Οπτικές Μεταπτώσεις σε Κβαντικά Φρεάτια: Ενίσχυση και Αυθόρμητη Εκπομπή

Από τις Ηλεκτρονικές Καταστάσεις στο Φως

Στο προηγούμενο εκπαιδευτικό υλικό σχετικά με τις παραβολικές ζώνες κβαντικών φρεάτων, ξεκινήσαμε με τις λύσεις της εξίσωσης του Schrödinger για περιορισμένα συστήματα και δείξαμε πώς κάθε λύση μετατρέπεται σε μια ηλεκτρονική υποζώνη όταν λαμβάνεται υπόψη η κίνηση παράλληλη προς τις στρώσεις του ημιαγωγού. Υπολογίσαμε επίσης την ενέργεια των φωτονίων που απαιτείται για να συνδέσουμε μια ηλεκτρονική κατάσταση με μια κατάσταση οπής.

Το να γνωρίζουμε ποιες μεταπτώσεις είναι δυνατές είναι μόνο η αρχή. Για να υπολογίσουμε το φως που απορροφάται ή εκπέμπεται από μια κβαντική φρεάτιδα, πρέπει επίσης να εξετάσουμε πόσο πιθανή είναι κάθε μετάπτωση και πόσα ηλεκτρόνια και οπές είναι διαθέσιμα για να συμμετάσχουν. Εδώ μπαίνουν στον υπολογισμό ο χρυσός κανόνας του Φέρμι και τα οπτικά στοιχεία μήτρας.

Θα δημιουργήσουμε τον υπολογισμό βήμα προς βήμα: πρώτα θα εξετάσουμε μια μεμονωμένη μετάβαση, στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την πιθανότητά της, θα αθροίσουμε όλες τις υποζώνες των ηλεκτρονίων και των οπών και, τέλος, θα εισαγάγουμε τη διεύρυνση Lorentz για να λάβουμε ένα ομαλό οπτικό φάσμα.

Τρεις τρόποι με τους οποίους το φως αλληλεπιδρά με έναν ημιαγωγό.

Ας εξετάσουμε ένα ηλεκτρόνιο σε μια ενεργειακή κατάσταση της ζώνης αγωγιμότητας και μια διαθέσιμη ενεργειακή κατάσταση στη ζώνη σθένους. Υπάρχουν τρεις στενά συνδεδεμένες οπτικές διεργασίες:

• Απορρόφηση: ένα εισερχόμενο φωτόνιο διεγείρει ένα ηλεκτρόνιο από μια κατειλημμένη κατάσταση της ζώνης σθένους σε μια κενή κατάσταση της ζώνης αγωγιμότητας.
• Επαγόμενη εκπομπή: ένα εισερχόμενο φωτόνιο διεγείρει ένα ηλεκτρόνιο της ζώνης αγωγιμότητας ώστε να καταλάβει μια κενή θέση στη ζώνη σθένους (μια οπή), παράγοντας ένα επιπλέον φωτόνιο.
• Αυθόρμητη εκπομπή: ένα ηλεκτρόνιο συνδυάζεται με μια οπή και εκπέμπει ένα φωτόνιο, ακόμη και όταν δεν υπάρχει κάποιο εισερχόμενο φωτόνιο.

Και οι τρεις αυτές διαδικασίες εξαρτώνται από τη διαφορά ενέργειας μεταξύ της αρχικής και της τελικής ηλεκτρονικής κατάστασης, καθώς και από το πόσο ισχυρά το φως συνδέει αυτές τις καταστάσεις. Η ουσιαστική διαφορά τους έγκειται στην πληρότητα των καταστάσεων και στο αν ένα φωτόνιο πρέπει ήδη να υπάρχει.

Ξεκινήστε με μία μετάβαση ηλεκτρονίου-κενής θέσης.

Ας επιλέξουμε την υποζώνη των ηλεκτρονίων \(n\) και την υποζώνη των οπών \(m\). Για μια απλή παραβολική κβαντική δεξαμενή, μια μετάβαση μεταξύ καταστάσεων που έχουν τον ίδιο διανυσματικό κύμα στο επίπεδο έχει μια διαφορά ενέργειας.

\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]

όπου \(E_g\) είναι το ενεργειακό χάσμα του υλικού της περιοχής του κρυστάλλου, \(\varepsilon_{e,n}\) και \(\varepsilon_{h,m}\) είναι οι ενέργειες περιορισμού των ηλεκτρονίων και των οπών, και \(\mu\) είναι η μειωμένη αποτελεσματική μάζα στο επίπεδο:

\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]

Σε μια άμεση οπτική μετάβαση, η διανυσματική συνιστώσα του κρυστάλλου στο επίπεδο διατηρείται κατά προσέγγιση, επειδή ένα φωτόνιο μεταφέρει σχετικά μικρή ορμή. Ένα ηλεκτρόνιο και μια οπή συμβάλλουν, επομένως, σε μια κάθετη μετάβαση μεταξύ των δύο καμπυλών υποζωνών στο ??.

Εάν η ενέργεια του φωτονίου ταιριάζει με τη διαφορά ενέργειας μεταξύ των καταστάσεων, η μετάβαση είναι ενεργειακά εφικτή:

\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]

Ωστόσο, η αντιστοίχιση των ενεργειών δεν μας λέει πόσο συχνά συμβαίνει αυτή η μετάβαση. Για να το μάθουμε, πρέπει να υπολογίσουμε την αλληλεπίδραση μεταξύ του ηλεκτρονίου και του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

Ο Χρυσός Κανόνας του Φέρμι: Πόσο Πιθανή Είναι Μια Μετάβαση;

Ο χρυσός κανόνας του Φέρμι δίνει τον ρυθμό μετάβασης μεταξύ μιας αρχικής κβαντικής κατάστασης \(i\) και μιας τελικής κατάστασης \(f\) όταν μια σχετικά ασθενής αλληλεπίδραση τις συνδέει:

\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]

Αυτή η εξίσωση περιέχει δύο ιδιαίτερα σημαντικά στοιχεία:

• Το στοιχείο της μήτρας, \(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\), μετράει πόσο έντονα συνδέονται η αρχική και η τελική κατάσταση μέσω του οπτικού πεδίου. Το τετράγωνο του μέτρου του δίνει τον παράγοντα που ελέγχει την πιθανότητα μετάπτωσης.
• Η συνάρτηση δέλτα, \(\delta(E_f-E_i)\), επιβάλλει τη διατήρηση της ενέργειας. Όταν οι αρχικές και τελικές καταστάσεις περιλαμβάνουν φωτόνια, οι ενέργειες αυτών των φωτονίων συμπεριλαμβάνονται στις \(E_i\) και \(E_f\).

Ένας χρήσιμος τρόπος για να το σκεφτούμε είναι ότι πρέπει να ικανοποιούνται δύο προϋποθέσεις: η μετάβαση πρέπει να έχει τη σωστή ενέργεια και το φως πρέπει να είναι σε θέση να συνδέσει τις δύο ηλεκτρονικές καταστάσεις. Η πρώτη καθορίζεται από τη διαφορά μεταξύ των υποζωνών· η δεύτερη καθορίζεται από το στοιχείο της μήτρας.

Τι είναι ένα οπτικό στοιχείο μήτρας;

Όταν το φως αλληλεπιδρά με ένα ηλεκτρόνιο, το ηλεκτρικό του πεδίο μπορεί να προκαλέσει μεταπτώσεις μεταξύ κβαντικών καταστάσεων. Σε μια κοινή περιγραφή, η σχετική αλληλεπίδραση είναι ανάλογη με τον τελεστή ορμής του ηλεκτρονίου, ο οποίος συνδυάζεται με την πόλωση του οπτικού πεδίου. Το αντίστοιχο στοιχείο μήτρας ορμής έχει την εξής μορφή:

\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]

όπου \(\mathbf e\) είναι η πόλωση του φωτός και \(\Psi_{c,n}\) και \(\Psi_{v,m}\) αντιπροσωπεύουν τις ηλεκτρονικές καταστάσεις που σχετίζονται με τις ζώνες αγωγιμότητας και σθένους. Ένα μεγάλο μέτρο σημαίνει ότι το οπτικό πεδίο συνδέει ισχυρά τις καταστάσεις· ένα μηδενικό στοιχείο μήτρας σημαίνει ότι αυτή η μετάβαση είναι οπτικά απαγορευμένη στο πλαίσιο του χρησιμοποιούμενου μοντέλου.

Στην απλή προσέγγιση παραβολικής ζώνης, μπορούμε να διαχωρίσουμε τις ταχέως μεταβαλλόμενες συναρτήσεις Bloch σε ατομική κλίμακα από τις πιο αργά μεταβαλλόμενες συναρτήσεις περιβάλλουσας κυματοσυνάρτησης της κβαντικής περιοχής. Η οπτική σύζευξη περιέχει στη συνέχεια δύο παράγοντες:

\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]

Ο πρώτος παράγοντας, \(\mathbf p_{cv}\), περιγράφει τη οπτική σύζευξη μεταξύ των υποκείμενων ζωνών ημιαγωγών. Ο δεύτερος είναι η επικάλυψη των κυματοσυναρτήσεων, η οποία μας δείχνει πόσο καλά επικαλύπτονται οι κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων και των οπών σε όλη την κβαντική περιοχή.

Για παράδειγμα, δύο καταστάσεις που συγκεντρώνονται στην ίδια περιοχή του πηγαδιού μπορεί να έχουν μεγάλη επικάλυψη. Εάν ένα ηλεκτρικό πεδίο έλκει το ηλεκτρόνιο προς τη μία διεπιφάνεια και την οπή προς την άλλη, η επικάλυψη μπορεί να μειωθεί σημαντικά. Σημαντικό είναι ότι η σχετική ποσότητα είναι το ολοκλήρωμα των κυματοσυναρτήσεων, και όχι απλώς η επικάλυψη των ξεχωριστών γραφικών παραστάσεων της πυκνότητας πιθανότητας: τα πρόσημα και οι φάσεις των κυματοσυναρτήσεων μπορούν να προκαλέσουν ακύρωση των συνεισφορών.

Αυτό εξηγεί επίσης γιατί η πόλωση του φωτός μπορεί να είναι σημαντική. Για παράδειγμα, το φως με πόλωση TE και TM διεγείρει διαφορετικά στοιχεία της μήτρας ορμής και απαιτούνται πιο εξελιγμένα μοντέλα πολλαπλών ζωνών όταν η ανάμιξη ζωνών και οι κανόνες επιλογής πόλωσης είναι σημαντικοί. Αυτά τα φαινόμενα μπορούν να εξερευνηθούν στα GaAs/AlGaAs eight-band zincblende tutorial και GaN/AlGaN eight-band wurtzite tutorial.

Το γεγονός ότι μια μετάβαση είναι επιτρεπτή δεν σημαίνει ότι θα πραγματοποιηθεί.

Ακόμη και μια μετάβαση με τη σωστή ενέργεια και ένα μεγάλο στοιχείο μήτρας δεν μπορεί να συμβεί, εκτός εάν η αρχική της κατάσταση είναι κατειλημμένη και η τελική της κατάσταση είναι διαθέσιμη. Έστω \(f_c\) η πιθανότητα ότι η σχετική κατάσταση της ζώνης αγωγιμότητας περιέχει ένα ηλεκτρόνιο και \(f_v\) η πιθανότητα ότι η σχετική κατάσταση της ζώνης σθένους περιέχει ένα ηλεκτρόνιο. Επομένως, η πιθανότητα ότι η κατάσταση της ζώνης σθένους περιέχει μια οπή είναι \(1-f_v\).

Οι διαθέσιμες συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων δημιουργούν διαφορετικούς παράγοντες για την απορρόφηση και την εκπομπή:

\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]

Η απορρόφηση απαιτεί μια γεμάτη κατάσταση στη ζώνη σθένους και μια κενή κατάσταση στη ζώνη αγωγιμότητας. Η εκπομπή απαιτεί ακριβώς το αντίθετο: ένα ηλεκτρόνιο στη ζώνη αγωγιμότητας και μια οπή στη ζώνη σθένους. Αυτοί οι παράγοντες πληρότητας θα καθορίσουν εάν μια συγκεκριμένη μετάβαση συμβάλλει στην καθαρή απορρόφηση ή στην καθαρή οπτική ενίσχυση.

Από μια μετάβαση σε ένα οπτικό φάσμα.

Μια πραγματική κβαντική δεξαμενή έχει περισσότερες από μία υποζώνες για ηλεκτρόνια και οπές, και τα ηλεκτρόνια μπορούν να καταλάβουν διαφορετικούς επιπεδοκατευθυνόμενους διανυσματικούς αριθμούς κύματος κατά μήκος κάθε παραβολής. Για να υπολογίσουμε ένα φάσμα, πρέπει να προσθέσουμε τη συνεισφορά από κάθε σχετικό συνδυασμό υποζώνης ηλεκτρονίων \(n\), υποζώνης οπών \(m\) και επιπεδοκατευθυνόμενου διανυσματικού αριθμού \(k_{\parallel}\).

Σχηματικά, ένας υπολογισμός φασματικής απορρόφησης έχει την εξής μορφή:

\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]

Το άθροισμα υπολογίζεται για ζεύγη υποζωνών· το ολοκλήρωμα συλλέγει όλες τις καταστάσεις στο ίδιο επίπεδο. Το στοιχείο της μήτρας σταθμίζει κάθε μετάβαση με βάση την οπτική της ισχύ, οι παράγοντες πληρότητας μας ενημερώνουν για το αν υπάρχουν οι απαιτούμενοι φορείς φορτίου και η συνάρτηση δέλτα επιλέγει τις μεταβάσεις με τη σωστή ενέργεια φωτονίου. Η αναλογία παραλείπει τους κοινούς παράγοντες κανονικοποίησης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

Για μια παραβολική δισδιάστατη υποζώνη, ο αριθμός των διαθέσιμων καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας έχει μια ιδιαίτερα απλή μορφή: η κοινή πυκνότητα καταστάσεων είναι σταθερή πάνω από το όριο μετάπτωσης στο ιδανικό μοντέλο. Ως εκ τούτου, ένα ζεύγος υποζωνών αρχίζει να συμβάλλει όταν η ενέργεια των φωτονίων φτάνει στην ελάχιστη επιτρεπόμενη ενέργεια μετάπτωσης. Επιπλέον ζεύγη υποζωνών εισάγουν επιπλέον όρια στο φάσμα.

Πότε η απορρόφηση μετατρέπεται σε οπτική ενίσχυση;

Μια εισερχόμενη ακτίνα μπορεί να απορροφηθεί και να προκαλέσει εκπομπή. Η οπτική ενίσχυση είναι η ισορροπία μεταξύ αυτών των δύο ανταγωνιστικών διεργασιών, και όχι απλώς το συνολικό ρυθμό ανασυνδυασμού ηλεκτρονίων-οπών. Αφαιρώντας την απορρόφηση από την προκαλούμενη εκπομπή, προκύπτει μια ιδιαίτερα χρήσιμη απλοποίηση:

\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]

Επομένως, η φασματική ενίσχυση του υλικού έχει το ίδιο άθροισμα στις μεταπτώσεις με τον υπολογισμό της απορρόφησης, αλλά χρησιμοποιεί τη διαφορά πληθυσμού:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Εάν το \(f_v\) είναι μεγαλύτερο από το \(f_c\), η απορρόφηση κυριαρχεί και η συνεισφορά στην ενίσχυση είναι αρνητική. Εάν το \(f_c\) είναι μεγαλύτερο από το \(f_v\), η διεγερμένη εκπομπή κυριαρχεί: αυτό είναι η αναστροφή πληθυσμού και η μετάβαση συμβάλλει θετικά στην ενίσχυση.

Σε έναν πλήρη υπολογισμό, ο παράγοντας αναλογίας περιλαμβάνει ποσότητες όπως η οπτική συχνότητα, ο δείκτης διάθλασης, οι ηλεκτρομαγνητικές σταθερές και το πάχος που χρησιμοποιείται για την κανονικοποίηση των καταστάσεων της κβαντικής φρεάτιδας. Η ενίσχυση εντός του ενεργού υλικού πρέπει επίσης να διακρίνεται από την ενίσχυση της διαμόρφωσης ενός λέιζερ, η οποία εξαρτάται από το πόσο έντονα η οπτική διαμόρφωση επικαλύπτει την περιοχή της κβαντικής φρεάτιδας.

Τι γίνεται με την αυθόρμητη εκπομπή;

Η αυθόρμητη εκπομπή χρησιμοποιεί τις ίδιες ενέργειες ηλεκτρονικής μετάπτωσης και τα ίδια οπτικά στοιχεία μήτρας, αλλά δεν είναι η ίδια ποσότητα με την καθαρή ενίσχυση. Για να κατανοήσουμε τη διαφορά, ας φανταστούμε ότι μια συγκεκριμένη φωτονική κατάσταση περιέχει ήδη \(N\) φωτόνια. Ο κβαντομηχανικός ρυθμός εκπομπής σε αυτήν την κατάσταση περιέχει έναν παράγοντα \(N+1\):

\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]

Το διεγερμένο τμήμα αυξάνεται ανάλογα με τον αριθμό των φωτονίων που υπάρχουν ήδη. Η πρόσθετη παράμετρος \(1\) σημαίνει ότι η εκπομπή μπορεί να συμβεί ακόμη και όταν ο αρχικός αριθμός των φωτονίων είναι μηδέν. Αντίθετα, η απορρόφηση απαιτεί ένα εισερχόμενο φωτόνιο και είναι ανάλογη με την παράμετρο \(N\).

Για να υπολογίσουμε την αυθόρμητη εκπομπή, αθροίζουμε τις πιθανότητες μετάβασης σε όλες τις διαθέσιμες ηλεκτρονικές καταστάσεις και στις φωτονικές διαμορφώσεις στις οποίες μπορεί να εκπεμφθεί φως. Σχηματικά, το φάσμα της αυθόρμητης εκπομπής είναι:

\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Εδώ, το \(D_{\mathrm{ph}}\) αντιπροσωπεύει τις διαθέσιμες φωτονικές καταστάσεις και το \(M_{nm}\) είναι το κατάλληλα κανονικοποιημένο στοιχείο της μήτρας αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου-φωτονίου για αυθόρμητη εκπομπή. Αυτή η σημειογραφία καθιστά σαφές ότι η πυκνότητα των φωτονικών καταστάσεων και η οπτική κανονικοποίηση πρέπει να συμπεριληφθούν κατά τον υπολογισμό μιας απόλυτης ταχύτητας εκπομπής φωτονίων.

Προσέξτε τον παράγοντα πληρότητας: η αυθόρμητη εκπομπή χρησιμοποιεί το \(f_c(1-f_v)\), και όχι τη διαφορά πληθυσμού \(f_c-f_v\) που χρησιμοποιείται για την καθαρή ενίσχυση. Επομένως, μια κβαντική φρεάτιδα μπορεί να παρουσιάσει αυθόρμητη εκπομπή ακόμη και όταν η καθαρή οπτική της απόκριση είναι απορροφητική. Δεν θα πρέπει να επιτυγχάνουμε αυθόρμητη εκπομπή απλά θέτοντας τις αρνητικές τιμές ενίσχυσης σε μηδέν.

Γιατί χρειαζόμαστε τη διεύρυνση Lorentz;

Μέχρι αυτό το σημείο, ο χρυσός κανόνας του Fermi χρησιμοποιούσε τη συνάρτηση δέλτα για να αναπαραστήσει την ακριβή διατήρηση της ενέργειας. Σε έναν πραγματικό ημιαγωγό, ωστόσο, οι οπτικές μεταπτώσεις δεν εμφανίζονται ως άπειρα αιχμηρές γραμμές. Η σκέδαση και ο πεπερασμένος χρόνος συνοχής μιας ηλεκτρονικής μετάπτωσης της προσδίδουν ένα πεπερασμένο φασματικό πλάτος.

Ένας συνηθισμένος τρόπος για να το απεικονίσουμε είναι να αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση δέλτα με μια κανονικοποιημένη μορφή Lorentz:

\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]

Εδώ, το \(\Delta E\) είναι η διαφορά μεταξύ της ενέργειας της ηλεκτρονικής μετάπτωσης και της ενέργειας του φωτονίου, και το \(\gamma\) είναι το μισό πλάτος στο μισό μέγιστο (HWHM) της συνάρτησης Lorentzian. Το πλήρες πλάτος στο μισό μέγιστο είναι το \(2\gamma\). Επειδή η συνάρτηση Lorentzian είναι κανονικοποιημένη ως προς την ενέργεια, η διεύρυνση αναδιανέμει το φασματικό βάρος μιας μετάπτωσης, αντί να αλλάζει αυθαίρετα τη συνολική της συνεισφορά.

Για κάθε μετάβαση, αντικαθιστούμε επομένως το \(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\) με το \(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\). Για παράδειγμα, το διευρυμένο φάσμα απολαβής γίνεται:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Η ίδια αντικατάσταση γίνεται και στον υπολογισμό της αυθόρμητης εκπομπής, αλλά ο παράγοντας πληρότητας παραμένει \(f_c(1-f_v)\). Μια μεγαλύτερη παράμετρος διεύρυνσης παράγει ομαλότερα και ευρύτερα φασματικά χαρακτηριστικά· μια μικρότερη τιμή διατηρεί πιο απότομα όρια μετάβασης. Η διεύρυνση Lorentz είναι ένα χρήσιμο μοντέλο για την ομοιογενή διεύρυνση, και όχι μια καθολική περιγραφή κάθε φυσικού μηχανισμού διεύρυνσης.

Συνοψίζοντας τον υπολογισμό.

Μπορούμε πλέον να συνοψίσουμε τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζεται το οπτικό φάσμα ενός κβαντικού πηγαδιού από τις ηλεκτρονικές καταστάσεις:

1. Εντοπίστε τις περιορισμένες καταστάσεις. Λύστε την εξίσωση του Schrödinger για τις ενέργειες και τις κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων και των οπών σε όλη την κβαντική περιοχή.
2. Κατασκευάστε τις υποζώνες. Συμπεριλάβετε την κίνηση παράλληλη προς τα στρώματα, ώστε να προσδιοριστούν οι ενέργειες των ηλεκτρονικών μεταπτώσεων σε διαφορετικούς διανυσματικούς κύματος εντός του επιπέδου.
3. Υπολογίστε τη οπτική σύζευξη. Αξιολογήστε τα κατάλληλα στοιχεία της μήτρας, συμπεριλαμβανομένης της επικάλυψης των κυματικών συναρτήσεων των ηλεκτρονίων και των οπών και, όπου απαιτείται, της πόλωσης του φωτός.
4. Συμπεριλάβετε τους πληθυσμούς των φορέων. Χρησιμοποιήστε τις καταστάσεις που καταλαμβάνουν τα ηλεκτρόνια στις ζώνες αγωγιμότητας και σθένους για να διακρίνετε την απορρόφηση, την διεγερμένη εκπομπή και την αυθόρμητη εκπομπή.
5. Υπολογίστε το άθροισμα για τις μεταπτώσεις. Προσθέστε τις συνεισφορές από τις υποζώνες των ηλεκτρονίων και των οπών, καθώς και από τις διαθέσιμες καταστάσεις στο επίπεδο.
6. Επεκτείνετε το φάσμα. Αντικαταστήστε τις ιδανικές μεταπτώσεις της συνάρτησης δέλτα με μια κατάλληλη μορφή γραμμής, όπως μια συνάρτηση Lorentz.

Αυτές είναι οι αρχές που συνδέουν τους επιλυτές ηλεκτρονικών κβαντικών φρεάτων της OghmaNano με τους υπολογισμούς οπτικής ενίσχυσης και αυθόρμητης εκπομπής. Το απλό παραβολικό μοντέλο καθιστά τη φυσική πιο εύκολη στην κατανόηση· η πολυζωνική θεωρία k·p επεκτείνει τις ηλεκτρονικές καταστάσεις και τα οπτικά στοιχεία μήτρας όταν η σύζευξη των ζωνών και η εξάρτηση από την πόλωση γίνονται σημαντικές.