Η διάχυση Fröhlich: Αλληλεπιδράσεις πολικών οπτικών φωνόνων σε ημιαγωγούς.

Η διασπορά Fröhlich περιγράφει την αλληλεπίδραση των ηλεκτρονίων και των οπών με τα διαμήκη οπτικά (LO) φωνόνια σε πολικούς ημιαγωγούς, όπως το GaAs, το InP, το GaN, το ZnO και τα μεταλλο-αλογονιδικά περοβσκίτες. Η φυσική προέλευση αυτής της αλληλεπίδρασης απεικονίζεται στο ??. Σε έναν πολικό κρύσταλλο, τα γειτονικά άτομα φέρουν αντίθετα μερικά φορτία. Όταν το πλέγμα δομής ταλαντώνεται σε μια οπτική κατάσταση, τα θετικά και τα αρνητικά ιόντα κινούνται σχετικά μεταξύ τους, παράγοντας μια ταλαντευόμενη ηλεκτρική πόλωση. Για ένα διαμήκες οπτικό φωνόνιο, αυτό δημιουργεί ένα μακροσκοπικό ηλεκτρικό πεδίο που αλληλεπιδρά με τους φορείς φορτίου που κινούνται μέσα στον κρύσταλλο.

Ένα ηλεκτρόνιο που διασχίζει αυτό το πεδίο μπορεί να διασκορπιστεί από μια αρχική κατάσταση με διανυσματικό κύμα \(\mathbf{k}\) σε μια τελική κατάσταση \(\mathbf{k}'\), είτε απορροφώντας είτε εκπέμποντας ένα οπτικό φωνόνιο ενέργειας \(\hbar\omega_{LO}\). Αυτές οι μεταπτώσεις απεικονίζονται στο διάγραμμα της ζώνης αγωγιμότητας στο ??. Η ηλεκτροστατική σύζευξη μεταξύ των ελεύθερων φορέων και του πεδίου πόλωσης του πλέγματος είναι γνωστή ως αλληλεπίδραση Fröhlich. Αποτελεί έναν σημαντικό μηχανισμό που περιορίζει την κινητικότητα των φορέων φορτίου σε πολικούς ημιαγωγούς, ιδιαίτερα σε θερμοκρασία δωματίου και άνω. Μπορεί να κυριαρχήσει στη διασπορά των ηλεκτρονίων σε υλικά III–V υψηλής καθαρότητας και παρέχει μια αποτελεσματική διαδρομή για τη μεταφορά ενέργειας από τους θερμούς φορείς στο πλέγμα.

Η κατανόηση της σκέδασης Fröhlich είναι, επομένως, σημαντική κατά τον υπολογισμό της κινητικότητας των φορέων, στην μοντελοποίηση της ψύξης των φωτο-διεγερμένων φορέων και στον προσδιορισμό των χρόνων ενεργειακής χαλάρωσης που χρησιμοποιούνται στα μοντέλα μεταφοράς ενέργειας. Η εξάρτηση της ενέργειας της αλληλεπίδρασης μπορεί να παρατηρηθεί στο ??, το οποίο δείχνει τους υπολογισμένους ρυθμούς απορρόφησης, εκπομπής και συνολικής σκέδασης για τα ηλεκτρόνια στο GaAs. Στις επόμενες ενότητες, εξετάζουμε λεπτομερέστερα την απορρόφηση και την εκπομπή των LO φωνόνων, πριν εξαγάγουμε το στοιχείο μήτρας Fröhlich και το πλήρες τρισδιάστατο ολοκλήρωμα στον χώρο \(k\) που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ρυθμού σκέδασης.

Τι είναι η αλληλεπίδραση Fröhlich;

Σε έναν πολικό ημιαγωγό, η σχετική μετατόπιση των θετικών και αρνητικών ιόντων κατά τη διάρκεια μιας διαμήκους οπτικής (LO) ταλάντωσης παράγει ένα ταλαντούμενο ηλεκτρικό πεδίο, \(\mathbf{E}_{LO}\), όπως απεικονίζεται στο ??. Ένας φορέας φορτίου αλληλεπιδρά με αυτό το πεδίο μέσω του ηλεκτροστατικού δυναμικού \(\phi_{LO}\), δίνοντας μια ενέργεια αλληλεπίδρασης \(-e\phi_{LO}\) για ένα ηλεκτρόνιο. Δεδομένου ότι η αλληλεπίδραση έχει ως προέλευση την δύναμη Coulomb, είναι μακράς εμβέλειας και είναι ισχυρότερη σε μικρούς διανυσματικούς αριθμούς φωνονίων \(q\).

Η ισχύς της αλληλεπίδρασης Fröhlich εξαρτάται από το πόσο έντονα ανταποκρίνεται ο κρύσταλλος σε ένα ηλεκτρικό πεδίο. Υπάρχουν δύο συνεισφορές σε αυτή την απόκριση: τα ηλεκτρόνια, τα οποία ανταποκρίνονται πολύ γρήγορα, και τα πολύ βαρύτερα ιόντα, τα οποία ανταποκρίνονται πιο αργά. Αυτό οδηγεί σε δύο διηλεκτρικές σταθερές: τη διηλεκτρική σταθερά υψηλής συχνότητας \(\varepsilon_\infty\), η οποία περιγράφει μόνο την ηλεκτρονική απόκριση, και τη στατική διηλεκτρική σταθερά \(\varepsilon_s\), η οποία περιλαμβάνει την πρόσθετη συνεισφορά από την ιονική κίνηση.

Σε έναν πολικό ημιαγωγό, η μετατόπιση των ιόντων κατά τη διάρκεια ενός φωνονού LO δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο, το οποίο αλληλεπιδρά με τους ελεύθερους φορείς φορτίου. Η ένταση αυτής της αλληλεπίδρασης καθορίζεται από τη διαφορά μεταξύ της ηλεκτρονικής και της συνολικής διηλεκτρικής θωράκισης, η οποία εκφράζεται ως:

\[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \]

Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η ποσότητα, τόσο ισχυρότερη είναι η πολική σύζευξη. Σε έναν μη πολικό ημιαγωγό, όπως το πυρίτιο, δεν υπάρχει αντίστοιχο μακράς εμβέλειας ηλεκτρικό πεδίο που σχετίζεται με τις οπτικές ταλαντώσεις του πλέγματος. Ως εκ τούτου, η ιοντική συνεισφορά στην διηλεκτρική απόκριση απουσιάζει σε αυτό το μοντέλο, δίνοντας \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) και μια μηδενική αλληλεπίδραση Fröhlich. Αυτός ο διηλεκτρικός όρος εμφανίζεται άμεσα στο στοιχείο της μήτρας σκέδασης που προκύπτει παρακάτω.

Συχνά είναι βολικό να εκφράζουμε την ένταση της σύζευξης ως έναν ενιαίο αριθμό χωρίς διαστάσεις, τη σταθερά σύζευξης Fröhlich.

\[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \]

όπου \(m^*\) είναι η αποτελεσματική μάζα του φορέα. Για τα ηλεκτρόνια του GaAs \(\alpha\approx 0.07\) (ασθενής σύζευξη). Για πιο ιονικά υλικά, όπως το GaN, το ZnO και οι αλογονίδες περοβσκίτες, το \(\alpha\) είναι της τάξης του 0,4–2. Όταν το \(\alpha\) είναι μικρό, η αλληλεπίδραση μπορεί να αντιμετωπιστεί ως διαταραχή και δίνει τους ρυθμούς σκέδασης που προκύπτουν παρακάτω. Όταν το \(\alpha\) πλησιάζει ή υπερβαίνει τη μονάδα, ο φορέας μεταφέρει μαζί του ένα σημαντικό πολικό νέφος και περιγράφεται καλύτερα ως πολάρον, με αναπροσαρμοσμένη μάζα και ενέργεια. Οι διαταρακτικοί ρυθμοί σε αυτή τη σελίδα θα πρέπει στη συνέχεια να χρησιμοποιούνται με προσοχή.

Απορρόφηση και εκπομπή στην εικόνα της ζώνης.

Η διασπορά Fröhlich είναι μια ανελαστική μετάβαση στην οποία ένα ηλεκτρόνιο ανταλλάσσει ενέργεια και ορμή με ένα LO φωνόνιο. Όπως απεικονίζεται στο ??, ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση \(\mathbf{k}\), με ενέργεια \(E(\mathbf{k})\), μπορεί να υποστεί μία από τις δύο ακόλουθες διαδικασίες:

Απορρόφηση φωνονίων: Το ηλεκτρόνιο αποκτά ενέργεια \(\hbar\omega_{LO}\) από το πλέγμα, μεταβαίνοντας σε μια κατάσταση υψηλότερης ενέργειας \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), όπου \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).

Εκπομπή φωνονίων: Το ηλεκτρόνιο μεταφέρει ενέργεια \(\hbar\omega_{LO}\) στο πλέγμα, μεταβαίνοντας σε μια κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\), όπου \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).

Και οι δύο διαδικασίες διατηρούν την ενέργεια και την ορμή των κρυστάλλων. Δεδομένου ότι τα φωνόνια LO είναι περίπου μη διασπειρόμενα κοντά στο κέντρο της ζώνης, η ενέργειά τους \(\hbar\omega_{LO}\) μπορεί να θεωρηθεί σταθερή, περίπου 36 meV στο GaAs και 92 meV στο GaN. Αυτό θέτει έναν σημαντικό περιορισμό στην εκπομπή: ένα ηλεκτρόνιο πρέπει να έχει τουλάχιστον \(\hbar\omega_{LO}\) κινητική ενέργεια πάνω από το ελάχιστο της ζώνης πριν μπορέσει να εκπέμψει ένα φωνόνιο LO. Τα ηλεκτρόνια κάτω από αυτό το όριο μπορούν μόνο να υποστούν απορρόφηση φωνονίων. Μόλις επιτευχθεί το όριο, ανοίγει το κανάλι εκπομπής, επιτρέποντας στα θερμά ηλεκτρόνια να χάνουν ενέργεια στο πλέγμα σε διακριτές ποσότητες \(\hbar\omega_{LO}\). Αυτή η συμπεριφορά είναι σαφώς ορατή στο ??, το οποίο δείχνει τους υπολογισμένους ρυθμούς απορρόφησης, εκπομπής και συνολικής σκέδασης για ηλεκτρόνια στο GaAs.

Η πιθανότητα κάθε διαδικασίας εξαρτάται επίσης από τον αριθμό των LO φωνόνων που υπάρχουν στο πλέγμα. Στη θερμική ισορροπία, η μέση πληρότητα των φωνόνων περιγράφεται από την κατανομή Bose–Einstein.

\[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \]

όπου \(T_L\) είναι η θερμοκρασία του πλέγματος. Η πιθανότητα απορρόφησης είναι ανάλογη του \(N_{LO}\), καθώς ένα φωτόνιο πρέπει ήδη να υπάρχει για να το απορροφήσει το ηλεκτρόνιο. Η εκπομπή, από την άλλη πλευρά, είναι ανάλογη του \(N_{LO}+1\). Η επιπλέον παράμετρος \(+1\) αντιπροσωπεύει την αυθόρμητη εκπομπή φωτονίων, η οποία παραμένει δυνατή ακόμη και σε μηδενική θερμοκρασία, υπό την προϋπόθεση ότι το ηλεκτρόνιο διαθέτει επαρκή ενέργεια.

Για το GaAs στους 300 K, το \(N_{LO}\approx 0.33\) δίνει έναν παράγοντα πληρότητας εκπομπής περίπου τέσσερις φορές μεγαλύτερο από αυτόν της απορρόφησης. Οι πραγματικοί ρυθμοί σκέδασης εξαρτώνται επίσης από τις διαθέσιμες τελικές ηλεκτρονικές καταστάσεις, όπως απεικονίζεται στο ??. Καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία του πλέγματος, αυξάνεται ο πληθυσμός των φωνόνων, ενισχύοντας την αλληλεπίδραση και συμβάλλοντας στη μείωση της κινητικότητας των φορέων, ένα φαινόμενο που παρατηρείται συνήθως στους πολικούς ημιαγωγούς.

Το στοιχείο της μήτρας σύζευξης Fröhlich.

Τώρα εξετάζουμε την αλληλεπίδραση κβαντομηχανικά. Η σύζευξη μεταξύ ενός ηλεκτρονίου και ενός διαμήκους οπτικού φωνονονίου περιγράφεται από το στοιχείο μήτρας Fröhlich, το οποίο για έναν ομοιογενή πολικό ημιαγωγό δίνεται από:

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

Εδώ, το \(V\) είναι ο όγκος κανονικοποίησης του κρυστάλλου και το \(q\) είναι το διανυσματικό κύμα των φωνόνων. Θεωρώντας ότι οι ηλεκτρονικές καταστάσεις είναι επίπεδα κύματα, η αλληλεπίδραση συνδέει μια αρχική κατάσταση \(|\mathbf{k}\rangle\) με μια τελική κατάσταση \(|\mathbf{k}'\rangle\), υπό την προϋπόθεση της διατήρησης της ορμής του κρυστάλλου. Για την απορρόφηση και την εκπομπή φωνόνων, αντίστοιχα, το τελικό διανυσματικό κύμα είναι \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).

Συμπεριλαμβάνοντας τους παράγοντες πληρότητας των φωνόνων και υποθέτοντας ότι η επικάλυψη μεταξύ των περιοδικών τμημάτων των αρχικών και τελικών συναρτήσεων Bloch είναι κατά προσέγγιση ίση με τη μονάδα, τα τετράγωνα στοιχεία της μεταβατικής μήτρας γίνονται:

\[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \]

\[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \]

Ο όρος απορρόφησης εξαρτάται από τον αριθμό των διαθέσιμων φωτονίων LO, ενώ η εκπομπή περιλαμβάνει μια επιπλέον αυθόρμητη συνεισφορά. Αυτά τα στοιχεία μήτρας χρησιμοποιούνται στον χρυσό κανόνα του Fermi για τον υπολογισμό της πιθανότητας μιας μετάβασης μεταξύ ηλεκτρονικών καταστάσεων.

Από τον χρυσό κανόνα του Φέρμι σε ένα τρισδιάστατο ολοκλήρωμα στον χώρο k.

Αφού έχουμε προσδιορίσει το στοιχείο της μήτρας σύζευξης Fröhlich, μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε τον ρυθμό με τον οποίο ένα ηλεκτρόνιο διασκορπίζεται από μια αρχική κατάσταση \(|\mathbf{k}\rangle\) σε μια τελική κατάσταση \(|\mathbf{k}'\rangle\). Όπως απεικονίζεται στο ??, αυτό μπορεί να συμβεί είτε μέσω απορρόφησης είτε μέσω εκπομπής φωτονίου LO, με το ηλεκτρόνιο να αποκτά ή να χάνει ενέργεια \(\hbar\omega_{LO}\).

Χρησιμοποιώντας τον χρυσό κανόνα του Fermi, ο συνολικός ρυθμός σκέδασης υπολογίζεται αθροίζοντας όλους τους επιτρεπτούς διανυσματικούς αριθμούς των φωτονίων \(\mathbf{q}\) και τις δύο διαδικασίες σκέδασης:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \]

Εδώ, το \(\delta\) είναι η συνάρτηση Dirac delta, η οποία επιβάλλει τη διατήρηση της ενέργειας. Τα στοιχεία της μήτρας απορρόφησης και εκπομπής, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) και \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Υποθέτουμε ότι οι τελικές ηλεκτρονικές καταστάσεις είναι άδειες, έτσι ώστε το φαινόμενο του αποκλεισμού Pauli να μπορεί να παραμεληθεί.

Για ένα κρύσταλλο επαρκούς μεγέθους, τα επιτρεπτά διανυσματικά κύματα των φωνόνων είναι στενά διαχωρισμένα και το άθροισμα μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ολοκλήρωμα πάνω στην ζώνη Brillouin:

\[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \]

Ο παράγοντας \(V\) εξουδετερώνει την εξάρτηση του τετραγωνικού στοιχείου της μήτρας Fröhlich από το \(1/V\), με αποτέλεσμα να προκύπτει ένας ρυθμός σκέδασης που είναι ανεξάρτητος από τον όγκο κανονικοποίησης του κρυστάλλου. Αντικαθιστώντας την έκφραση για το \(M_{\mathrm{abs}}(q)\), ο ρυθμός απορρόφησης γίνεται:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \]

Για να υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε σφαιρικές συντεταγμένες, με τον πολικό άξονα να ευθυγραμμίζεται με την αρχική διεύθυνση του διανύσματος της ηλεκτρονιακής κυματοσυνάρτησης \(\mathbf{k}\). Η ολοκλήρωση ως προς την αζιμουθιακή γωνία δίνει:

\[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \]

όπου \(\theta\) είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων των κυματοσυντελεστών του ηλεκτρονίου και του φωτονίου, \(\mathbf{k}\) και \(\mathbf{q}\). Παρατηρήστε ότι η συνεισφορά \(q^2\) από το στοιχείο όγκου εξουδετερώνει την εξάρτηση \(1/q^2\) του στοιχείου της μήτρας Fröhlich. Αυτό απλοποιεί σημαντικά την υπόλοιπη ολοκλήρωση.

Υποθέτοντας μια παραβολική, ισότροπη ζώνη αγωγιμότητας, \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\), το επιχείρημα της συνάρτησης δέλτα της απορρόφησης μπορεί να αναπτυχθεί ως εξής:

\[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \]

Η ολοκλήρωση πάνω από το \(\cos\theta\) εξαλείφει τη συνάρτηση δέλτα και προσθέτει έναν παράγοντα \(m^*/(\hbar^2kq)\), υπό την προϋπόθεση ότι η λύση ικανοποιεί το \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Αυτή η συνθήκη περιορίζει το εύρος των επιτρεπόμενων διανυσμάτων των φωνόνων, σύμφωνα με την αρχή της διατήρησης της ενέργειας και της κρυσταλλικής ορμής.

Όσον αφορά την απορρόφηση των φωνόνων, τα επιτρεπτά όρια είναι:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Για την εκπομπή φωνονίων, η οποία απαιτεί \(E\geq\hbar\omega_{LO}\), τα αντίστοιχα όρια είναι:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

Η υπόλοιπη ακτινική ολοκλήρωση είναι απλή:

\[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \]

Συγκεντρώνοντας τους όρους και χρησιμοποιώντας την εξίσωση \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), όπου \(E\) είναι η κινητική ενέργεια του φορέα μετρούμενη σε σχέση με το ελάχιστο της ζώνης, προκύπτουν οι τυπικές αναλυτικές εκφράσεις για τους ρυθμούς σκέδασης Fröhlich. Για την απορρόφηση,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \]

ενώ όσον αφορά τις εκπομπές,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \]

Ο ρυθμός εκπομπής είναι μηδέν κάτω από το όριο ενέργειας των φωτονίων LO. Σε αυτές τις εκφράσεις, ο κοινός συντελεστής είναι

\[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \]

Ο συνολικός ρυθμός διασποράς Fröhlich είναι απλώς το άθροισμα των δύο συνεισφορών:

\[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \]

Ο κοινός παράγοντας μπορεί επίσης να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τη μη διαστατική σταθερά σύζευξης Fröhlich \(\alpha\), δίνοντας \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\). Αξίζει να σημειωθούν δύο όρια. Όταν \(E\rightarrow0\), ο ρυθμός απορρόφησης πλησιάζει τη πεπερασμένη τιμή \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). Στο όριο εκπομπής, \(E=\hbar\omega_{LO}\), η συνεισφορά της εκπομπής ξεκινά από το μηδέν και αυξάνεται ραγδαία με την αύξηση της ενέργειας των φορέων.

Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να παρατηρηθεί άμεσα στο ??, το οποίο απεικονίζει τις υπολογισμένες τιμές απορρόφησης, εκπομπής και συνολικής σκέδασης για τα ηλεκτρόνια στο GaAs στους 300 K. Για τα θερμά ηλεκτρόνια, οι προκύπτουσες τιμές είναι συνήθως της τάξης του \(10^{12}\)–\(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), με τους χρόνους εκπομπής των φωνονίων LO να φτάνουν περίπου τα 0,1–0,2 ps. Αυτές οι γρήγορες διαδικασίες εκπομπής παρέχουν έναν σημαντικό μηχανισμό μέσω του οποίου οι ενεργητικοί φορείς μεταφέρουν ενέργεια στο πλέγμα.

Από τη διασπορά των φορέων στην κινητικότητα.

Η διασπορά των φορέων φορτίου διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στον προσδιορισμό της ηλεκτρικής κινητικότητας ενός ημιαγωγού. Όταν εφαρμόζεται ένα ηλεκτρικό πεδίο, τα ηλεκτρόνια και οι οπές επιταχύνονται υπό την επίδραση της δύναμης του πεδίου. Ωστόσο, η κίνησή τους διακόπτεται συνεχώς από αλληλεπιδράσεις με φωνόνια, ακαθαρσίες, ελαττώματα και άλλους φορείς. Αυτές οι διαδικασίες διασποράς εμποδίζουν τους φορείς να επιταχύνονται επ' αόριστον και καθορίζουν τη μέση ταχύτητα μετατόπισής τους.

Στο απλούστερο μοντέλο μεταφοράς, η σχέση μεταξύ της κινητικότητας των φορέων και της σκέδασης περιγράφεται από την εξίσωση Drude.

\[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \]

όπου \(e\) είναι το στοιχειώδες φορτίο, \(m^*\) είναι η αποτελεσματική μάζα των φορέων, και \(\tau_{\mathrm{tr}}\) είναι ο χρόνος χαλάρωσης της ορμής. Φυσικά, το \(\tau_{\mathrm{tr}}\) περιγράφει πόσο γρήγορα η σκέδαση αφαιρεί την κατευθυνόμενη κίνηση των φορέων που παράγεται από ένα εφαρμοσμένο ηλεκτρικό πεδίο. Ένας μεγαλύτερος χρόνος χαλάρωσης οδηγεί γενικά σε υψηλότερη κινητικότητα, ενώ μια ισχυρότερη χαλάρωση της ορμής τη μειώνει.

Από τον ρυθμό σκέδασης στην εξασθένηση της ορμής.

Υπάρχει μια σημαντική διαφορά μεταξύ του συνολικού ρυθμού σκέδασης που υπολογίστηκε στην προηγούμενη ενότητα και του ρυθμού με τον οποίο η σκέδαση μειώνει την ορμή των φορέων. Ο συνολικός ρυθμός εξόδου της σκέδασης, \(1/\tau(\mathbf{k})\), καταγράφει κάθε μετάβαση από μια αρχική ηλεκτρονική κατάσταση, ανεξάρτητα από το πόσο αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης των φορέων.

Ας υποθέσουμε ότι ένα ηλεκτρόνιο κινείται με μια αρχική διανυσματική κυματική συνάρτηση \(\mathbf{k}\). Μετά από μια σκέδαση, η διανυσματική κυματική του συνάρτηση αλλάζει σε \(\mathbf{k}'\), σχηματίζοντας μια γωνία \(\theta_s\) με την αρχική του κατεύθυνση. Για μια ισοτροπική παραβολική ζώνη και μια ελαστική σκέδαση, το ηλεκτρόνιο διατηρεί την ίδια ταχύτητα, αλλά μόνο ένα μέρος της τελικής του ταχύτητας παραμένει παράλληλο προς την αρχική του κατεύθυνση. Αυτό το μέρος είναι

\[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \]

Επομένως, το κλάσμα της αρχικής κατευθυνόμενης ταχύτητας που χάνεται κατά τη διάρκεια της σκέδασης είναι:

\[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \]

Αυτό το απλό γεωμετρικό επιχείρημα εξηγεί γιατί η σκέδαση σε διαφορετικές γωνίες δεν συμβάλλει εξίσου στη χαλάρωση της ορμής. Για παράδειγμα:

• Η εμπρόσθια σκέδαση (\(\theta_s=0^\circ\)): η στάθμιση είναι μηδέν, επειδή το ηλεκτρόνιο συνεχίζει να κινείται προς την αρχική του κατεύθυνση.
• Κατανέμοντας σε \(90^\circ\): η στάθμιση είναι ένα, καθώς καμία από τις αρχικές κατευθυνόμενες συνιστώσες της ταχύτητας δεν παραμένει.
• Οπισθοδιασκόπηση (\(\theta_s=180^\circ\)): η στάθμιση είναι δύο, επειδή το ηλεκτρόνιο αντιστρέφει την κατεύθυνση της κίνησής του.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την γωνιακή εξάρτηση για να κατασκευάσουμε μια κατά προσέγγιση τιμή για τον ρυθμό διασποράς κατά τη μεταφορά. Για ισοτροπικές ζώνες, μια συνήθως χρησιμοποιούμενη προσέγγιση για τη στάθμιση με βάση τη γωνία είναι η εξής:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \]

Εδώ, το \(\theta_s\) είναι η γωνία μεταξύ των αρχικών και τελικών ταχυτήτων των φορέων. Για μια ισότροπη παραβολική ζώνη, αυτές οι ταχύτητες είναι παράλληλες προς τους αντίστοιχους διανυσματικούς κύματά τους. Τα στοιχεία της μήτρας \(M_{\mathrm{abs}}\) και \(M_{\mathrm{em}}\) είναι αυτά που προκύπτουν στην προηγούμενη ενότητα.

Στην περίπτωση της ανελαστικής σκέδασης, όπου αλλάζει και η ταχύτητα των φορέων, η απλή γωνιακή στάθμιση αποτελεί μια προσέγγιση. Ένας πιο γενικός παράγοντας προβολής για ένα μεμονωμένο γεγονός είναι ο \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) για μια ισοτροπική ζώνη. Μια αυστηρή αντιμετώπιση της ανελαστικής μεταφοράς απαιτεί την επίλυση της γραμμικοποιημένης εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann, η οποία λαμβάνει υπόψη τη σύζευξη μεταξύ των αρχικών και τελικών καταστάσεων των φορέων.

Αυτή η διάκριση είναι ιδιαίτερα σημαντική για τη σκέδαση Fröhlich. Δεδομένου ότι η αλληλεπίδραση ευνοεί μικρούς διανυσματικούς αριθμούς των φωνόνων \(q\), πολλές μεταπτώσεις περιλαμβάνουν σχετικά μικρές αλλαγές στην κατεύθυνση των φορέων. Ως εκ τούτου, ο συνολικός ρυθμός σκέδασης μπορεί να διαφέρει σημαντικά από τον ρυθμό με τον οποίο η κατευθυνόμενη κίνηση των φορέων εξασθενεί.

Υπολογισμός της κινητικότητας από τη δομή των ενεργειακών ζωνών.

Η εξίσωση του Drude παρέχει ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης, αλλά τα πραγματικά ημιαγωγά δεν έχουν απαραίτητα μια ενιαία αποτελεσματική μάζα ή έναν σταθερό χρόνο χαλάρωσης. Τόσο ο ρυθμός σκέδασης όσο και η ταχύτητα των φορέων μπορούν να διαφέρουν σε όλη την ηλεκτρονική δομή ζωνών.

Για να ληφθεί υπόψη αυτό, η κινητικότητα μπορεί να υπολογιστεί με βάση τον μέσο όρο των συνεισφορών από τις ηλεκτρονικές καταστάσεις που εμπλέκονται στη μεταφορά. Στο πλαίσιο της προσέγγισης του χρόνου χαλάρωσης, ο τανυστής της ηλεκτρονικής κινητικότητας είναι

\[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \]

Εδώ, το \(n\) είναι η πυκνότητα ηλεκτρονίων, το \(f\) είναι η κατανομή Fermi-Dirac και το άθροισμα υπολογίζεται για τις σχετικές ηλεκτρονικές ζώνες και τις συγκεκριμένες καταστάσεις σπιν ή κοιλάδας. Η ομαδική ταχύτητα κάθε κατάστασης προκύπτει από τη διασπορά της ζώνης.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

Η παράγωγος της κατανομής Fermi-Dirac καθορίζει ποιες ηλεκτρονικές καταστάσεις συμβάλλουν στην ηλεκτρική απόκριση. Στη συνέχεια, το ολοκλήρωμα συνδυάζει τις ταχύτητές τους και τους χρόνους χαλάρωσης μεταφοράς για να υπολογίσει τη συνολική κινητικότητα.

Αυτή η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για αριθμητικές δομές ζωνών, όπως αυτές που υπολογίζονται με τη θεωρία \(k\cdot p\), επειδή οι εξαρτώμενες από την ενέργεια ταχύτητες μπορούν να ληφθούν απευθείας από τη υπολογιζόμενη διασπορά, αντί να υποθέτουμε μια σταθερή αποτελεσματική μάζα. Επιπλέον, επιτρέπει την ενσωμάτωση διαφορετικών μηχανισμών σκέδασης μέσω των συνεισφορών τους στον χρόνο χαλάρωσης της μεταφοράς. Σχετικοί υπολογισμοί κινητικότητας που βασίζονται στη δομή ζωνών παρουσιάζονται στα Si/SiGe Δ-valley electron-mobility tutorial και Si/SiGe six-band Luttinger–Kohn hole-mobility tutorial. Αυτά τα παραδείγματα με βάση το πυρίτιο χρησιμοποιούν μη πολικούς μηχανισμούς σκέδασης αντί για τη σκέδαση Fröhlich, αλλά απεικονίζουν την ίδια εξέλιξη από την ηλεκτρονική δομή ζωνών και τους ρυθμούς σκέδασης στην κινητικότητα των φορέων.