Κβαντικό πηγάδι πυριτίου/SiGe: Εκπαιδευτικό υλικό για τις έξι κοιλάδες Δ και την κινητικότητα των ηλεκτρονίων.

1. Εισαγωγή

Στα προηγούμενα παραδείγματα κβαντικών φρεάτων, χρησιμοποιήσαμε ημιαγωγούς III–V με άμεσο ενεργειακό χάσμα για να υπολογίσουμε τις περιορισμένες ζώνες αγωγιμότητας και σθένους, καθώς και τις οπτικές μεταπτώσεις. Η περίπτωση της πυριτίου απαιτεί μια αρκετά διαφορετική προσέγγιση. Τα ελάχιστα της ζώνης αγωγιμότητας δεν βρίσκονται στο κέντρο της ζώνης Brillouin (Γ). Αντίθετα, η ογκώδης πυριτίου έχει έξι ισοδύναμα ελάχιστα της ζώνης αγωγιμότητας, ή κοιλάδες Δ, διατεταγμένα σε αντίθετα ζεύγη κατά μήκος των τριών κυβικών κρυσταλλικών αξόνων. Οι διαφορετικές αποτελεσματικές μάζες τους γίνονται ιδιαίτερα σημαντικές όταν οι φορείς φορτίου περιορίζονται σε μια λεπτή στρώση.

Εδώ θα προσομοιώσουμε μια κβαντική πηγή πυριτίου 10 nm, η οποία βρίσκεται ανάμεσα σε δύο στρώσεις SiGe 20 nm. Θα εξετάσουμε τη διασπορά των υποζωνών των ηλεκτρονίων και στη συνέχεια θα συνεχίσουμε τον υπολογισμό πέρα από τα οπτικά παραδείγματα: από τη σκέδαση ακουστικών φωνόνων έως τη μεταφορά και τη χαλάρωση, την πυκνότητα των ηλεκτρονικών φύλλων, το επίπεδο Fermi και την κινητικότητα. Η έμφαση δίνεται στη μεταφορά ηλεκτρονίων και όχι στην άμεση οπτική ενίσχυση· το πυρίτιο είναι ένας ημιαγωγός με έμμεσο ενεργειακό χάσμα.

2. Άνοιγμα του παραδείγματος της δομής Δ σε μορφή πυριτίου.

Στο OghmaNano, επιλέξτε Αρχείο → Νέα προσομοίωση. Κάντε διπλό κλικ στην κατηγορία «Δείγματα GaAs» στον περιηγητή προτύπων (??). Αυτή η συλλογή περιέχει επίσης τα υπόλοιπα μοντέλα κβαντικών φρεάτων ημιαγωγών. Στο επόμενο παράθυρο, ανοίξτε το «Τεντωμένο κβαντικό φρέαρ Si/SiGe Delta-Valley» (??). Ξεκινήστε με τη διαθέσιμη διαμόρφωση χωρίς να την αλλάξετε, ώστε η πρώτη σας εκτέλεση να μπορεί να συγκριθεί με τα διαγράμματα που ακολουθούν.

3. Έλεγχος της δομής της στρώσης Si/SiGe.

Κάντε κλικ στο "Επεξεργαστής στρώσεων" στο πλαίσιο της δομής της συσκευής για να εξετάσετε το παράδειγμα (??). Η κατεύθυνση περιορισμού είναι κατά μήκος των τριών στρώσεων (που θεωρούνται ως άξονας z εδώ). Τα ηλεκτρόνια μπορούν ακόμα να κινούνται παράλληλα με την περιοχή στο επίπεδο x–y.

Οι καταχωρήσεις οπτικών υλικών που εμφανίζονται στον επεξεργαστή δεν πρέπει να εκληφθούν ως πλήρης περιγραφή των ηλεκτρονικών μετατοπίσεων ζωνών ή της μοριακής κλάσματος του Ge. Αυτά εξαρτώνται από τις διαμορφωμένες παραμέτρους υλικού. Αφήστε το παρεχόμενο παράδειγμα όπως είναι προς το παρόν.

Μπορείτε να ελέγξετε τα δεδομένα του υλικού ανοίγοντας τις Ηλεκτρικές παραμέτρους και επιλέγοντας την καρτέλα Si (QW) (??). Η βιβλιοθήκη υλικών πυριτίου παρέχει παραμέτρους ημιαγωγών που εξαρτώνται από τη θερμοκρασία. Για μια προγνωστική υπολογιστική ανάλυση Si/SiGe, αξίζει να ελέγξετε τις αποτελεσματικές μάζες, τις μετατοπίσεις ζωνών, τη σύνθεση του Ge και τη διαμόρφωση της τάσης, αντί να βασίζεστε μόνο σε μια τιμή του ενεργειακού χάσματος του πυριτίου.

4. Γιατί το πυρίτιο χρειάζεται ένα μοντέλο με έξι κοιλάδες;

Φανταστείτε ένα ηλεκτρόνιο που κινείται στο επίπεδο του κβαντικού πηγαδιού. Σε ένα συνηθισμένο ισοτροπικό παραβολικό μοντέλο, η ενέργειά του εξαρτάται μόνο από το μέγεθος του διανύσματος κύματος. Η πυριτική δομή είναι διαφορετική: κάθε κοιλάδα Δ μοιάζει με ένα ελλειψοειδές, με μεγαλύτερη διαμήκη μάζα κατά μήκος του άξονά της και μικρότερη εγκάρσια μάζα κάθετη σε αυτόν τον άξονα. Οι κοιλάδες σχηματίζουν τρία αντίθετα ζεύγη: ±x, ±y και ±z. Κάθε ζεύγος αντιμετωπίζεται με τη μάζα που αντιστοιχεί στον προσανατολισμό του σε σχέση με την κατεύθυνση ανάπτυξης του κβαντικού πηγαδιού.

Για μια δεδομένη κοιλάδα, το πρόβλημα του περιορισμού της αποτελεσματικής μάζας μπορεί να γραφτεί σχηματικά ως εξής:

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

Εδώ, το \(V_{\Delta}\) αντιπροσωπεύει την δυναμική περιορισμού της ζώνης αγωγιμότητας για την επιλεγμένη κοιλάδα, συμπεριλαμβανομένης της μετατόπισης που προκαλείται από την τάση. Οι αποτελεσματικές μάζες μπορεί να διαφέρουν από στρώση σε στρώση. Το σημαντικό χαρακτηριστικό είναι ότι η μάζα κατά μήκος του άξονα z ελέγχει τον περιορισμό, ενώ οι δύο μάζες στο επίπεδο ελέγχουν την κλίση και την καμπυλότητα της διασποράς της υποζώνης.

Για μια κρυσταλλική δομή προσανατολισμένη στον άξονα (001), το ζεύγος ±z (που συχνά ονομάζεται Δ2) έχει τη διαμήκη μάζα του κατά μήκος της κατεύθυνσης περιορισμού. Τα τέσσερα ελάχιστα ±x/±y (Δ4) έχουν αντίθετα τη διατομική μάζα κατά μήκος του άξονα z. Ακόμη και χωρίς τάση, οι ενέργειες περιορισμού τους δεν είναι απαραίτητο να συμπίπτουν. Η τάση μπορεί να απομακρύνει περαιτέρω τις άκρες των ελαχίστων τους, κατά προσέγγιση σύμφωνα με

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

Ο πρώτος όρος μετατοπίζει όλους τους προσανατολισμούς της κοιλάδας σύμφωνα με τη συνολική διαστολή, ενώ ο δεύτερος διακρίνει τη συνιστώσα της τάσης κατά μήκος του άξονα κάθε κοιλάδας. Αυτή η διαφορά ενέργειας Δ2/Δ4 δεν είναι η ίδια με τη μικρή διάσπαση που προκαλείται από τη διεπιφάνεια μεταξύ των δύο αντίθετων κοιλάδων εντός ενός ζεύγους· η τελευταία θα απαιτούσε πρόσθετη φυσική της σύζευξης μεταξύ των κοιλάδων και δεν θα πρέπει να συμπεραίνεται μόνο από αυτό το διάγραμμα. Δείτε τη σελίδα " θεωρία της κοιλάδας Δ του πυριτίου" για περισσότερες πληροφορίες.

5. Εκτελέστε την προσομοίωση.

Επιστρέψτε στην καρτέλα "Αρχείο" και κάντε κλικ στην επιλογή "Εκτέλεση προσομοίωσης". Το μοντέλο επιλύει τις καταστάσεις περιορισμένης αγωγιμότητας σε ένα σύνολο διανυσμάτων κυμάτων στο επίπεδο, πριν αξιολογήσει τα αποτελέσματα της σκέδασης και της μεταφοράς των ηλεκτρονίων. Στο ??, το τερματικό έχει φτάσει στο στάδιο της ακουστικής σκέδασης. Το ποσοστό που εμφανίζεται κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης της προσομοίωσης αποτελεί δείκτη προόδου και όχι το τελικό αποτέλεσμα της σκέδασης.

Περιμένετε μέχρι να ολοκληρωθεί η εκτέλεση και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την καρτέλα "Έξοδος" για να ανοίξετε τα γραφήματα. Σε αυτό το εκπαιδευτικό πρόγραμμα, θα εξετάσουμε πρώτα τη διασπορά των ζωνών, ακολουθούμενη από την εξάρτηση του ρυθμού σκέδασης από το διανυσματικό κύμα και τις μεταφορικές ποσότητες που εξαρτώνται από την πυκνότητα.

6. Ανάλυση της διασποράς της ζώνης αγωγιμότητας.

Ανοίξτε την έξοδο της ζώνης αγωγιμότητας για να λάβετε το ??. Στο μηδέν για το διανυσματικό κύμα στο επίπεδο, κάθε κλάδος ξεκινά από μια διακριτή ενέργεια περιορισμού. Καθώς το \(k_{\parallel}\) αυξάνεται, οι κλάδοι ανεβαίνουν, αλλά όχι όλοι με τον ίδιο ρυθμό. Ορισμένοι είναι σημαντικά πιο επίπεδοι επειδή η αποτελεσματική μάζα τους στο επίπεδο είναι μεγαλύτερη στην κατεύθυνση που απεικονίζεται. Οι κοντινοί κλάδοι μπορούν να πλησιάσουν ή να διασταυρωθούν όταν προέρχονται από ξεχωριστά επεξεργασμένες κατευθύνσεις της κοιλάδας· δεν θα πρέπει να ερμηνεύουμε αυτόματα κάθε προσέγγιση ως μια διασταύρωση πολλαπλών ζωνών.

Σε μια περιοχή με ομοιόμορφη μάζα, μια μεμονωμένη κοιλάδα που έχει συγκεκριμένο προσανατολισμό παρουσιάζει την χαρακτηριστική διασπορά στο επίπεδο.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

Για αυτό είναι χρήσιμο να εξετάζουμε την κατεύθυνση του διανυσματικού κύματος στο επίπεδο, αντί να ερμηνεύουμε το σύνολο των έγχρωμων καμπυλών ως αντίγραφα μιας ενιαίας ισότροπης παραβολής. Η σχεδιασμένη αναφορά ενέργειας είναι αυτή που χρησιμοποιείται στο παράδειγμα· οι διαφορές μεταξύ των ενεργειών των υποζωνών είναι συνήθως πιο κατατοπιστικές από την απόλυτη μετατόπισή τους.

7. Από τη σκέδαση ακουστικών φωνόνων στην εξασθένηση της ορμής.

Το διάγραμμα των ενεργειακών ζωνών μας δείχνει ποιες ηλεκτρονικές καταστάσεις είναι διαθέσιμες. Από μόνο του, όμως, δεν μας λέει πόσο εύκολα μπορούν τα ηλεκτρόνια να κινούνται κατά μήκος της περιοχής. Για να υπολογίσουμε την κινητικότητα, πρέπει επίσης να εξετάσουμε πόσο συχνά οι φωνόνες διασκορπίζουν ένα ηλεκτρόνιο από την τρέχουσα κατάστασή του και – το πιο σημαντικό – πόσο αποτελεσματικά αυτές οι διασκορπίσεις αλλάζουν την κατεύθυνση της κίνησής του.

Ανοίξτε τα αποτελέσματα της διασποράς στην καρτέλα "Έξοδος" (??). Το παράδειγμα παρέχει τόσο τις συνήθεις συχνότητες εμφάνισης φαινομένων φωνονίων όσο και τις συχνότητες διασποράς σταθμισμένες με βάση τη μεταφορά. Η διαφορά μεταξύ τους δεν είναι απλώς επιφανειακή: μια σύγκρουση μέσω μιας πολύ μικρής γωνίας αλλάζει την κατάσταση ενός ηλεκτρονίου, αλλά μπορεί να έχει μικρή επίδραση στη συνολική ορμή του.

Το σημείο εκκίνησης για μια μετάβαση φωνονίου είναι ο χρυσός κανόνας του Φέρμι, σε σχηματική μορφή.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

όπου το στοιχείο της μήτρας αλληλεπίδρασης \(M_{fi}\) περιέχει τη σύζευξη δυναμικού παραμόρφωσης και την επικάλυψη των αρχικών και τελικών περιορισμένων ηλεκτρονικών καταστάσεων. Το πρόσημο επιτρέπει την απορρόφηση ή την εκπομπή φωνονίων στη γενική περίπτωση. Για τον ακουστικό υπολογισμό που παρουσιάζεται εδώ, χρησιμοποιείται η συνήθης προσέγγιση θερμικών φωνονίων κοντά στην ελαστική περιοχή. Οι διαμήκεις και εγκάρσιες ακουστικές πολωσιμότητες και η διανυσματική συνιστώσα του φωνονίου εκτός του επιπέδου συμπεριλαμβάνονται στον υπολογισμό της περιορισμένης κατάστασης.

Ο ρυθμός μεταφοράς εισάγει μια επιπλέον γωνιακή στάθμιση. Για την απλή εικόνα της κατεύθυνσης της ορμής που χρησιμοποιείται σε αυτό το μοντέλο, ο ρόλος του μπορεί να συνοψιστεί ως εξής:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

Στη συγκεκριμένη μέθοδο μεταφοράς, η προς τα εμπρός σκέδαση (μικρή \(\theta_{if}\)) καταστέλλεται, ενώ η οπισθοσκέδαση συμβάλλει περισσότερο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο συνολικός χρόνος ζωής της φωνονικής σκέδασης και ο χρόνος ζωής της μεταφοράς δεν είναι απαραίτητα ταυτόσημοι. Ένα παράδειγμα γραφήματος του ρυθμού μεταφοράς εμφανίζεται στο ??: ο γραφικός ρυθμός αυξάνεται γενικά με τον διανυσματικό αριθμό κυμάτων στο εύρος που εμφανίζεται. Η ακριβής μορφή του εξαρτάται από τις υποζώνες, τις επιτρεπόμενες τελικές καταστάσεις, τις παραμέτρους του υλικού και τις επικαλύψεις των φωνονίων.

Η επιλεγμένη έξοδος αφορά την οικογένεια κοιλάδων προσανατολισμένη στον άξονα x και μία υποζώνη· δεν αποτελεί από μόνη της την πλήρη κινητικότητα του ηλεκτρονικού αερίου των έξι κοιλάδων. Επίσης, ένα μηδενικό ή ελλιπές ποσοστό ακριβώς στο \(k=0\) σε μια δειγματοληπτική έξοδο δεν θα πρέπει να ερμηνεύεται ως απόδειξη ότι τα ηλεκτρόνια δεν διασκορπίζονται ποτέ σε αυτό το σημείο.

8. Από το επίπεδο Fermi στην κινητικότητα.

Η κινητικότητα δεν αξιολογείται σε ένα αυθαίρετα επιλεγμένο διανυσματικό κύμα. Τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν ένα εύρος διαθέσιμων καταστάσεων και το τμήμα που καταλαμβάνουν αλλάζει ανάλογα με την πυκνότητα φορέων στο φύλλο. Ως εκ τούτου, η προσομοίωση καθορίζει ένα επίπεδο Fermi κατάλληλο για την απαιτούμενη δισδιάστατη πυκνότητα και υπολογίζει τη μέση τιμή της μεταφορικής απόκρισης σε όλες τις κατειλημμένες ζώνες και τους προσανατολισμούς της κοιλάδας.

Η πιθανότητα καταληψης μιας ηλεκτρονικής κατάστασης ενέργειας \(E\) σύμφωνα με την στατιστική Fermi-Dirac είναι:

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

Η άθροιση των κατειλημμένων καταστάσεων σε σχέση με τους επιπεδικούς διανυσματικούς κύματος και τις σχετικές υποζώνες παρέχει μια πυκνότητα επιφανείας \(n_{2D}\) σε m\(^{-2}\). Η αύξηση του \(n_{2D}\) συνήθως απαιτεί την αύξηση της στάθμης Fermi των ηλεκτρονίων: αυτή η εξέλιξη εμφανίζεται άμεσα στην πρώτη γραφική παράσταση παρακάτω.

Σύμφωνα με την προσέγγιση της χαλάρωσης του χρόνου μεταφοράς, η αγωγιμότητα κατά μήκος του επιλεγμένου άξονα στο επίπεδο μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση των ταχυτήτων της ζώνης και των χρόνων ζωής της μεταφοράς:

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

Εδώ, \(v_{n,v,x}\) είναι η ταχύτητα της ομάδας των ηλεκτρονίων κατά μήκος του άξονα x για την υποζώνη \(n\) της οικογένειας κοιλάδων \(v\). Οι κατάλληλες πολλαπλότητες κοιλάδων λαμβάνονται υπόψη κατά την άθροιση των φυσικά ισοδύναμων προσανατολισμών. Ο παράγοντας \(-\partial f/\partial E\) δίνει μεγαλύτερη βαρύτητα στις καταστάσεις που μπορούν να ανταποκριθούν σε ένα μικρό εφαρμοσμένο πεδίο, αντί να αποδίδει ίση βαρύτητα σε κάθε κατειλημμένη κατάσταση.

Η υπολογιζόμενη κινητικότητα μειώνεται από περίπου 0,57 σε 0,49 m2 V−1 s−1 στο εύρος πυκνοτήτων που εμφανίζεται στο ??. Ταυτόχρονα, ο αποτελεσματικός ρυθμός διασποράς μεταφοράς αυξάνεται, όπως απεικονίζεται στο ??. Αυτό είναι σύμφωνο με την εξάρτηση της κατανομής από την πυκνότητα, η οποία δίνει μεγαλύτερη έμφαση στις ηλεκτρονικές καταστάσεις με ισχυρότερη χαλάρωση της ορμής σε αυτή τη συγκεκριμένη διαμόρφωση. Η αντίστοιχη αποτελεσματική διάρκεια ζωής είναι μια ποσότητα που σταθμίζεται με βάση τη μεταφορά και ο αντίστροφός της δεν πρέπει να συγχέεται με έναν ξεχωριστά σχεδιασμένο ρυθμό φωνονίων μιας μεμονωμένης κατάστασης.

Αυτό το παράδειγμα απεικονίζει την κινητικότητα που προβλέπεται από το διαμορφωμένο μοντέλο σκέδασης· δεν θα πρέπει να ερμηνεύεται αυτόματα ως μια πλήρης πειραματική κινητικότητα Si/SiGe, η οποία να περιλαμβάνει κάθε πιθανή διαταραχή, διεπιφάνεια, ακαθαρσία και φωνονικό μηχανισμό.

9. Δοκιμάστε το μόνοι σας.

Αφού μπορέσετε να αναπαράγετε τα παρεχόμενα αποτελέσματα, κάντε μία αλλαγή κάθε φορά και εκτελέστε ξανά τον υπολογισμό. Τα παρακάτω πειράματα βοηθούν στην αντιστοίχιση των εισόδων του μοντέλου με τις υποκείμενες φυσικές αρχές:

Το βασικό συμπέρασμα είναι ότι η κινητικότητα του πυριτίου συνδέεται με μια αλυσίδα υπολογισμών: προσανατολισμός και παραμόρφωση της κοιλάδας → περιορισμένες υποζώνες → διαθέσιμες μεταπτώσεις φωνονίων → χρόνοι ζωής μεταφοράς → αγωγιμότητα της κατειλημμένης κατάστασης → κινητικότητα. Αυτή είναι η κύρια διαφορά μεταξύ αυτού του παραδείγματος και των εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τα οπτικά κβαντικά πηγάδια.