Πυριτικές κβαντικές πηγάδες και οι έξι κοιλάδες της ζώνης αγωγιμότητας

Γιατί το πυρίτιο διαφέρει από το GaAs;

Στο παραβολικό-ζωνικό σεμινάριο, περιγράψαμε μια κβαντική δεξαμενή χρησιμοποιώντας το ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας και μια ενιαία αποτελεσματική μάζα. Αυτό αποτελεί ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης για ένα υλικό άμεσου ενεργειακού χάσματος, όπως το GaAs, του οποίου η χαμηλότερη κατάσταση αγωγιμότητας βρίσκεται στο κέντρο της ζώνης Brillouin (το σημείο Γ). Το πυρίτιο απαιτεί μια επιπλέον ιδέα: οι χαμηλότερες καταστάσεις αγωγιμότητάς του βρίσκονται μακριά από το σημείο Γ.

Αντί να έχει μόνο ένα ελάχιστο στην ζώνη αγωγιμότητας, το πυρίτιο έχει έξι ισοδύναμα ελάχιστα, τα οποία συμβατικά ονομάζονται κοιλάδες Δέλτα (Δ). Όπως απεικονίζεται στο ??, αυτά βρίσκονται κατά μήκος των θετικών και αρνητικών κατευθύνσεων των τριών κυβικών αξόνων: +x, −x, +y, −y, +z και −z. Κάθε κοιλάδα είναι μια περιοχή της δομής της ζώνης στην οποία τα ηλεκτρόνια μπορούν να καταλάβουν καταστάσεις κοντά σε ένα τοπικό ελάχιστο ενέργειας.

Σε έναν κρύσταλλο πυριτίου χωρίς τάσεις, η συμμετρία καθιστά και τα έξι ελάχιστα ενεργειακά σημεία ισοδύναμα. Ωστόσο, όταν το πυρίτιο μετατρέπεται σε κβαντικό πηγάδι, το πεπερασμένο πάχος του διακρίνει μία συγκεκριμένη κατεύθυνση. Ορισμένα από αυτά τα ελάχιστα ενεργειακά σημεία αντιδρούν διαφορετικά στον περιορισμό, παρόλο που ανήκαν στην ίδια ενεργειακή ομάδα στο ογκώδες υλικό.

Τι ακριβώς συμβολίζει μια κοιλάδα;

Μια «κοιλάδα» δεν είναι μια φυσική κοιλότητα μέσα στο πυρίτιο. Είναι ένα ελάχιστο σημείο σε ένα γράφημα που απεικονίζει την ενέργεια των ηλεκτρονίων σε σχέση με τον κρυσταλλικό διανυσματικό κύμα. Εάν εξετάσουμε τη δομή των ζωνών κοντά σε ένα τέτοιο ελάχιστο, η ενέργειά του φαίνεται και πάλι κατά προσέγγιση παραβολική. Όμως, σε αντίθεση με την απλή ισοτροπική παραβολή που χρησιμοποιήθηκε στο εισαγωγικό μας μοντέλο, η καμπυλότητα μιας «κοιλάδας» στο πυρίτιο εξαρτάται από την κατεύθυνση στην οποία κινούμαστε στον αντίστροφο χώρο.

Μπορούμε να φανταστούμε την επιφάνεια σταθερής ενέργειας γύρω από κάθε ελάχιστο ως ένα επιμήκη ελλειψοειδές, το οποίο απεικονίζεται σχηματικά στην παραπάνω εικόνα. Η μεγάλη διάμετρος αυτού του ελλειψοειδούς ορίζει τον άξονα της κοιλάδας. Η αντίστοιχη αποτελεσματική μάζα ονομάζεται διαμήκης μάζα, ενώ οι μάζες στις δύο κάθετες διευθύνσεις ονομάζονται εγκάρσιες μάζες.

Είναι σημαντικό να διακρίνουμε τη θέση μιας κοιλάδας στον αμοιβαίο χώρο από την τροχιά ενός ηλεκτρονίου στον πραγματικό χώρο. Μια κοιλάδα στο +z δεν σημαίνει ότι τα ηλεκτρόνια μπορούν να κινούνται μόνο προς τα πάνω μέσα σε μια συσκευή· σημαίνει ότι το ελάχιστο που περιγράφεται βρίσκεται κατά μήκος της κατεύθυνσης +z της δομής ζωνών του κρυστάλλου. Η κίνηση των ηλεκτρονίων γύρω από αυτό το ελάχιστο εξακολουθεί να έχει τρεις κατευθυντικές συνιστώσες, με διαφορετικές αποτελεσματικές μάζες.

Εγκάρσια και διαμήκης αποτελεσματική μάζα.

Κοντά στο ελάχιστο μιας δεδομένης κοιλάδας, η ενέργεια του ηλεκτρονίου μπορεί να αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας μια ανισότροπη παραβολική προσέγγιση. Για μια κοιλάδα της οποίας ο άξονας είναι κατά μήκος του άξονα z, μπορούμε να γράψουμε:

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

Εδώ, το \(\mathbf{q}\) μετράει τη διανυσματική κυματική συνιστώσα σε σχέση με το κέντρο της συγκεκριμένης κοιλάδας, και όχι σε σχέση με το σημείο Γ. Το σύμβολο \(E_{c,\Delta}\) αντιπροσωπεύει την ενέργεια στο ελάχιστο της κοιλάδας. Το πυρίτιο έχει δύο χαρακτηριστικές μάζες:

• Εγκάρσια μάζα, \(m_l\): η αποτελεσματική μάζα κατά μήκος του άξονα της κοιλάδας, περίπου \(0.916m_0\).
• Εγκάρσια μάζα, \(m_t\): η αποτελεσματική μάζα σε οποιαδήποτε κάθετη διεύθυνση, κατά προσέγγιση \(0.190m_0\).

Η διαμήκης μάζα είναι σημαντικά μεγαλύτερη από την εγκάρσια μάζα. Ως αποτέλεσμα, η ενέργεια αυξάνεται με διαφορετικούς ρυθμούς ανάλογα με την κατεύθυνση της κίνησης. Η ίδια έκφραση ισχύει και για μια κοιλάδα που είναι προσανατολισμένη στον άξονα x ή y, αφού αποδοθεί η διαμήκης μάζα στον κατάλληλο άξονα.

Αυτή η διαφορά είναι που κάνει τις κβαντικές δεξαμενές πυριτίου ενδιαφέρουσες: η αποτελεσματική μάζα που σχετίζεται με τον περιορισμό εξαρτάται από την κοιλάδα στην οποία εξετάζουμε.

Τι συμβαίνει όταν δημιουργούμε μια κβαντική δεξαμενή πυριτίου;

Ας εξετάσουμε ένα στρώμα πυριτίου που περιβάλλεται από κατάλληλα εμπόδια, όπως μια ετεροδομή Si/SiGe. Θα θεωρήσουμε ότι το λεπτό στρώμα έχει κατεύθυνση ανάπτυξης κατά μήκος του άξονα z, ενώ τα ημιαγωγικά στρώματα εκτείνονται κατά μήκος των αξόνων x και y. Όπως και στην προηγούμενη μελέτη μας... εισαγωγή στις κβαντικές πηγάδες, η κίνηση εντός της στρώσης γίνεται κβαντισμένη, ενώ η κίνηση παράλληλη προς τη στρώση παραμένει ελεύθερη. Όμως, πλέον, οι έξι κοιλάδες δεν έχουν όλες την ίδια μάζα στην περιορισμένη κατεύθυνση.

Οι δύο κοιλάδες, των οποίων οι άξονες δείχνουν κατά μήκος των +z και -z, έχουν μεγάλη μάζα κατά μήκος του άξονά τους. \(m_l\) στην κατεύθυνση της περιορισμένης διάστασης. Οι υπόλοιπες τέσσερις κοιλάδες, οι οποίες εκτείνονται κατά μήκος των ±x και ±y, έχουν μικρότερη εγκάρσια μάζα. \(m_t\) προς αυτή την κατεύθυνση. Για την ανάπτυξη με προσανατολισμό [001], αυτές οι δύο ομάδες ονομάζονται:

• Δ₂: οι δύο κοιλάδες που είναι ευθυγραμμισμένες με την κατεύθυνση ανάπτυξης (+z και −z).
• Δ₄: οι τέσσερις κοιλάδες των αξόνων των οποίων είναι παράλληλοι προς τη στρώση (±x και ±y).

Γιατί έχει σημασία αυτή η διαφορά; Θυμηθείτε το αποτέλεσμα για την ελάχιστη ενέργεια μιας άπειρης κβαντικής δεξαμενής:

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

Εδώ \(m_z\) είναι η αποτελεσματική μάζα σε όλη την περιοχή του κβαντικού πηγαδιού και \(L\) είναι το πλάτος του πηγαδιού. Η εξίσωση μας λέει ότι ένα μεγαλύτερη μάζα περιορισμού οδηγεί σε μικρότερη ενέργεια περιορισμού.Υπό την προϋπόθεση ότι όλα τα άλλα παραμένουν σταθερά, οι καταστάσεις Δ₂ έχουν χαμηλότερες ενέργειες περιορισμού σε σύγκριση με τις καταστάσεις Δ₄ σε μια κβαντική φρεάτιδα [001]. Ο περιορισμός από μόνος του μπορεί να διαχωρίσει τα ελάχιστα ενεργειακά επίπεδα των υποζωνών, ακόμη και πριν εισαχθεί η τάση.

Προσέξτε ότι δεν λέμε ότι μια κοιλάδα είναι είτε εντελώς περιορισμένη είτε εντελώς ελεύθερη. Και οι έξι κοιλάδες παρουσιάζουν περιορισμό κατά μήκος του άξονα z· απλώς παρουσιάζουν διαφορετικές αποτελεσματικές μάζες. Οι διασπορές ενέργειάς τους παράλληλα προς τα στρώματα είναι επίσης διαφορετικές, επειδή κάθε κοιλάδα έχει τη δική της κατανομή διαμήκους και εγκάρσιας μάζας.

Πώς επηρεάζει η παραμόρφωση τις ενεργειακές τιμές της κοιλάδας;

Υπάρχει ένας ακόμη σημαντικός τρόπος για να ελέγχονται αυτές οι κοιλάδες. Όταν μια λεπτή στρώση πυριτίου αναπτύσσεται πάνω σε ένα υλικό με διαφορετική σταθερά της κρυσταλλικής δομής, η κρυσταλλική του δομή μπορεί να τεντωθεί ή να συμπιεστεί. Αυτό ονομάζεται τάση. Επειδή η τάση αλλάζει το κρυσταλλικό περιβάλλον, μετατοπίζει τα ελάχιστα της ζώνης αγωγιμότητας. Η μετατόπιση δεν χρειάζεται να είναι η ίδια για κάθε κοιλάδα.

Στο μοντέλο της κοιλάδας Δ του πυριτίου, η μετατόπιση της ενέργειας εκφράζεται ως εξής:

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

Αν και η σημειογραφία φαίνεται περίπλοκη, αυτή η εξίσωση περιέχει μόνο δύο φυσικά φαινόμενα. Ο τανυστής παραμόρφωσης \(\varepsilon\) περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο παραμορφώνεται ο κρύσταλλος και το ίχνος του είναι το άθροισμα των τριών κανονικών συνιστωσών παραμόρφωσης:

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\), η δυναμική παραμόρφωσης λόγω διαστολής: πολλαπλασιάζει τη συνολική παραμόρφωση που σχετίζεται με τον όγκο και μετατοπίζει και τις έξι κοιλάδες κατά την ίδια ποσότητα.
• \(\Xi_u\), η μονοαξονική παραμορφωτική δυναμική: πολλαπλασιάζει την παραμόρφωση κατά μήκος του άξονα κάθε κοιλάδας, επιτρέποντας σε διαφορετικούς προσανατολισμούς κοιλάδων να μετατοπιστούν κατά διαφορετικά ποσά.

Στο δεύτερο στάδιο, ο δείκτης \(i\) προσδιορίζει τον άξονα της κοιλάδας: μια κοιλάδα με κατεύθυνση στον άξονα x χρησιμοποιεί το \(\varepsilon_{xx}\), μια κοιλάδα με κατεύθυνση στον άξονα y χρησιμοποιεί το \(\varepsilon_{yy}\) και μια κοιλάδα με κατεύθυνση στον άξονα z χρησιμοποιεί το \(\varepsilon_{zz}\). Οι θετικές και αρνητικές κοιλάδες στον ίδιο άξονα λαμβάνουν την ίδια μετατόπιση σε αυτό το μοντέλο.

Γιατί παρατηρούμε τις διαχωριστικές μεταπτώσεις Δ₂ και Δ₄;

Το πιο συνηθισμένο παράδειγμα είναι ένα στρώμα [001] πυριτίου υπό διaxial τάση. Η τάση είναι η ίδια και στις δύο κατευθύνσεις παράλληλες προς τα στρώματα, επομένως \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\). Η τάση κάθετη προς αυτά, \(\varepsilon_{zz}\), είναι γενικά διαφορετική επειδή ο κρύσταλλος χαλαρώνει ελαστικά προς αυτή την κατεύθυνση.

Ως εκ τούτου, η εξίσωση παραμόρφωσής μας παράγει μία μετατόπιση για τις δύο κοιλάδες Δ₂ και μία άλλη για τις τέσσερις κοιλάδες Δ₄:

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

Η αφαίρεση αυτών των δύο εκφράσεων καθιστά σαφέστερο τον λόγο για τον διαχωρισμό: η κοινή συνεισφορά λόγω διαστολής μηδενίζεται, αφήνοντας πίσω του το εξής:

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

Στην τυπική περίπτωση εφελκυστικής διδιάστατης παραμόρφωσης στο πυρίτιο, η κάθετη παραμόρφωση είναι συμπιεστική. Με τη συμβατική θετική τιμή του \(\Xi_u\), οι κοιλάδες Δ₂ μετατοπίζονται προς τα κάτω σε σχέση με τις κοιλάδες Δ₄, όπως απεικονίζεται στο ??. Αυτό αλλάζει τον τρόπο με τον οποίο κατανέμονται τα ηλεκτρόνια μεταξύ των διαθέσιμων κοιλάδων.

Μπορούμε πλέον να διαπιστώσουμε ότι μια κβαντική δεξαμενή πυριτίου επηρεάζεται από δύο διακριτούς μηχανισμούς: την ενέργεια περιορισμού που εξαρτάται από τον προσανατολισμό, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, και τη μετατόπιση που προκαλείται από την τάση και εξαρτάται επίσης από τον προσανατολισμό. Και οι δύο συμβάλλουν στις τελικές θέσεις των υποζωνών Δ₂ και Δ₄.

Πώς υπολογίζει το OghmaNano τις κβαντικές δεξαμενές πυριτίου;

Η περιγραφή των έξι κοιλάδων μπορεί αρχικά να φαίνεται σαν ένα σύνθετο πρόβλημα πολλαπλών ζωνών, αλλά κάθε κοιλάδα μπορεί να αντιμετωπιστεί χρησιμοποιώντας την ίδια ιδέα της κλιμακωτής αποτελεσματικής μάζας που εισήχθη στη σελίδα μας παραβολική ζώνη. Η κύρια διαφορά είναι ότι κάθε κοιλάδα έχει διαφορετική κατευθυντική μάζα και ενδεχομένως διαφορετική μετατοπισμένη από την τάση άκρη ζώνης.

Για μια δεδομένη κοιλάδα, το OghmaNano επιλύει την μονοδιάστατη εξίσωση της συνάρτησης περιβάλλουσας σε όλη την κβαντική περιοχή:

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

Η αποτελεσματική μάζα \(m_z(z)\) επιλέγεται ανάλογα με τον προσανατολισμό της κοιλάδας και το τοπικό ημιαγωγικό υλικό, ενώ η \(V_{\Delta}(z)\) περιλαμβάνει το σχετικό προφίλ της άκρης της ζώνης και τη μετατόπιση λόγω τάσης. Στη συνέχεια, προστίθεται η κίνηση στο επίπεδο με τις κατάλληλες μάζες στις διευθύνσεις x και y:

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

Σε μια [001] δομή, οι κοιλάδες +z και −z έχουν την ίδια αντιστοίχιση μάζας σε αυτή την ανεξάρτητη προσέγγιση κοιλάδων, και παρομοίως, τα ζεύγη ±x και ±y μπορούν να ομαδοποιηθούν κατά προσανατολισμό. Ως εκ τούτου, ο υπολογισμός παράγει τις ενέργειες περιορισμού και τις διασπορές στο επίπεδο που σχετίζονται με τις έξι κοιλάδες πυριτίου, χωρίς να απαιτείται ένας ενιαίος, μεγάλος, συζευγμένος Χαμιλτονιανός. Ένα πλήρες παράδειγμα Si/SiGe που χρησιμοποιεί αυτό το μοντέλο δίνεται στο σεμινάριο κβαντικής πηγάδας Δ-κοιλάδας πυριτίου.

Ωστόσο, υπάρχει ένας σημαντικός περιορισμός. Σε αυτό το μοντέλο, οι δύο αντίθετες κοιλάδες στον ίδιο άξονα αντιμετωπίζονται ως ισοδύναμες, ανεξάρτητες καταστάσεις. Οποιαδήποτε επιπλέον διάσπαση προκαλείται από ατομικά οξείες διεπαφές που συνδέουν τις κοιλάδες +z και −z και δεν περιγράφεται από την απλή εξίσωση μάζας και τάσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Αυτό απαιτεί μια ρητή αντιμετώπιση της σύνδεσης μεταξύ των κοιλάδων.

Γιατί είναι χρήσιμη η τεχνική της διαίρεσης της κοιλάδας;

Η μετατόπιση των ομάδων Δ₂ και Δ₄ σε σχέση μεταξύ τους αλλάζει τις ηλεκτρονικές καταστάσεις που καταλαμβάνονται σε μια δεδομένη θερμοκρασία και πυκνότητα φορέων. Επειδή οι ομάδες κοιλάδων έχουν διαφορετικές μάζες μεταφοράς, η αλλαγή των σχετικών πληθυσμών τους μπορεί να επηρεάσει τη μεταφορά παράλληλα με τα στρώματα του ημιαγωγού. Αυτό είναι μία από τις σημαντικές φυσικές ιδέες που κρύβονται πίσω από τις στρεβλωμένες δομές πυριτίου και τις ετεροδομές Si/SiGe.

Το πυρίτιο αποτελεί επίσης ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα που εξηγεί μια ευρύτερη αρχή στη μοντελοποίηση κβαντικών φρεάτων: η γνώση του πάχους και της μετατόπισης της ζώνης ενέργειας ενός στρώματος δεν είναι πάντα επαρκής. Πρέπει επίσης να γνωρίζουμε πού εμφανίζονται τα ελάχιστα της ζώνης στον αμοιβαίο χώρο, πώς η αποτελεσματική μάζα εξαρτάται από την κατεύθυνση και πώς αλλάζει ο κρύσταλλος υπό τάση.