Dispersão de Fónons Acústicos em Semicondutores

1. O que é o espalhamento de fónons acústicos?

Os átomos dentro de um semicondutor não estão imóveis. Eles vibram em torno de suas posições habituais, e essas vibrações podem se propagar através do cristal de forma semelhante à forma como o som se propaga através do ar. Na física quântica, um conjunto de vibrações da rede cristalina é chamado de fonão. Um fonão acústico é a descrição quântica de uma onda semelhante ao som que se propaga através do cristal.

A Figura ?? ilustra os dois tipos básicos de vibração acústica. Numa onda acústica longitudinal (OAL), os átomos movem-se para frente e para trás, na direção em que a onda se propaga. Isto cria regiões em movimento nas quais a rede cristalina é comprimida ou esticada. Numa onda acústica transversal (OAT), os átomos movem-se lateralmente, perpendicularmente à direção de propagação. Isto produz um movimento de cisalhamento, em vez de uma simples alteração no volume. Um cristal tridimensional tem normalmente uma ramificação acústica longitudinal e duas ramificações acústicas transversais; em materiais anisotrópicos, os movimentos podem ser combinados.

Por que essas vibrações são importantes para um eletrão? A compressão, a expansão ou o cisalhamento de um cristal, mesmo que ligeiro, altera o ambiente em que os portadores de carga se encontram. Uma vibração que se propaga, portanto, produz uma perturbação em movimento nas energias eletrónicas do semicondutor. Um eletrão ou uma lacuna que interage com essa perturbação pode alterar a direção em que se move. Este fenómeno é conhecido como dispersão acústica de fónons.

A dispersão não significa necessariamente que um portador de carga perca muita energia. Os fónons acústicos geralmente trocam apenas uma pequena quantidade de energia com um eletrão, mas ainda podem alterar significativamente a sua direção. Isto é importante porque a mudança repetida de direção dificulta a movimentação constante dos portadores de carga através de um dispositivo, reduzindo a sua mobilidade. A Figura ??, que será apresentada mais adiante neste tutorial, ilustra por que uma grande mudança de direção afeta a mobilidade de forma mais acentuada do que uma pequena mudança.

Fónons acústicos existem em materiais como o silício, o GaAs e o GaN, e dispersam portadores tanto em semicondutores volumosos como em poços quânticos. Diferem das vibrações óticas abordadas no tutorial sobre o espalhamento de Fröhlich: as ondas acústicas são movimentos da rede cristalina semelhantes ao som, cuja energia se torna muito pequena em comprimentos de onda longos. As secções que se seguem explicam a física de forma quantitativa, começando por explicar como a deformação altera as energias das bandas eletrónicas.

2. De que forma uma vibração da rede cristalina dispersa um portador de carga.

Os fónons acústicos são ondas semelhantes ao som: comprimentos de onda mais longos correspondem a frequências de vibração mais baixas. Para comprimentos de onda suficientemente longos, a sua frequência é aproximadamente proporcional ao seu vetor de onda. O mecanismo de dispersão acústica mais simples é o acoplamento do potencial de deformação. Quando a rede cristalina é comprimida ou esticada, as energias das bandas eletrónicas alteram-se. Uma onda acústica que passa cria, portanto, um potencial que varia espacial e temporalmente e que é experimentado pelos eletrões e lacunas. Para uma banda isotrópica, este deslocamento de energia pode ser representado por:

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

onde \(\mathbf u\) é o deslocamento da rede cristalina, \(\boldsymbol\varepsilon\) é o tensor de deformação e \(D_{\mathrm{ac}}\) é o potencial de deformação acústica, com unidades de energia. Uma onda longitudinal cria compressão e expansão localizadas, resultando num traço de deformação diferente de zero. Uma onda plana puramente transversal tem um traço de deformação igual a zero, pelo que não se acopla através deste termo escalar hidrostático. Isto não significa que os fónons acústicos transversais nunca possam dispersar portadores de carga: potenciais de deformação anisotrópicos e multibanda também podem acoplar-se à deformação de cisalhamento.

De forma mais geral, o tensor de deformação simétrico é:

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

O Hamiltoniano eletrónico induzido pela deformação pode conter vários potenciais de deformação independentes, em vez de um único valor constante. Essas descrições tornam-se importantes para os vales anisotrópicos da banda de condução e para as bandas de valência com características orbitais e de spin mistas.

3. Ocupação de fónons e a aproximação elástica

Os fónons acústicos podem alterar tanto a energia como a direção de um portador de carga. A Figura ?? ilustra estes dois efeitos antes de apresentarmos a sua descrição matemática.

Um portador pode absorver um fonão acústico, ganhando energia \(\hbar\omega_\lambda\), ou emitir um, perdendo a mesma energia. O número médio de fonões num determinado modo, à temperatura da rede cristalina \(T\), é dado pela distribuição de Bose-Einstein:

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

A absorção é proporcional a \(N_{\mathbf q\lambda}\), enquanto a emissão é proporcional a \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). A unidade adicional representa a emissão espontânea. A uma temperatura suficientemente alta, para os fónons que transportam a maior parte do momento, \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), a ocupação aproxima-se de...

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

As energias dos fónons acústicos são, frequentemente, pequenas em comparação com as energias dos portadores relevantes, o que permite a utilização da aproximação quase elástica de equipartição \(E_f\simeq E_i\). A absorção e a emissão contribuem, então, para as transições entre estados eletrónicos com energias aproximadamente iguais. Esta é uma aproximação, e não uma afirmação de que os fónons acústicos não transportam energia. A sua precisão diminui a baixas temperaturas, em altas frequências de onda dos fónons ou quando a energia trocada é comparável à energia dos portadores.

4. Elemento da matriz do potencial de deformação

No modelo isotrópico de onda longa, um fonão acústico longitudinal interage com um portador de carga através do potencial de deformação. Para um estado eletrónico em forma de onda plana, a interação com um único fonão tem a magnitude padrão.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

onde \(\rho\) é a densidade de massa e \(V\) é o volume de normalização dos fónons. Para estados eletrónicos mais gerais, o acoplamento também inclui uma sobreposição entre as funções de onda iniciais e finais. Assim, a intensidade do espalhamento depende tanto da vibração da rede cristalina quanto das características da banda eletrónica.

A combinação da absorção e emissão de fonões no limite quase elástico de alta temperatura produz um resultado particularmente útil para a contribuição longitudinal isotrópica:

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

onde \(\mathcal F_{if}\) representa o fator de sobreposição apropriado para o estado eletrónico. Esta expressão demonstra por que razão o espalhamento acústico tende a aumentar à medida que a temperatura sobe. Demonstra também que o espalhamento depende do potencial de deformação, da densidade do cristal e da resposta elástica, e não apenas de um parâmetro de mobilidade ajustável.

5. Modos acústicos longitudinais, transversais e anisotrópicos.

O som propaga-se a velocidades diferentes em diferentes direções cristalográficas em muitos semicondutores. As frequências acústicas e as polarizações de deslocamento decorrem do tensor de rigidez elástica do cristal \(C_{ijkl}\). Na descrição do meio contínuo, são obtidas a partir da equação de Christoffel:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Os autovalores determinam as velocidades do som, enquanto os autovetores \(\mathbf e^{(\lambda)}\) determinam as polarizações dos fónons. Estas polarizações especificam quais as combinações de compressão e cisalhamento produzidas por cada modo, e, consequentemente, quais os acoplamentos de potencial de deformação possíveis.

No caso de um cristal cúbico, a resposta elástica é descrita por três constantes de rigidez independentes, convencionalmente designadas por \(C_{11}\), \(C_{12}\) e \(C_{44}\). Um cristal hexagonal de wurtzita requer constantes elásticas independentes adicionais, porque a resposta ao longo do eixo \(c\) do cristal geralmente difere da resposta no plano basal. A anisotropia elástica pode, portanto, tornar as taxas de dispersão e a direção da mobilidade dependentes da direção, mesmo antes de se considerar a anisotropia da banda eletrónica.

6. Potenciais de deformação para diferentes bandas eletrónicas

O potencial de deformação escalar é um ponto de partida útil, mas os semicondutores reais podem apresentar múltiplas bandas, vales e componentes de função de onda. Nestes materiais, a tensão acústica pode deslocar, dividir ou combinar estados eletrónicos.

Vales na banda de condução do silício: a resposta de um vale depende da sua orientação. Uma descrição comum separa o potencial de deformação hidrostática \(\Xi_d\) de um termo uniaxial \(\Xi_u\):

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

onde \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) é o vetor unitário do eixo do vale. Consequentemente, a deformação pode afetar os vales ao longo de diferentes eixos cristalinos de maneiras distintas.

Bandas de valência e semicondutores com múltiplas bandas: os estados de lacuna pesada, lacuna leve e estados com acoplamento spin-órbita respondem à deformação de cisalhamento e à deformação uniaxial, bem como à deformação hidrostática. O Hamiltoniano de deformação de Bir–Pikus fornece uma descrição padrão para sistemas de tipo esfalerita e sistemas relacionados com múltiplas bandas. A probabilidade de espalhamento entre os estados \(|i\rangle\) e \(|f\rangle\) é controlada por um elemento de matriz da perturbação da deformação.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

Este modelo permite que o acoplamento induzido pelo cisalhamento, a mistura de bandas e as regras de seleção influenciem a probabilidade de dispersão. Os potenciais de deformação e o hamiltoniano de deformação relevantes dependem da simetria e da estrutura de bandas do semicondutor; uma única constante escalar universal não consegue descrever todos esses casos.

7. Dispersão acústica em poços quânticos

Num poço quântico, o movimento dos eletrões é confinado na direção do crescimento (considerada aqui como \(z\)), enquanto os portadores de carga permanecem livres para se mover no plano. Um estado eletrónico pode ser representado esquematicamente como o produto de uma onda plana no plano e uma função de onda de envoltória confinada. A sua resposta a um fonão acústico depende do grau de sobreposição entre os estados iniciais e finais confinados.

No caso de um potencial de deformação escalar, o fator de confinamento relevante tem a seguinte forma:

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

Aqui, \(q_z\) representa a componente do vetor de onda do fonão perpendicular ao poço quântico, e \(\psi_i\) e \(\psi_f\) são funções de onda eletrónicas confinadas. O fator oscilatório representa a variação do fonão ao longo do poço quântico. O mesmo princípio físico aplica-se a funções de onda multicomponentes, onde o potencial de deformação escalar é substituído por um Hamiltoniano de deformação adequado.

Os fónons acústicos são vibrações tridimensionais, mesmo quando os estados eletrónicos são bidimensionais. Na descrição habitual dos fónons em volume de um poço quântico, um portador pode trocar momento no plano \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\) e, ao mesmo tempo, interagir com uma componente do fónon fora do plano \(q_z\). Isto torna a sobreposição do confinamento importante tanto para as transições intra-sub-banda como para as transições inter-sub-banda. Podem ser necessárias descrições alternativas para membranas independentes ou outras estruturas com fónons fortemente confinados.

8. Da regra de ouro de Fermi a uma taxa de espalhamento.

A probabilidade de uma transição assistida por fonões decorre da regra de ouro de Fermi. Para um estado eletrónico inicial \(i\), a taxa total de dispersão é obtida através da soma de todos os estados finais permitidos, ramos de fonões e vetores de onda de fonões:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

O primeiro termo descreve a absorção e o segundo, a emissão. As funções delta de Dirac garantem a conservação da energia; o momento cristalino é conservado através da relação entre os vetores de onda eletrónicos e de fonões. Em sistemas degenerados, a ocupação dos estados eletrónicos finais também é relevante, introduzindo fatores de bloqueio de Pauli.

Na aproximação elástica de alta temperatura, as duas contribuições convergem para um único processo de espalhamento de energia igual, com o elemento da matriz térmica discutido acima. Para uma dispersão eletrónica geral \(E_b(\mathbf k)\), os estados finais disponíveis encontram-se na mesma linha ou superfície de energia:

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Isto realça uma distinção importante: o espalhamento acústico é influenciado pela densidade e geometria dos estados eletrónicos acessíveis, bem como pelo acoplamento de fonões. Assim, as bandas não parabólicas ou anisotrópicas podem apresentar taxas de espalhamento dependentes da energia, que são bastante diferentes do resultado bem conhecido da massa efetiva isotrópica.

9. Tempo de espalhamento, tempo de transporte e mobilidade.

Nem todas as colisões são igualmente eficazes na redução da corrente elétrica. Uma colisão que apenas altera ligeiramente a direção do movimento pode contribuir para a taxa total de dispersão, mas afeta o momento de forma pouco significativa. Para uma banda isotrópica, essa distinção é frequentemente representada por um fator de ponderação de transporte:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

onde \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) é a taxa de transição e \(\theta\) é o ângulo de espalhamento. O espalhamento para a frente tem pouco efeito no relaxamento do momento, enquanto o espalhamento para trás contribui de forma mais significativa. Para materiais anisotrópicos ou com múltiplas bandas, um tratamento completo do relaxamento do momento ou da velocidade pode ser mais complexo do que este simples fator angular.

Na aproximação elementar do tempo de relaxamento da banda parabólica, a mobilidade é:

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

Os dispositivos reais geralmente contêm portadores de carga com uma variedade de energias e podem apresentar várias bandas ou subbandas ocupadas. A condutividade envolve, então, a distribuição dos portadores, as velocidades de grupo e o tempo de vida do transporte, que depende da energia. O espalhamento acústico de fónons é apenas uma das contribuições, juntamente com impurezas, rugosidade da interface e fónons óticos, que podem limitar a mobilidade final. Consulte a documentação sobre estrutura de bandas e mobilidade para obter uma visão mais ampla da modelagem do transporte em semicondutores.

10. Em que situações o modelo acústico simples se torna insuficiente?

As aproximações do potencial de deformação e da equipartição oferecem uma descrição valiosa da dispersão acústica, mas as suas premissas devem ser tidas em conta. A baixas temperaturas, a população de fónons e a energia dos fónons que podem dispersar eletrões devem ser tratadas com cuidado; o regime de Bloch-Grüneisen pode desviar-se significativamente do cenário de alta temperatura. Uma forte anisotropia, o acoplamento multibanda e o confinamento quântico podem alterar as regras de seleção da dispersão. Outras interações acústicas, nomeadamente a dispersão piezoelétrica em cristais não centrosimétricos, resultam de um acoplamento físico diferente e não devem ser confundidas com a dispersão do potencial de deformação.

O resultado principal é que os fónons acústicos dispersam os portadores de carga, produzindo uma deformação da rede cristalina que varia com o tempo. A intensidade da interação depende da forma como os estados eletrónicos reagem à deformação, da forma como o cristal suporta as ondas sonoras, dos estados finais disponíveis para os portadores de carga e da eficácia com que cada transição relaxa o momento. Estes princípios aplicam-se tanto aos semicondutores em massa como aos poços quânticos e aos sistemas eletrónicos multibanda.