Hétérostructure quantique en silicium/SiGe : tutoriel sur les six « vallées » Δ et la mobilité des électrons.

1. Introduction

Dans les exemples précédents concernant les puits quantiques, nous avons utilisé des semi-conducteurs III-V à bande interdite directe pour calculer les états de conduction et de valence confinés, ainsi que les transitions optiques. Le silicium nécessite une approche de départ tout à fait différente. Les minima de sa bande de conduction ne se trouvent pas au centre de la zone de Brillouin (Γ). Au lieu de cela, le silicium massif présente six minima de bande de conduction équivalents, ou « vallées » Δ, disposés en paires opposées le long des trois axes du cristal cubique. Leurs différentes masses effectives deviennent particulièrement importantes lorsque les porteurs de charge sont confinés dans une fine couche.

Dans cette section, nous allons simuler un puits quantique en silicium de 10 nm, situé entre deux couches de SiGe de 20 nm. Nous examinerons la dispersion des sous-bandes électroniques, puis nous approfondirons les calculs par rapport aux tutoriels sur l’optique : de la diffusion par les phonons acoustiques à la relaxation du transport, en passant par la densité de la couche électronique, le niveau de Fermi et la mobilité. L’accent sera mis sur le transport des électrons, et non sur le gain optique direct ; le silicium est un semi-conducteur à bande interdite indirecte.

2. Ouverture de l’exemple de la vallée en forme de delta dans le silicium.

Dans OghmaNano, sélectionnez Fichier → Nouvelle simulation. Double-cliquez sur la catégorie « Démos GaAs » dans le navigateur de modèles (??). Cette collection contient également les autres modèles de puits quantiques semi-conducteurs. Dans la fenêtre suivante, ouvrez « Puits quantique Si/SiGe à déformation » (??). Commencez par utiliser la configuration fournie sans la modifier, afin de pouvoir comparer les résultats de votre première simulation avec les graphiques ci-dessous.

3. Examen de la structure de la couche Si/SiGe.

Dans le panneau de la structure du dispositif, cliquez sur « Éditeur de couches » pour examiner l’exemple (??). La direction du confinement se fait à travers les trois couches (considérées ici comme l’axe z) ; les électrons peuvent toujours se déplacer parallèlement au puits dans le plan x–y.

Les données relatives aux matériaux optiques affichées dans l’éditeur ne doivent pas être confondues avec une spécification complète des décalages de bande électronique ou de la fraction molaire de germanium. Ces valeurs dépendent des paramètres de matériau configurés. Pour l’instant, laissez l’exemple fourni tel quel.

Vous pouvez consulter les données sur les matériaux en ouvrant les paramètres électriques et en sélectionnant l’onglet Si (QW) (??). La bibliothèque de matériaux en silicium fournit des paramètres semi-conducteurs qui varient en fonction de la température. Pour effectuer un calcul prédictif Si/SiGe, il est préférable de vérifier les masses effectives, les décalages de bande, la composition du germanium et la configuration des contraintes, plutôt que de se fier uniquement à une valeur de bande interdite du silicium.

4. Pourquoi le silicium nécessite-t-il un modèle à six vallées ?

Imaginez un électron se déplaçant dans le plan du puits quantique. Dans un modèle parabolique isotrope classique, son énergie ne dépend que de l’amplitude de son vecteur d’onde. Le silicium est différent : chaque vallée Δ ressemble à un ellipsoïde, avec une masse longitudinale plus importante le long de son axe et une masse transversale plus faible, perpendiculaire à cet axe. Les vallées forment les trois paires opposées ±x, ±y et ±z. Chaque paire est traitée en utilisant la masse appropriée à son orientation par rapport à la direction de croissance du puits quantique.

Pour une vallée donnée, le problème du confinement lié à la masse effective peut être représenté schématiquement comme suit :

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

Ici, \(V_{\Delta}\) représente le potentiel de confinement de la bande de conduction pour la vallée choisie, y compris le décalage induit par la contrainte. Les masses effectives peuvent varier d’une couche à l’autre. L’élément important est que la masse le long de l’axe z contrôle le confinement, tandis que les deux masses dans le plan contrôlent la pente et la courbure de la dispersion de la sous-bande.

Pour un puits dont l’axe principal est orienté selon le plan (001), la paire ±z (souvent appelée Δ2) présente sa masse longitudinale le long de la direction de confinement. Les quatre vallées ±x/±y (Δ4) présentent, quant à elles, une masse transverse le long de l’axe z. Même en l’absence de contrainte, leurs énergies de confinement ne sont pas nécessairement identiques. La contrainte peut encore davantage séparer les bords de leurs vallées, approximativement selon la formule suivante :

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

Le premier terme décale toutes les orientations des vallées en fonction de la dilatation globale, tandis que le second permet de distinguer la composante de déformation le long de l’axe de chaque vallée. Ce Δ₂/Δ₄ la séparation énergétique est pas identique à la petite séparation induite par l’interface entre les deux vallées opposées d’une même paire ; cette dernière nécessiterait des mécanismes physiques supplémentaires de couplage inter-vallées et ne devrait pas être déduite uniquement de ce graphique. Voir le page consacrée à la théorie de la vallée en forme de delta dans le silicium pour en savoir plus.

5. Lancez la simulation.

Retournez à l’onglet « Fichier » et cliquez sur « Exécuter la simulation ». Le modèle résout les états de conduction confinés pour un ensemble de vecteurs d’onde dans le plan avant d’évaluer les résultats de la diffusion et du transport des électrons. Dans ??, le terminal a atteint le stade de diffusion acoustique. Le pourcentage affiché pendant l’exécution de la simulation indique l’avancement et non le résultat final de la diffusion.

Attendez que l’exécution soit terminée, puis utilisez l’onglet « Sortie » pour ouvrir les graphiques. Dans ce tutoriel, nous examinerons d’abord la dispersion des bandes, puis nous nous pencherons sur le taux de diffusion dépendant de chaque vecteur d’onde, et enfin sur les quantités de transport dépendant de la densité.

6. Analyse de la dispersion de la bande de conduction.

Ouvrez la sortie de la bande de conduction pour obtenir ??. Lorsque le vecteur d’onde dans le plan est nul, chaque branche commence à un niveau d’énergie de confinement discret. À mesure que \(k_{\parallel}\) augmente, les branches montent, mais pas toutes au même rythme. Certaines sont sensiblement plus plates, car leur masse effective dans le plan est plus importante dans la direction indiquée sur le graphique. Les branches proches peuvent se rapprocher ou se croiser lorsqu’elles proviennent d’orientations de vallée traitées séparément ; il ne faut pas interpréter automatiquement chaque proximité comme un croisement multibande.

Dans une région où la masse est uniformément répartie, une vallée individuelle orientée présente une dispersion caractéristique dans le plan.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

C’est pourquoi il est utile d’examiner la direction du vecteur d’onde dans le plan, plutôt que d’interpréter l’ensemble des courbes colorées comme des copies d’une seule parabole isotrope. La référence d’énergie représentée graphiquement est celle utilisée dans l’exemple ; les différences entre les énergies des sous-bandes sont généralement plus révélatrices que leur décalage absolu.

7. De la diffusion par les phonons acoustiques à la relaxation de l’impulsion.

Le diagramme de bandes nous indique quels états électroniques sont disponibles. Cependant, il ne nous renseigne pas, à lui seul, sur la facilité avec laquelle les électrons peuvent se déplacer dans le puits. Pour calculer la mobilité, nous devons également déterminer à quelle fréquence les phonons dévient un électron de son état actuel, et – point crucial – dans quelle mesure ces événements modifient sa direction de mouvement.

Ouvrez les résultats de la diffusion dans l’onglet « Résultats » (??). L’exemple fournit à la fois les taux de diffusion phononiques classiques et les taux de diffusion pondérés par le transport. Leur différence n’est pas purement esthétique : une collision avec un angle très faible modifie l’état d’un électron, mais peut avoir un effet limité sur la relaxation de son impulsion nette.

Le point de départ pour une transition phononique est la règle d’or de Fermi, présentée de manière schématique.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

où la composante de la matrice d’interaction \(M_{fi}\) contient le couplage du potentiel de déformation et le recouvrement des états électroniques initiaux et finaux confinés. Le signe permet l’absorption ou l’émission de phonons dans le cas général. Pour le calcul acoustique présenté ici, on utilise l’approximation habituelle, qui suppose une faible variation élastique et concerne les phonons thermiques. Les polarisations acoustiques longitudinales et transversales, ainsi que le vecteur d’onde du phonon hors du plan, sont pris en compte dans le calcul de l’état confiné.

Le taux de transport introduit un facteur de pondération angulaire supplémentaire. Dans le cadre du modèle simplifié que nous utilisons, qui se base sur la direction de l’impulsion, son rôle peut être résumé comme suit :

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

Dans cette mesure de transport, la diffusion directe (faible \(\theta_{if}\)) est réduite, tandis que la diffusion inverse contribue davantage. C’est pourquoi la durée de vie totale de la diffusion des phonons et la durée de vie de transport ne sont pas nécessairement identiques. Un exemple de graphique du taux de transport est présenté dans ?? : le taux représenté augmente généralement avec le vecteur d’onde sur la plage affichée. Sa forme précise dépend des sous-bandes, des états finaux autorisés, des paramètres du matériau et des recouvrements des phonons.

La sortie sélectionnée concerne la famille de vallées orientées selon l’axe x et une sous-bande ; elle ne représente pas à elle seule la mobilité complète du gaz d’électrons à six vallées. De même, un taux nul ou manquant à la valeur exacte de \(k=0\) dans une sortie échantillonnée ne doit pas être interprété comme une preuve que les électrons ne subissent jamais de diffusion à cet endroit.

8. Du niveau de Fermi à la mobilité.

La mobilité n’est pas évaluée pour une seule valeur de vecteur d’onde choisie de manière arbitraire. Les électrons occupent une gamme d’états disponibles, et la portion occupée varie en fonction de la densité de porteurs dans la couche. La simulation détermine donc un niveau de Fermi approprié à la densité bidimensionnelle demandée et calcule la moyenne de la réponse de transport sur les bandes et les orientations de vallée occupées.

L’occupation d’un état électronique d’énergie \(E\) selon la statistique de Fermi-Dirac est :

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

En additionnant les états occupés en fonction des vecteurs d’onde dans le plan et des sous-bandes pertinentes, on obtient une densité surfacique \(n_{2D}\) en m\(^{-2}\). L’augmentation de \(n_{2D}\) nécessite généralement d’élever le niveau de Fermi des électrons : cette progression est directement visible dans le premier graphique ci-dessous.

Dans le cadre du modèle de relaxation du temps de transport, la conductivité le long de l’axe sélectionné dans le plan peut être exprimée en fonction des vitesses de bande et des durées de vie du transport :

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

Ici, \(v_{n,v,x}\) représente la vitesse de groupe des électrons le long de l’axe x pour la sous-bande \(n\) de la famille de vallées \(v\). Les multiples de vallées appropriés sont pris en compte lors de la sommation des orientations physiquement équivalentes. Le facteur \(-\partial f/\partial E\) accorde plus de poids aux états qui peuvent réagir à un faible champ appliqué, plutôt que d’attribuer le même poids à tous les états occupés.

La mobilité calculée diminue d’environ 0,57 à 0,49 m2 V−1 s−1 sur la plage de densités indiquée dans ??. Parallèlement, le taux de diffusion efficace augmente, comme l’illustre ??. Ceci est cohérent avec le fait que la dépendance de la densité influe sur l’occupation, en donnant plus de poids aux états électroniques présentant une relaxation d’impulsion plus forte dans cette configuration particulière. La durée de vie effective correspondante est une quantité pondérée par le transport, et son inverse ne doit pas être confondu avec le taux de phonon d’un seul état, représenté séparément.

Cet exemple illustre la mobilité prévue par le modèle de diffusion configuré ; il ne faut pas l’interpréter automatiquement comme une mobilité expérimentale complète du Si/SiGe, incluant tous les types de désordre, d’interfaces, d’impuretés et de mécanismes phononiques possibles.

9. Essayez-le vous-même.

Une fois que vous parvenez à reproduire les résultats fournis, effectuez une seule modification à la fois, puis relancez le calcul. Les expériences suivantes permettent de faire le lien entre les données d’entrée du modèle et les principes physiques sous-jacents :

Le résultat essentiel est que la mobilité des électrons dans le silicium est liée à une série de calculs : orientation et déformation de la vallée → sous-bandes confinées → transitions phononiques disponibles → durée de vie du transport → conductivité de l’état occupé → mobilité. C’est la principale différence entre cet exemple et les tutoriels sur les puits quantiques optiques.