Kwantowy układ półprzewodnikowy na bazie krzemu/SiGe: instruktaż dotyczący sześciu dolin Δ i ruchliwości elektronów.

1. Wprowadzenie

W poprzednich przykładach dotyczących struktur kwantowych wykorzystaliśmy półprzewodniki III–V o bezpośredniej przerwie energetycznej do obliczenia stanów przewodnictwa i walencyjności oraz przejść optycznych. Krzem wymaga jednak zupełnie innego podejścia. Minimum pasma przewodnictwa w krzemie nie znajduje się w centrum strefy Brillouina (Γ). Zamiast tego, w krzemie występuje sześć równoważnych minimów pasma przewodnictwa, czyli „dolin Δ”, ułożonych w parach po przeciwnych stronach wzdłuż trzech osi kryształu. Ich różne efektywne masy stają się szczególnie istotne, gdy nośniki ładunku są ograniczone do cienkiej warstwy.

W tym przykładzie zasymulujemy 10-nanometrową warstwę kwantową z krzemu umieszczoną pomiędzy dwiema 20-nanometrowymi warstwami SiGe. Zbadamy rozkład podpasma elektronowego, a następnie przejdziemy do dalszych obliczeń, wykraczających poza zakres materiałów dydaktycznych dotyczących optyki: od rozpraszania na fononach akustycznych po relaksację transportową, gęstość elektronów w warstwie, poziom Fermiego i ruchliwość. Skupimy się na transporcie elektronów, a nie na bezpośrednim wzmocnieniu optycznym; krzem jest półprzewodnikiem o pośredniej przerwie energetycznej.

2. Otwieranie przykładowego pliku „silicon Δ-valley”.

W programie OghmaNano wybierz Plik → Nowa symulacja. Kliknij dwukrotnie kategorię „Przykłady GaAs” w przeglądarce szablonów (??). W tej kolekcji znajdują się również inne modele kwantowych studni półprzewodnikowych. W następnym oknie otwórz model „Naprężona studnia kwantowa Si/SiGe Delta-Valley” (??). Zacznij od dostarczonej, niezmienionej konfiguracji, aby móc porównać wyniki pierwszej symulacji z wykresami przedstawionymi poniżej.

3. Analiza struktury warstwy Si/SiGe.

Kliknij opcję „Edytor warstw” w panelu struktury urządzenia, aby przejrzeć przykład (??). Kierunek ograniczenia jest określony przez trzy warstwy (w tym przypadku przyjmujemy oś z); elektrony mogą nadal poruszać się równolegle do obszaru potencjału w płaszczyźnie x–y.

Widoczne w edytorze wpisy dotyczące właściwości optycznych materiałów nie powinny być interpretowane jako pełna specyfikacja przesunięć pasm elektronowych ani zawartości germanu. Wartości te zależą od skonfigurowanych parametrów materiału. Na razie pozostawmy dostarczony przykład bez zmian.

Można sprawdzić dane dotyczące materiału, otwierając okno „Parametry elektryczne” i wybierając zakładkę „Si (QW)” (??). Biblioteka materiałów silikonowych zawiera parametry półprzewodników zależne od temperatury. W przypadku obliczeń predykcyjnych dla Si/SiGe warto sprawdzić efektywną masę, przesunięcia pasm, skład Ge oraz konfigurację naprężeń, zamiast opierać się wyłącznie na wartości przerwy energetycznej dla krzemu.

4. Dlaczego krzem wymaga zastosowania modelu z sześcioma dolinami?

Wyobraźmy sobie elektron poruszający się w płaszczyźnie potencjału studni. W standardowym, izotropowym modelu parabolicznym jego energia zależy jedynie od wartości wektora falowego. Krzem różni się od tego: każda dolina Δ przypomina elipsoidę, w której podłużna masa wzdłuż osi jest większa, a poprzeczna masa, prostopadła do tej osi, jest mniejsza. Doliny tworzą trzy pary o przeciwnych znakach: ±x, ±y i ±z. Dla każdej pary stosuje się masę odpowiednią do jej orientacji względem kierunku wzrostu studni kwantowej.

W przypadku danej doliny energetycznej problem związany z efektywnym ograniczeniem masy można przedstawić w sposób schematyczny jako:

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

W tym miejscu \(V_{\Delta}\) przedstawiono potencjał ograniczenia pasma przewodnictwa dla wybranego obszaru, uwzględniając przesunięcie spowodowane naprężeniami. Efektywne masy mogą się różnić w zależności od warstwy. Ważną cechą jest to, że masa wzdłuż osi z kontroluje ograniczenie, natomiast dwie masy w płaszczyźnie kontrolują nachylenie i krzywiznę rozkładu podpasma.

W przypadku studni o orientacji (001), para ±z (często określana jako Δ2) ma swoją masę podłużną wzdłuż kierunku ograniczenia. Natomiast cztery doliny ±x/±y (Δ4) mają masę poprzeczną wzdłuż osi z. Nawet bez naprężeń, ich energie ograniczenia nie muszą być identyczne. Naprężenia mogą dodatkowo rozdzielić krawędzie tych dolin, w przybliżeniu zgodnie z następującym wzorem:

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

Pierwszy człon przesuwa wszystkie kierunki dolin zgodnie z ogólnym rozszerzeniem, natomiast drugi rozróżnia składową odkształcenia wzdłuż osi każdej doliny. Ta różnica energii Δ2/Δ4 nie jest taka sama, jak niewielkie rozszczepienie indukowane przez powierzchnię między dwiema przeciwległymi dolinami w obrębie jednej pary; to drugie wymagałoby dodatkowych mechanizmów sprzężenia między dolinami i nie powinno być wnioskowane jedynie na podstawie tego wykresu. Więcej informacji można znaleźć na stronie teoria dolin Δ dla krzemu.

5. Uruchom symulację.

Wróć do zakładki „Plik” i kliknij „Uruchom symulację”. Model rozwiązuje równania dotyczące przewodzenia w ograniczonym obszarze dla określonego zestawu wektorów fal w płaszczyźnie, a następnie analizuje wyniki dotyczące rozpraszania i transportu elektronów. W ?? element osiągnął etap rozpraszania akustycznego. Procent wyświetlany podczas trwania symulacji wskazuje postęp, a nie ostateczny wynik rozpraszania.

Poczekaj, aż proces się zakończy, a następnie użyj zakładki „Wyniki”, aby otworzyć wykresy. W tym samouczku najpierw przyjrzymy się rozproszeniu pasm, a następnie indywidualnej zależności współczynnika rozpraszania od wektora falowego oraz zależnościom parametrów transportu od gęstości.

6. Analiza rozkładu energii w paśmie przewodnictwa.

Otwórz wyjście pasma przewodnictwa, aby uzyskać ??. Przy zerowej wartości wektora fal w płaszczyźnie, każda gałąź zaczyna się od określonej energii ograniczenia. Wraz ze wzrostem \(k_{\parallel}\), gałęzie wznoszą się, ale nie wszystkie z tą samą prędkością. Niektóre są znacznie bardziej płaskie, ponieważ ich efektywna masa w płaszczyźnie jest większa w danym kierunku. Bliskie siebie gałęzie mogą się zbliżać lub przecinać, gdy pochodzą z oddzielnie rozpatrywanych orientacji doliny; nie należy automatycznie interpretować każdej bliskości jako wielopasmowego przecięcia.

W obszarze o jednorodnej masie, pojedyncza, wyraźnie zarysowana dolina charakteryzuje się typowym rozproszeniem w płaszczyźnie.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

Dlatego warto analizować kierunek wektora falowego w płaszczyźnie, zamiast interpretować zbiór kolorowych krzywych jako kopie pojedynczej izotropowej paraboli. Przedstawiona na wykresie referencyjna wartość energii jest taka sama, jak w przykładzie; różnice między energiami poszczególnych podpasm są zazwyczaj bardziej informatywne niż ich bezwzględna wartość.

7. Od rozpraszania na fononach akustycznych do relaksacji pędu.

Diagram pasm energetycznych pokazuje, w jakich stanach mogą znajdować się elektrony. Sam w sobie nie informuje jednak, jak łatwo elektrony mogą się poruszać wzdłuż obszaru potencjału. Aby obliczyć ruchliwość, musimy również ustalić, jak często fonony rozpraszają elektrony, powodując zmianę ich stanu, oraz – co kluczowe – jak skutecznie te zdarzenia zmieniają kierunek ich ruchu.

Otwórz okno z danymi dotyczącymi rozpraszania w zakładce „Wyniki” (??). W przykładzie przedstawiono zarówno standardowe częstotliwości występowania zdarzeń fononowych, jak i częstotliwości rozpraszania uwzględniające transport. Różnica między nimi nie jest czysto kosmetyczna: zderzenie pod bardzo małym kątem zmienia stan elektronu, ale może mieć niewielki wpływ na zmianę jego wypadkowej pędu.

Punktem wyjścia dla opisu przejścia fononowego jest złota reguła Fermiego, przedstawiona w sposób schematyczny.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

gdzie element macierzy oddziaływania \(M_{fi}\) zawiera sprzężenie potencjału deformacji oraz nakładanie się początkowego i końcowego stanu elektronu w ograniczonej przestrzeni. Znak określa możliwość absorpcji lub emisji fononu w ogólnym przypadku. W przypadku obliczeń akustycznych przedstawionych tutaj stosuje się standardowe przybliżenie bliskie sprężystości, uwzględniające fonony termiczne. W obliczeniach stanu ograniczonego uwzględniono podłużną i poprzeczną polaryzację fal akustycznych oraz wektor falowy fononu w płaszczyźnie prostopadłej do ograniczonej przestrzeni.

Współczynnik transportu wprowadza dodatkowe ważenie zależne od kąta. W przypadku prostego modelu, w którym uwzględnia się kierunek pędu, jego rolę można streścić następująco:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

W tym sposobie opisu transportu tłumione jest rozpraszanie w kierunku do przodu (małe \(\theta_{if}\)), natomiast rozpraszanie wsteczne ma większy wpływ. Dlatego całkowity czas życia fononów podczas rozpraszania nie musi być identyczny z czasem życia podczas transportu. Przykładowy wykres szybkości transportu przedstawiono w ??: ogólnie rzecz biorąc, na przedstawionym zakresie wykres szybkości rośnie wraz z wektorem falowym. Jego dokładny kształt zależy od podpasm, dopuszczalnych stanów końcowych, parametrów materiału i nakładania się fononów.

Wybrane dane dotyczą doliny o orientacji x oraz jednej podstrefy; same w sobie nie stanowią one pełnego opisu ruchliwości elektronów w sześciu dolinach. Ponadto, występowanie wartości zerowej lub brak danych w punkcie dokładnie \(k=0\) w próbkowanych danych nie powinno być interpretowane jako dowód na to, że elektrony w tym miejscu nigdy nie ulegają rozpraszaniu.

8. Od poziomu Fermiego do ruchliwości.

Mobilność nie jest oceniana dla pojedynczego, dowolnie wybranego wektora falowego. Elektrony zajmują szereg dostępnych stanów, a zakres zajętych stanów zmienia się wraz ze zmianą gęstości nośników w warstwie. W związku z tym symulacja określa odpowiedni poziom Fermiego dla żądanej dwuwymiarowej gęstości i uśrednia odpowiedź transportową w odniesieniu do zajętych pasm i orientacji dolin.

Funkcja Fermiego-Diraca opisująca prawdopodobieństwo zajęcia stanu elektronowego o energii \(E\) wynosi:

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

Suma gęstości stanów dla wszystkich zajętych poziomów energetycznych, uwzględniająca wektory fal w płaszczyźnie i odpowiednie podpasma, daje gęstość powierzchniową \(n_{2D}\) w jednostkach m\(^{-2}\). Zwiększenie \(n_{2D}\) zazwyczaj wymaga podniesienia poziomu Fermiego elektronów, co widać bezpośrednio na pierwszym wykresie poniżej.

W ramach metody relaksacji czasu transportu przewodność wzdłuż wybranego kierunku w płaszczyźnie można wyrazić za pomocą prędkości pasm i czasu życia nośników:

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

W tym miejscu \(v_{n,v,x}\) przedstawiono prędkość grup elektronów wzdłuż osi x dla podpasma \(n\) rodziny dolin \(v\). Odpowiednie współczynniki wielokrotności dolin uwzględnia się podczas sumowania fizycznie równoważnych orientacji. Współczynnik \(-\partial f/\partial E\) przypisuje największą wagę stanom, które mogą reagować na słabe zewnętrzne pole, zamiast przypisywać równą wagę wszystkim zajętym stanom.

Obliczona ruchliwość maleje z około 0,57 do 0,49 m2 V−1 s−1 w zakresie gęstości przedstawionym na wykresie ??. Jednocześnie wzrasta efektywna szybkość rozpraszania podczas transportu, co ilustruje wykres ??. Jest to zgodne z zależnością od gęstości, która powoduje, że stany elektronowe o silniejszej relaksacji pędu mają większy wpływ w danej konfiguracji. Odpowiadający temu efektywny czas życia jest wielkością uwzględniającą transport, a jego odwrotność nie powinna być mylona z oddzielnie przedstawioną szybkością fononową dla pojedynczego stanu.

Ten przykład ilustruje przewidywaną przez skonfigurowany model rozpraszania mobilność; nie należy go automatycznie interpretować jako pełnego, eksperymentalnego pomiaru mobilności Si/SiGe, uwzględniającego wszystkie możliwe rodzaje zaburzeń, właściwości powierzchni, zanieczyszczeń i mechanizmy fononowe.

9. Wypróbuj to sam.

Gdy uda się uzyskać wyniki zgodne z podanymi danymi, wprowadzaj po jednej zmianie i ponownie uruchamiaj obliczenia. Poniższe eksperymenty pomagają powiązać dane wejściowe modelu z zasadami fizycznymi, na których się opiera:

Najważniejszym wnioskiem jest to, że ruchliwość elektronów w krzemie jest powiązana z szeregiem obliczeń: orientacja doliny energetycznej i naprężenia → ograniczone podpasma → dostępne przejścia fononowe → czas życia nośników ładunku → przewodność w stanach zajętych → ruchliwość. To jest główna różnica między tym przykładem a materiałami instruktażowymi dotyczącymi optycznych struktur kwantowych.