Dispersión de fonones acústicos en semiconductores

1. ¿Qué es la dispersión de fonones acústicos?

Los átomos que se encuentran en el interior de un semiconductor no están inmóviles. Vibran alrededor de sus posiciones habituales, y estas vibraciones pueden propagarse a través del cristal de forma similar a como el sonido se propaga a través del aire. En la física cuántica, un paquete de vibración de la red se denomina fonón. Un fonón acústico es la descripción cuántica de una onda similar al sonido que se propaga a través del cristal.

La figura ?? muestra los dos tipos básicos de vibración acústica. En una onda acústica longitudinal (OAL), los átomos se mueven hacia adelante y hacia atrás en la dirección en la que se propaga la onda. Esto crea regiones en movimiento en las que la red cristalina se comprime o se estira. En una onda acústica transversal (OAT), los átomos se mueven lateralmente, perpendicular a la dirección de propagación. Esto produce un movimiento de cizallamiento en lugar de un simple cambio de volumen. Un cristal tridimensional suele tener una rama acústica longitudinal y dos ramas acústicas transversales; en los materiales anisótropos, los movimientos pueden combinarse.

¿Por qué son importantes estas vibraciones para un electrón? Al comprimir, estirar o deformar ligeramente un cristal, se modifica el entorno que experimentan sus portadores de carga. Por lo tanto, una vibración que se propaga produce una perturbación en movimiento en las energías electrónicas del semiconductor. Un electrón o una laguna que interactúa con esta perturbación puede cambiar la dirección en la que se mueve. Esto se conoce como dispersión acústica de fonones.

La dispersión no implica necesariamente que un portador de carga pierda mucha energía. Los fonones acústicos suelen intercambiar solo una pequeña cantidad de energía con un electrón, pero aún así pueden cambiar su dirección de manera significativa. Esto es importante porque cambiar la dirección repetidamente dificulta que los portadores de carga se muevan de forma constante a través de un dispositivo, lo que reduce su movilidad. La figura ??, que se presenta más adelante en este tutorial, ilustra por qué un cambio importante en la dirección afecta la movilidad de forma más pronunciada que un cambio pequeño.

Los fonones acústicos existen en materiales como el silicio, el GaAs y el GaN, y dispersan los portadores de carga tanto en los semiconductores convencionales como en los pozos cuánticos. Se diferencian de las vibraciones ópticas que se describen en el documento. Tutorial sobre la técnica de dispersión de Fröhlich: Las ondas acústicas son movimientos de la red cristalina similares al sonido, cuya energía disminuye considerablemente a longitudes de onda elevadas. Las secciones siguientes explican los principios físicos de manera cuantitativa, comenzando por cómo la deformación modifica los niveles de energía de la banda electrónica.

2. Cómo la vibración de una red cristalina dispersa una carga.

Los fonones acústicos son ondas similares al sonido: las longitudes de onda más largas corresponden a frecuencias de vibración más bajas. Para longitudes de onda suficientemente largas, su frecuencia es aproximadamente proporcional a su vector de onda. El mecanismo de dispersión acústica más simple es el acoplamiento del potencial de deformación. Cuando la red cristalina se comprime o se estira, las energías de las bandas electrónicas cambian. Por lo tanto, una onda acústica que pasa crea un potencial que varía espacial y temporalmente y que afecta a los electrones y a las huecas. Para una banda isotrópica, este cambio de energía puede representarse mediante:

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

donde \(\mathbf u\) es el desplazamiento de la red, \(\boldsymbol\varepsilon\) es el tensor de deformación y \(D_{\mathrm{ac}}\) es el potencial de deformación acústica, con unidades de energía. Una onda longitudinal crea una compresión y expansión local, lo que da como resultado un tensor de deformación distinto de cero. Una onda plana puramente transversal tiene un tensor de deformación igual a cero, por lo que no se acopla a través de este término escalar hidrostático. Esto no significa que los fonones acústicos transversales nunca puedan dispersar portadores: los potenciales de deformación anisotrópicos y multibanda también pueden acoplarse a la deformación por cizallamiento.

En términos más generales, el tensor de deformación simétrico es:

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

El hamiltoniano electrónico inducido por la deformación puede contener varios potenciales de deformación independientes en lugar de una única constante. Estas descripciones se vuelven importantes para los valles anisotrópicos de la banda de conducción y las bandas de valencia con carácter orbital y de espín mixto.

3. Ocupación de fonones y la aproximación elástica.

Los fonones acústicos pueden modificar tanto la energía como la dirección de un portador. La figura ?? ilustra estos dos efectos antes de que presentemos su descripción matemática.

Un portador puede absorber un fonón acústico, ganando energía \(\hbar\omega_\lambda\), o emitir uno, perdiendo la misma energía. El número medio de fonones en un modo a una temperatura de la red \(T\) se calcula mediante la distribución de Bose-Einstein:

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

La absorción es proporcional a \(N_{\mathbf q\lambda}\), mientras que la emisión es proporcional a \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). La unidad adicional representa la emisión espontánea. A una temperatura suficientemente alta para que los fonones transporten la mayor parte del momento, \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), la ocupación tiende a...

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

Las energías de los fonones acústicos suelen ser pequeñas en comparación con las energías de los portadores relevantes, lo que permite aplicar la aproximación cuasi-elástica de la equipartición \(E_f\simeq E_i\). La absorción y la emisión contribuyen entonces a las transiciones entre estados electrónicos de energía aproximadamente igual. Se trata de una aproximación, no de una afirmación de que los fonones acústicos no transportan energía. Esta aproximación es menos fiable a bajas temperaturas, a altos vectores de onda de los fonones o cuando la energía intercambiada es comparable a la energía de los portadores.

4. Elemento de la matriz del potencial de deformación

En el modelo isotrópico de onda larga, un fonón acústico longitudinal interactúa con un portador a través del potencial de deformación. Para un estado electrónico de onda plana, la interacción con un solo fonón tiene la magnitud estándar.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

donde \(\rho\) es la densidad de masa y \(V\) es el volumen de normalización de los fonones. Para estados electrónicos más generales, el acoplamiento también incluye una superposición entre las funciones de onda inicial y final. Por lo tanto, la intensidad de la dispersión depende tanto de la vibración de la red cristalina como de las características de la banda electrónica.

La combinación de la absorción y la emisión de fonones en el límite cuasi-elástico de alta temperatura produce un resultado especialmente útil para la contribución longitudinal isotrópica:

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

donde \(\mathcal F_{if}\) representa el factor de superposición adecuado para el estado electrónico. Esta expresión muestra por qué la dispersión acústica suele aumentar a medida que aumenta la temperatura. También indica que la dispersión depende del potencial de deformación, la densidad del cristal y la respuesta elástica, y no solo de un parámetro de movilidad ajustable.

5. Modos acústicos longitudinales, transversales y anisotrópicos.

El sonido se propaga a diferentes velocidades a lo largo de distintas direcciones cristalográficas en muchos semiconductores. Las frecuencias acústicas y las polarizaciones de desplazamiento se derivan del tensor de rigidez elástica del cristal \(C_{ijkl}\). En la descripción del continuo, se obtienen a partir de la ecuación de Christoffel:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Los autovalores determinan las velocidades del sonido, mientras que los autovectores \(\mathbf e^{(\lambda)}\) determinan las polarizaciones de los fonones. Estas polarizaciones especifican qué combinaciones de compresión y cizallamiento se producen en cada modo, y, por lo tanto, qué posibles interacciones de potencial de deformación existen.

En el caso de un cristal cúbico, la respuesta elástica se describe mediante tres módulos de elasticidad independientes, que se suelen designar como \(C_{11}\), \(C_{12}\) y \(C_{44}\). Un cristal hexagonal de tipo wurtzita requiere módulos de elasticidad independientes adicionales, ya que la respuesta a lo largo del eje \(c\) del cristal suele ser diferente de la respuesta en el plano basal. Por lo tanto, la anisotropía elástica puede hacer que las tasas de dispersión y la dirección de la movilidad dependan de la dirección, incluso antes de considerar la anisotropía de la banda electrónica.

6. Potenciales de deformación para diferentes bandas electrónicas.

El potencial de deformación escalar es un buen punto de partida, pero los semiconductores reales pueden tener múltiples bandas, valles y componentes de función de onda. En estos materiales, la tensión acústica puede desplazar, dividir o combinar los estados electrónicos.

Valles de la banda de conducción en el silicio: la respuesta de un valle depende de su orientación. Una descripción común distingue entre un potencial de deformación hidrostática \(\Xi_d\) y un término uniaxial \(\Xi_u\):

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

donde \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) es el vector unitario que define el eje del valle. En consecuencia, la deformación puede afectar de manera diferente a los valles a lo largo de distintos ejes cristalinos.

Bandas de valencia y semiconductores de múltiples bandas: los estados de agujeros pesados, agujeros ligeros y estados con interacción espín-órbita responden a la deformación por cizallamiento y a la deformación uniaxial, así como a la deformación hidrostática. El hamiltoniano de deformación de Bir-Pikus proporciona una descripción estándar para los sistemas de tipo zincblenda y otros sistemas de múltiples bandas. La probabilidad de dispersión entre los estados \(|i\rangle\) y \(|f\rangle\) está controlada por un elemento de matriz de la perturbación debida a la deformación.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

Este modelo permite que el acoplamiento inducido por el cizallamiento, la mezcla de bandas y las reglas de selección influyan en la probabilidad de dispersión. Los potenciales de deformación y el hamiltoniano de deformación pertinentes dependen de la simetría y la estructura de bandas del semiconductor; una única constante escalar universal no puede describir todos estos casos.

7. Dispersión acústica en pozos cuánticos.

En un pozo cuántico, el movimiento de los electrones está restringido en la dirección de crecimiento (que en este caso se considera \(z\)), mientras que las cargas pueden moverse libremente en el plano. Un estado electrónico puede representarse esquemáticamente como el producto de una onda plana en el plano y una función de onda de envolvente confinada. Su respuesta a un fonón acústico depende de la superposición de los estados inicial y final confinados.

Para un potencial de deformación escalar, el factor de confinamiento relevante tiene la siguiente forma:

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

Aquí, \(q_z\) representa la componente del vector de onda del fonón que es perpendicular al pozo, y \(\psi_i\) y \(\psi_f\) son funciones de onda electrónicas confinadas. El factor oscilatorio representa la variación del fonón a lo largo del pozo. El mismo principio físico se aplica a las funciones de onda multicomponente, donde el potencial de deformación escalar se sustituye por un hamiltoniano de deformación adecuado.

Los fonones acústicos son vibraciones tridimensionales, incluso cuando los estados electrónicos son bidimensionales. En la descripción habitual de los fonones en un pozo cuántico, un portador puede intercambiar momento en el plano \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\) y, al mismo tiempo, interactuar con un componente de fonón fuera del plano \(q_z\). Esto hace que la superposición del confinamiento sea importante tanto para las transiciones intrasubbanda como para las intersubbanda. Podrían ser necesarias descripciones alternativas para membranas independientes u otras estructuras con fonones fuertemente confinados.

8. De la regla de oro de Fermi a una tasa de dispersión.

La probabilidad de una transición asistida por fonones se deriva de la regla de oro de Fermi. Para un estado electrónico inicial \(i\), la tasa total de dispersión se obtiene sumando sobre los estados finales permitidos, las ramas de fonones y los vectores de onda de los fonones:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

El primer término describe la absorción y el segundo, la emisión. Las funciones delta de Dirac garantizan la conservación de la energía; el momento cristalino se conserva a través de la relación entre los vectores de onda electrónicos y de fonones. En los sistemas degenerados, también es importante la ocupación de los estados electrónicos finales, lo que introduce factores de bloqueo de Pauli.

En la aproximación elástica a alta temperatura, las dos contribuciones convergen en un único proceso de dispersión con energía igual, que involucra el elemento de matriz térmica mencionado anteriormente. Para una dispersión electrónica general \(E_b(\mathbf k)\), los estados finales disponibles se encuentran en la misma línea o superficie de energía:

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Esto pone de manifiesto una distinción importante: la dispersión acústica se ve influenciada por la densidad y la geometría de los estados electrónicos accesibles, así como por el acoplamiento de fonones. Por lo tanto, las bandas no parabólicas o anisotrópicas pueden tener tasas de dispersión dependientes de la energía que son bastante diferentes del resultado conocido de la masa efectiva isotrópica.

9. Tiempo de dispersión, tiempo de transporte y movilidad.

No todas las colisiones son igualmente eficaces para reducir la corriente eléctrica. Una colisión que apenas modifica la dirección del movimiento puede contribuir a la tasa total de dispersión, pero solo reduce el momento de forma limitada. En el caso de una banda isotrópica, esta diferencia suele representarse mediante un factor de ponderación para el transporte:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

donde \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) es la tasa de transición y \(\theta\) es el ángulo de dispersión. La dispersión directa tiene poco efecto sobre la relajación del momento, mientras que la dispersión inversa contribuye de manera más significativa. En el caso de materiales anisótropos o de múltiples bandas, un análisis completo de la relajación del momento o la velocidad puede ser más complejo que este simple factor angular.

En la aproximación elemental de tiempo de relajación de la banda parabólica, la movilidad es:

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

En general, los dispositivos reales contienen portadores de carga con un rango de energías y pueden tener varias bandas o subbandas ocupadas. La conductividad implica entonces la distribución de los portadores, las velocidades de grupo y el tiempo de vida del transporte, que depende de la energía. La dispersión de fonones acústicos es una de las muchas causas, como las impurezas, la rugosidad de la interfaz y los fonones ópticos, que pueden limitar la movilidad final. Consulte la información adicional. documentación sobre la estructura de bandas y la movilidad para comprender mejor el contexto general de la modelización del transporte de semiconductores.

10. ¿Cuándo resulta insuficiente el modelo acústico simple?

Las aproximaciones del potencial de deformación y la equipartición ofrecen una descripción valiosa de la dispersión acústica, pero es importante tener en cuenta sus supuestos. A bajas temperaturas, la población de fonones y la energía de los fonones que pueden dispersar electrones deben tratarse con cuidado; el régimen de Bloch-Grüneisen puede diferir notablemente del comportamiento a altas temperaturas. Una fuerte anisotropía, el acoplamiento multibanda y el confinamiento cuántico pueden alterar las reglas de selección de la dispersión. Otras interacciones acústicas, en particular la dispersión piezoeléctrica en cristales no centrosimétricos, surgen de un acoplamiento físico diferente y no deben confundirse con la dispersión por potencial de deformación.

El resultado principal es que los fonones acústicos dispersan los portadores al generar una deformación de la red cristalina que varía con el tiempo. La intensidad de la interacción depende de cómo responden los estados electrónicos a la deformación, de cómo el cristal propaga las ondas sonoras, de qué estados finales de los portadores están disponibles y de la eficacia con la que cada transición relaja el momento. Estos principios se aplican tanto a los semiconductores masivos como a los pozos cuánticos y a los sistemas electrónicos de múltiples bandas.