περαιτέρω θεωρητικό υπόβαθρο είναι διαθέσιμο στην Οδηγός θεωρίας k·p, στην Θεωρία οπτικών μεταπτώσεων και στην Θεωρία σκέδασης Fröhlich.
Για μια εισαγωγή στην κβαντική περιορισμό, ξεκινήστε με το κβαντικές πηγές και περιορισμό φορέων. Το εκπαιδευτικό πρόγραμμα για παραβολικές ζώνες παρουσιάζει το απλούστερο μοντέλο κβαντικής πηγής, ενώ ο οδηγός για τη θεωρία k·p εξηγεί πώς συνδέονται αρκετές ηλεκτρονικές ζώνες σε ένα πολυζωνικό Hamiltonian.
Ως ένα πρακτικό σημείο εκκίνησης, δοκιμάστε το GaAs/AlGaAs eight-band k·p tutorial ή το bulk perovskite band-structure and mobility tutorial.
Εξερευνήστε τα εργαλεία μοντελοποίησης κβαντικής και δομής ζωνών.
Ξεκινήστε με την εισαγωγή στις κβαντικές πηγάδες, διαβάστε τον οδηγό για τη θεωρία k·p ή εκτελέστε το Εκπαιδευτικό πρόγραμμα για την παραβολική κβαντική πηγάδα GaAs/AlGaAs.