Kwantowe studnie krzemowe i sześć dolin pasma przewodnictwa

Dlaczego krzem różni się od arsenku galu?

W samouczek dotyczący pasma parabolicznegoOpisaliśmy studnię kwantową, wykorzystując minimalną wartość pasma przewodnictwa i pojedynczą efektywną masę. Stanowi to użyteczny punkt wyjścia dla materiałów o bezpośredniej przerwie energetycznej, takich jak GaAs, których najniższy stan przewodnictwa znajduje się w centrum strefy Brillouina (punkt Gamma). Krzem wymaga dodatkowego podejścia: jego najniższe stany przewodnictwa znajdują się daleko od Gamma.

Zamiast posiadać tylko jedno minimum w paśmie przewodnictwa, krzem ma sześć równoważnych minimów, które tradycyjnie określa się mianem „dolin Delta (Δ)”. Jak pokazano na ilustracji ??, doliny te znajdują się wzdłuż dodatnich i ujemnych kierunków trzech osi kubicznych: +x, −x, +y, −y, +z i −z. Każda dolina to obszar w strukturze pasmowej, w którym elektrony mogą zajmować stany w pobliżu lokalnego minimum energii.

W idealnej, nieodkształconej monokrystalicznej próbce krzemu, symetria sprawia, że wszystkie sześć minimów mają taką samą energię. Jednak gdy krzem jest formowany w strukturę przypominającą studnię kwantową, jego ograniczona grubość wyróżnia jedną konkretną kierunek. W rezultacie niektóre minima reagują inaczej na ograniczenie przestrzenne, mimo że w materiale wyjściowym należały do tej samej grupy energetycznej.

Co właściwie symbolizuje dolina?

Dolina nie jest fizycznym zagłębieniem w krzemie. Jest to minimum na wykresie przedstawiającym energię elektronów w funkcji wektora fal krystalicznych. Jeśli przyjrzymy się strukturze pasmowej w pobliżu takiego minimum, zauważymy, że jego energia ma ponownie w przybliżeniu kształt paraboli. Jednak w przeciwieństwie do pojedynczej, izotropowej paraboli, którą wykorzystaliśmy w naszym wstępnym modelu, krzywizna doliny w krzemie zależy od kierunku, w którym poruszamy się w przestrzeni odwrotnej.

Możemy wyobrazić sobie powierzchnię o stałej energii wokół każdego minimum jako wydłużoną elipsoidę, której schematyczny rysunek przedstawiono powyżej. Dłuższa oś tej elipsoidy wyznacza oś doliny. Odpowiadająca jej efektywna masa nazywana jest masą podłużną, natomiast masy w dwóch prostopadłych kierunkach nazywane są masami poprzecznymi.

Ważne jest, aby odróżnić położenie doliny w przestrzeni odwrotnej od trajektorii elektronu w przestrzeni rzeczywistej. Dolina o współrzędnej +z nie oznacza, że elektrony mogą poruszać się tylko w górę wewnątrz urządzenia; oznacza to, że minimum, o którym mowa, znajduje się wzdłuż osi +z struktury pasmowej kryształu. Ruch elektronów wokół tego minimum nadal ma trzy składowe kierunkowe, przy czym każda z nich ma inną efektywną masę.

Efektywna masa wzdłużna i poprzeczna

W pobliżu danego minimum doliny energetycznej, energię elektronu można przybliżyć za pomocą anizotropowej aproksymacji parabolicznej. Dla doliny, której oś jest skierowana wzdłuż osi z, możemy zapisać:

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

W tym przypadku \(\mathbf{q}\) oznacza wektor falowy w odniesieniu do środka danego dolinu, a nie w odniesieniu do punktu Gamma. Symbol \(E_{c,\Delta}\) oznacza energię w punkcie minimalnym doliny. Krzem charakteryzuje się dwiema charakterystycznymi masami:

• Masa podłużna, \(m_l\): efektywna masa wzdłuż osi doliny, w przybliżeniu \(0.916m_0\).
• Masa poprzeczna, \(m_t\): efektywna masa w dowolnym kierunku prostopadłym, w przybliżeniu \(0.190m_0\).

Masa podłużna jest znacznie większa niż masa poprzeczna. W konsekwencji energia zmienia się w różnym tempie, w zależności od kierunku ruchu. Tę samą zależność można zastosować do doliny zorientowanej wzdłuż osi x lub y, przypisując jej odpowiednią masę podłużną.

To właśnie ta różnica sprawia, że krzemowe studnie kwantowe są interesujące: efektywna masa, która ma znaczenie dla zjawiska ograniczenia, zależy od tego, którą dolinę energetyczną rozpatrujemy.

Co się dzieje, gdy tworzymy krzemową studnię kwantową?

Wyobraźmy sobie warstwę krzemu umieszczoną pomiędzy odpowiednimi barierami, na przykład w strukturze heterospójeniowej Si/SiGe. Przyjmiemy, że jej cienka warstwa rozciąga się wzdłuż osi z, a warstwy półprzewodnikowe rozciągają się w płaszczyźnie x–y. Podobnie jak w naszym wcześniejszym wprowadzeniu do studni kwantowej, ruch w poprzek warstwy staje się skwantowany, natomiast ruch równoległy do warstwy pozostaje swobodny. Jednak teraz sześć dolin nie ma już tej samej masy w kierunku ograniczenia.

Dwa doliny, których osie są skierowane wzdłuż osi +z i -z, charakteryzują się znaczną masą rozłożoną wzdłuż ich długości. \(m_l\) w kierunku ograniczenia. Pozostałe cztery doliny, rozciągające się wzdłuż osi ±x i ±y, charakteryzują się mniejszą masą poprzeczną. \(m_t\) w tym kierunku. W przypadku wzrostu w kierunku [001] te dwie grupy nazywa się:

• Δ₂: dwie doliny, których osie są zbieżne z kierunkiem wzrostu (+z i −z).
• Δ₄: cztery doliny, których osie są równoległe do warstwy (±x i ±y).

Dlaczego ta różnica ma znaczenie? Przypomnijmy sobie wynik dla najniższego stanu energetycznego nieskończonego studni potencjału:

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

Tutaj \(m_z\) czy efektywna masa jest stała w całym obszarze studni i \(L\) jest szerokością studni. Równanie pokazuje, że większa masa związana z oddziaływaniem powoduje mniejszą energię oddziaływania.Przy założeniu, że wszystkie inne parametry są takie same, stany Δ₂ charakteryzują się niższymi energiami ograniczenia niż stany Δ₄ w kwantowej studni o orientacji [001]. Sam efekt ograniczenia może spowodować rozdzielenie minimów ich podpasma, jeszcze zanim wprowadzimy naprężenia.

Zwróćmy uwagę, że nie twierdzimy, iż dolina jest albo całkowicie zamknięta, albo całkowicie swobodna. Wszystkie sześć dolin doświadczają ograniczenia wzdłuż osi z; po prostu doświadczają go z różnymi efektywnymi masami. Ich rozkłady energii równoległe do warstw również się różnią, ponieważ każda dolina ma przypisaną własną wartość masy podłużnej i poprzecznej.

W jaki sposób odkształcenie wpływa na energię w dolinie?

Istnieje jeszcze jeden ważny sposób na kontrolowanie tych dolin energetycznych. Gdy na materiale o innej stałej sieci krystalicznej osadza się cienka warstwa krzemu, jego sieć krystaliczna może ulec rozciągnięciu lub ściskaniu. To zjawisko nazywa się naprężeniem. Ponieważ naprężenie zmienia otoczenie krystaliczne, przesuwa ono minima pasma przewodnictwa. To przesunięcie nie musi być takie samo dla każdej doliny.

W modelu doliny Δ w krzemie, przesunięcie energii zapisuje się w następujący sposób:

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

Choć zapis wygląda na skomplikowany, to równanie to uwzględnia jedynie dwa zjawiska fizyczne. Tensor odkształceń \(\varepsilon\) opisuje sposób odkształcania się kryształu, a jego ślad stanowi sumę trzech składowych odkształcenia normalnego:

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\), potencjał odkształceń objętościowych: mnoży całkowitą odkształcenie związane z objętością i przesuwa wszystkie sześć dolin o tę samą wartość.
• \(\Xi_u\), potencjał deformacji jednoosiowej: wpływa na odkształcenie wzdłuż osi każdego z dolin, umożliwiając przemieszczenie dolin o różnej orientacji o różne wartości.

W drugim etapie indeks \(i\) określa oś doliny: dolina zorientowana wzdłuż osi x wykorzystuje \(\varepsilon_{xx}\), dolina zorientowana wzdłuż osi y wykorzystuje \(\varepsilon_{yy}\), a dolina zorientowana wzdłuż osi z wykorzystuje \(\varepsilon_{zz}\). Doliny oznaczone znakami + i – na tej samej osi podlegają w tym modelu identycznemu przesunięciu.

Dlaczego obserwujemy rozszczepienie Δ₂ i Δ₄?

Najczęstszym przykładem jest [001] warstwa krzemu poddana dwuosiowemu naprężeniu. Naprężenie jest takie samo w obu kierunkach równoległych do warstw, czyli \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\). Naprężenie prostopadłe do nich, \(\varepsilon_{zz}\), jest zazwyczaj inne, ponieważ w tym kierunku kryształ ulega elastycznej relaksacji.

W związku z tym nasze równanie opisujące odkształcenia generuje jedną zmianę dla dwóch dolin Δ₂ i inną dla czterech dolin Δ₄:

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

Odejmowanie tych dwóch wyrażeń pozwala wyraźnie zobaczyć przyczynę rozszczepienia: wspólny składnik związany z rozszerzalnością się znosi, pozostawiając

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

W typowym przypadku rozciągającego naprężenia w płaszczyźnie w krzemie, naprężenie w kierunku prostopadłym ma charakter ściskający. Przy standardowej, dodatniej wartości \(\Xi_u\), minima Δ₂ przesuwają się w dół w stosunku do minima Δ₄, co ilustruje rysunek ??. Powoduje to zmianę w sposobie rozkładu elektronów między dostępnymi minimami.

Obecnie widzimy, że na kwantową studnię krzemową wpływają dwa odrębne mechanizmy: zależna od orientacji energia ograniczenia, o której wspomniano wcześniej, oraz zależny od orientacji przesunięcie spowodowane naprężeniami. Oba te mechanizmy wpływają na ostateczne położenie podpasm Δ₂ i Δ₄.

W jaki sposób OghmaNano oblicza parametry kwantowych studni krzemowych?

Opis sześciu dolin może początkowo sugerować złożony problem związany z wieloma pasmami energetycznymi, ale każdą dolinę można opisać, stosując tę samą zasadę efektywnej masy, którą wprowadziliśmy na naszej stronie poświęconej parabolicznym pasmom. Kluczową różnicą jest to, że każda dolina ma inną masę zależną od kierunku i potencjalnie inną krawędź pasma, na którą wpływa naprężenie.

Dla danej doliny OghmaNano rozwiązuje jednowymiarowe równanie funkcji obwiedni w obszarze studni kwantowej:

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

Efektywna masa \(m_z(z)\) jest dobierana w zależności od orientacji doliny energetycznej i właściwości lokalnego materiału półprzewodnikowego, natomiast \(V_{\Delta}(z)\) uwzględnia odpowiedni profil krawędzi pasma energetycznego i zmianę spowodowaną naprężeniami. Następnie dodaje się ruch w płaszczyźnie z uwzględnieniem odpowiednich mas w kierunkach x i y:

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

W strukturze [001] doliny o współrzędnej +z i -z mają przypisaną tę samą masę w ramach tego przybliżenia niezależnych dolin, a podobnie pary o współrzędnych ±x i ±y można pogrupować ze względu na orientację. W związku z tym obliczenia pozwalają określić energie ograniczenia i dyspersje w płaszczyźnie, które dotyczą sześciu dolin krzemu, bez konieczności stosowania pojedynczego, dużego, sprzężonego hamiltonianu. Pełny przykład zastosowania modelu dla Si/SiGe znajduje się w samouczek dotyczący kwantowej studni Δ-dolin krzemu.

Istnieje jednak istotne ograniczenie. W tym modelu dwa przeciwległe obszary dolinowe, znajdujące się na tej samej osi, traktowane są jako równoważne, niezależne stany. Jakiekolwiek dodatkowe rozszczepienie spowodowane przez atomowo ostre granice, łączące obszary dolinowe +z i −z, nie jest opisywane przez proste równanie uwzględniające masę i odkształcenie, przedstawione powyżej. Wymaga to wyraźnego uwzględnienia oddziaływania między obszarami dolinowymi.

Dlaczego warto stosować technikę dzielenia doliny (valley splitting)?

Przesunięcie grup Δ₂ i Δ₄ względem siebie powoduje zmianę, które stany elektronowe są zajęte w danej temperaturze i przy określonym stężeniu nośników. Ponieważ grupy dolinowe mają różne masy transportowe, zmiana ich względnej liczebności może wpłynąć na transport równoległy do warstw półprzewodnikowych. Jest to jedna z ważnych zasad fizycznych, które leżą u podstaw struktur krzemowych poddanych naprężeniom oraz heterostruktur Si/SiGe.

Krzem jest również dobrym przykładem, który ilustruje szersze zagadnienie związane z modelowaniem struktur kwantowych: sama znajomość grubości warstwy i przesunięcia pasm nie zawsze wystarcza. Musimy również znać położenie minimów pasm w przestrzeni falowej, sposób, w jaki efektywna masa zależy od kierunku, oraz to, jak zmienia się struktura kryształu pod wpływem naprężeń.