Rozpraszanie fononów akustycznych w półprzewodnikach

1. Na czym polega rozpraszanie fononów akustycznych?

Atomy wewnątrz półprzewodnika nie pozostają w bezruchu. Wibrują wokół swoich zwyczajowych pozycji, a te wibracje mogą rozprzestrzeniać się w krysztale w sposób podobny do rozchodzenia się dźwięku w powietrzu. W fizyce kwantowej pakiet wibracji sieci krystalicznej nazywany jest fononem. Akustyczny fonon to kwantowy opis fali przypominającej dźwięk, która rozchodzi się w krysztale.

Na rysunku ?? przedstawiono dwa podstawowe rodzaje drgań akustycznych. W przypadku podłużnej fali akustycznej (LA) atomy poruszają się wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, to znaczy do przodu i do tyłu. Powoduje to powstawanie obszarów, w których sieć krystaliczna jest ściskana lub rozciągana. W przypadku poprzecznej fali akustycznej (TA) atomy poruszają się na boki, prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. W rezultacie powstaje ruch ścinający, a nie tylko prosta zmiana objętości. Trójwymiarowy kryształ zazwyczaj posiada jedną gałąź podłużnych i dwie gałęzie poprzecznych drgań akustycznych; w materiałach anizotropowych ruchy te mogą się mieszać.

Dlaczego te wibracje są ważne dla elektronu? Niewielkie ściskanie, rozciąganie lub ścinanie kryształu powoduje niewielką zmianę w otoczeniu, w którym znajdują się nośniki ładunku. Przesuwająca się wibracja generuje zatem ruchome zaburzenie w energiach elektronowych półprzewodnika. Elektron lub dziura, oddziałując z tym zaburzeniem, może zmienić kierunek swojego ruchu. To zjawisko nazywa się rozpraszaniem na fononach akustycznych.

Rozpraszanie niekoniecznie oznacza, że nośnik traci dużo energii. Fony akustyczne zazwyczaj wymieniają z elektronem tylko niewielką ilość energii, ale mogą nadal znacząco zmieniać jego kierunek. Ma to znaczenie, ponieważ wielokrotna zmiana kierunku utrudnia nośnikom płynne przemieszczanie się w urządzeniu, co zmniejsza ich ruchliwość. Na ilustracji ??, która znajduje się w dalszej części tego samouczka, przedstawiono, dlaczego duża zmiana kierunku wpływa na ruchliwość bardziej niż niewielka zmiana.

Fale akustyczne występują w materiałach takich jak krzem, arsenek galu i azotek galu i powodują rozpraszanie nośników zarówno w materiałach półprzewodnikowych, jak i w strukturach kwantowych. Różnią się one od fal optycznych, o których mowa w instrukcji dotyczącej rozpraszania Fröhlicha: fale akustyczne to ruchy sieci krystalicznej przypominające dźwięk, których energia staje się bardzo mała przy dużych długościach fal. W poniższych sekcjach omówiono aspekty fizyczne w sposób ilościowy, począwszy od tego, jak deformacja wpływa na energię pasm elektronowych.

2. W jaki sposób drgania sieci krystalicznej rozpraszają nośniki ładunku.

Fale akustyczne to fale przypominające dźwięk: dłuższe długości fal odpowiadają niższym częstotliwościom drgań. Dla wystarczająco długich długości fal ich częstotliwość jest w przybliżeniu proporcjonalna do ich wektora falowego. Najprostszym mechanizmem rozpraszania akustycznego jest sprzężenie potencjału deformacji. Gdy sieć krystaliczna jest ściskana lub rozciągana, zmieniają się energie pasm elektronowych. Przechodząca fala akustyczna tworzy zatem potencjał, który zmienia się w przestrzeni i czasie, i który oddziałuje na elektrony i dziury. W przypadku izotropowego pasma, tę zmianę energii można przedstawić za pomocą:

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

gdzie \(\mathbf u\) oznacza przemieszczenie w sieci krystalicznej, \(\boldsymbol\varepsilon\) to tensor odkształceń, a \(D_{\mathrm{ac}}\) to potencjał deformacji akustycznej, wyrażony w jednostkach energii. Fala podłużna powoduje lokalne ściskanie i rozszerzanie, co prowadzi do niezerowego śladu tensora odkształceń. Czysta poprzeczna fala płaska ma zerowy ślad tensora odkształceń, dlatego nie oddziałuje poprzez ten skalarny człon hydrostatyczny. Nie oznacza to jednak, że poprzeczne fonony akustyczne nigdy nie mogą rozpraszać nośników: anizotropowe i wielopasmowe potencjały deformacji mogą również oddziaływać z odkształceniem ścinającym.

Ogólnie rzecz biorąc, tensor odkształceń symetrycznych ma postać:

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

Indukowane naprężeniami hamiltoniany elektronowe mogą zawierać kilka niezależnych potencjałów deformacji, a nie tylko jedną stałą wartość. Takie opisy stają się istotne w przypadku anizotropowych dolin pasma przewodnictwa oraz pasm walencyjnych o mieszanym charakterze orbitalnym i spinowym.

3. Zajętość stanów przez fonony i przybliżenie sprężystościowe

Fony akustyczne mogą zmieniać zarówno energię, jak i kierunek ruchu nośnika. Rysunek ?? przedstawia te dwa efekty, zanim przejdziemy do ich matematycznego opisu.

Nośnik może pochłaniać fonon akustyczny, zyskując energię \(\hbar\omega_\lambda\), lub emitować go, tracąc tę samą energię. Średnia liczba fononów w danym modzie w temperaturze sieci krystalicznej \(T\) jest określana przez rozkład Bosego-Einsteina:

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

Absorpcja jest proporcjonalna do \(N_{\mathbf q\lambda}\), natomiast emisja jest proporcjonalna do \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). Dodatkowa jedność reprezentuje spontaniczną emisję. Przy wystarczająco wysokiej temperaturze, przy której fonony przenoszą większość pędu, \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), prawdopodobieństwo zajętości zbliża się do

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

Energia fononów akustycznych jest zazwyczaj niewielka w porównaniu z energią nośników ładunku, co umożliwia zastosowanie przybliżenia quasi-elastycznego i równomiernego rozkładu energii \(E_f\simeq E_i\). Absorpcja i emisja przyczyniają się wówczas do przejść między stanami elektronicznymi o zbliżonej energii. Jest to przybliżenie, a nie stwierdzenie, że fonony akustyczne nie przenoszą energii. Przybliżenie to staje się mniej wiarygodne w niskich temperaturach, przy dużych wektorach fal fononów lub gdy energia wymieniana jest porównywalna z energią nośników ładunku.

4. Element macierzy potencjału deformacji

W izotropowym modelu o długich falach, podłużny fonon akustyczny oddziałuje z nośnikiem ładunku poprzez potencjał deformacji. W przypadku płaskiej fali elektronowej, oddziaływanie pojedynczego fononu ma standardową wartość.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

gdzie \(\rho\) oznacza gęstość masy, a \(V\) – objętość normalizacji fononów. W przypadku bardziej ogólnych stanów elektronowych sprzężenie obejmuje również nakładanie się funkcji fal początkowej i końcowej. W związku z tym siła rozpraszania zależy zarówno od drgań sieci krystalicznej, jak i od charakteru pasma elektronowego.

Połączenie absorpcji i emisji fononów w wysokotemperaturowym, quasi-elastycznym zakresie daje szczególnie użyteczny wynik dla izotropowego wkładu wzdłużnego:

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

gdzie \(\mathcal F_{if}\) oznacza odpowiedni współczynnik nakładania się funkcji falowych dla danego stanu elektronowego. To równanie pokazuje, dlaczego rozpraszanie akustyczne zazwyczaj nasila się wraz ze wzrostem temperatury. Ukazuje również, że rozpraszanie zależy od potencjału deformacji, gęstości kryształu i reakcji sprężystej, a nie tylko od regulowanego parametru ruchliwości.

5. Podłużne, poprzeczne i anizotropowe mody akustyczne

W wielu półprzewodnikach prędkość rozchodzenia się dźwięku jest różna w zależności od kierunku w strukturze krystalicznej. Częstotliwości akustyczne i polaryzacje przemieszczeń wynikają z tensora sztywności sprężystej kryształu \(C_{ijkl}\). W opisie ciągłym można je wyznaczyć z równania Christoffela:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Wartości własne określają prędkości dźwięku, natomiast wektory własne \(\mathbf e^{(\lambda)}\) określają polaryzacje fononów. Polaryzacje te wskazują, jakie kombinacje ściskania i ścinania są generowane przez poszczególne mody, a tym samym, jakie możliwe są oddziaływania potencjałów deformacyjnych.

W przypadku kryształu o strukturze kubicznej, jego właściwości sprężyste opisują trzy niezależne współczynniki sztywności, oznaczane konwencjonalnie jako \(C_{11}\), \(C_{12}\) i \(C_{44}\). Kryształ wurtzyt o strukturze heksagonalnej wymaga dodatkowych, niezależnych stałych sprężystości, ponieważ reakcja na oddziaływanie wzdłuż osi \(c\) kryształu zazwyczaj różni się od reakcji w płaszczyźnie podstawowej. W związku z tym, anizotropia sprężystości może powodować, że szybkość rozpraszania i kierunek ruchliwości będą zależały od kierunku, jeszcze zanim uwzględni się anizotropię pasm elektronowych.

6. Potencjały deformacji dla różnych pasm elektronowych

Skalarny potencjał deformacji stanowi dobry punkt wyjścia, ale w rzeczywistych półprzewodnikach mogą występować liczne pasma energetyczne, doliny i składowe funkcji falowej. W takich materiałach naprężenia akustyczne mogą powodować przesunięcie, rozszczepienie lub mieszanie się stanów elektronowych.

Doliny pasma przewodnictwa w krzemie: reakcja danej doliny zależy od jej orientacji. Powszechnie stosowany opis rozróżnia potencjał deformacji hydrostatycznej \(\Xi_d\) od członu jednoosiowego \(\Xi_u\):

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

gdzie \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) jest wektorem jednostkowym osi doliny. W związku z tym odkształcenia mogą w różny sposób wpływać na doliny położone wzdłuż różnych osi krystalograficznych.

Pasma walencyjne i półprzewodniki wielopasmowe: stany odpowiadające ciężkim dziurom, lekkim dziurom oraz stany sprzężone ze spinem reagują na odkształcenia ścinające i jednokierunkowe, a także na odkształcenia hydrostatyczne. Hamiltonian odkształceń Bir–Pikusa stanowi standardowy opis dla struktur typu cynkblenda i pokrewnych systemów wielopasmowych. Prawdopodobieństwo rozpraszania między stanami \(|i\rangle\) i \(|f\rangle\) jest kontrolowane przez element macierzowy zaburzenia spowodowanego odkształceniem.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

Ten wzór uwzględnia wpływ sprzężenia wywołanego ścinaniem, mieszania pasm oraz reguł selekcji na prawdopodobieństwo rozpraszania. Odpowiednie potencjały deformacji i hamiltonian odkształceń zależą od symetrii i struktury pasm półprzewodnika; pojedyncza, uniwersalna stała skalarna nie może opisać wszystkich takich przypadków.

7. Akustyczne rozpraszanie w kwantowych studniach potencjału

W strukturze kwantowej, w której elektrony są ograniczone do ruchu w jednym kierunku (w tym przypadku oznaczonym jako \(z\)), nośniki ładunku mogą swobodnie poruszać się w płaszczyźnie. Stan elektronu można schematycznie przedstawić jako iloczyn płaskiej fali w płaszczyźnie i ograniczonej funkcji falowej obwiedni. Jego reakcja na fonon akustyczny zależy od stopnia nakładania się początkowego i końcowego stanu ograniczonego.

W przypadku skalarnych potencjałów deformacji odpowiedni współczynnik ograniczający ma postać:

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

W tym przypadku \(q_z\) oznacza składową wektora falowego fononu, która jest prostopadła do warstwy, a \(\psi_i\) i \(\psi_f\) to ograniczone funkcje falowe elektronów. Oscylujący czynnik reprezentuje zmianę fononu wzdłuż warstwy. Ta sama zasada fizyczna ma zastosowanie również do wieloskładnikowych funkcji falowych, gdzie skalarny potencjał deformacji jest zastępowany odpowiednim hamiltonianem odkształceń.

Fony akustyczne to trójwymiarowe drgania, nawet gdy stany elektronowe są dwuwymiarowe. W standardowym opisie fononów w objętości, stosowanym do opisu studni kwantowej, nośnik może wymieniać pęd w płaszczyźnie \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\), a jednocześnie oddziaływać z komponentą fononu prostopadłą do tej płaszczyzny \(q_z\). To sprawia, że nakładanie się obszarów ograniczenia jest istotne zarówno dla przejść wewnątrzpodpasma, jak i między podpasmem. W przypadku swobodnie zawieszonych membran lub innych struktur o silnie ograniczonych fononach, mogą być potrzebne alternatywne opisy.

8. Od złotego prawa Fermiego do współczynnika rozpraszania

Prawdopodobieństwo przejścia wspomaganego przez fonon wynika ze złotego wzoru Fermiego. Dla początkowego stanu elektronowego \(i\) całkowity współczynnik rozpraszania oblicza się, sumując po dozwolonych stanach końcowych, gałęziach fononowych i wektorach falowych fononów:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

Pierwszy człon opisuje absorpcję, a drugi – emisję. Funkcje delta Diraca zapewniają zachowanie energii; pęd krystaliczny jest zachowywany dzięki zależności między wektorami fal elektronów i fononów. W układach zdegenerowanych istotne jest również zajęcie końcowych stanów elektronowych, co wprowadza czynniki blokowania Pauliego.

W przybliżeniu sprężystym przy wysokiej temperaturze oba składniki zbliżają się do pojedynczego procesu rozpraszania o jednakowej energii, z uwzględnieniem omówionego powyżej elementu macierzowego termicznego. W przypadku ogólnej dyspersji elektronowej \(E_b(\mathbf k)\) dostępne stany końcowe znajdują się na konturze lub powierzchni o tej samej energii:

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Podkreśla to ważną różnicę: rozpraszanie akustyczne zależy od gęstości i geometrii dostępnych stanów elektronicznych, a także od sprzężenia z fononami. W związku z tym, nieparaboliczne lub anizotropowe pasma mogą wykazywać zależne od energii współczynniki rozpraszania, które znacznie różnią się od dobrze znanego izotropowego wyniku związanego z efektywną masą.

9. Czas rozpraszania, czas transportu i ruchliwość.

Nie każde zderzenie jest równie skuteczne w zmniejszaniu natężenia prądu elektrycznego. Zderzenie, które nieznacznie zmienia kierunek ruchu, może wpłynąć na całkowitą szybkość rozpraszania, ale tylko słabo wpływa na zmianę pędu. W przypadku izotropowego pasma różnicę tę często przedstawia się za pomocą współczynnika ważenia transportowego:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

gdzie \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) to współczynnik przejścia, a \(\theta\) to kąt rozpraszania. Rozpraszanie w kierunku do przodu ma niewielki wpływ na relaksację pędu, natomiast rozpraszanie wsteczne ma na nią większy wpływ. W przypadku materiałów anizotropowych lub wielopasmowych, pełna analiza relaksacji pędu lub prędkości może być bardziej złożona niż ta prosta zależność kątowa.

W przybliżeniu elementarnym, opartym na parabolicznej zależności pasma i czasie relaksacji, ruchliwość wynosi

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

W rzeczywistych urządzeniach nośniki ładunku występują przy różnych poziomach energii, a materiał może mieć kilka zajętych pasm lub podpasem. Przewodność zależy wówczas od rozkładu nośników, prędkości grupowej i czasu życia nośników, który jest zależny od energii. Rozpraszanie na fononach akustycznych jest jednym z wielu czynników, takich jak zanieczyszczenia, nierówności na powierzchni i fonony optyczne, które mogą ograniczać ostateczną ruchliwość nośników. Więcej informacji na temat modelowania transportu w półprzewodnikach można znaleźć w dokumentacji struktura pasm i ruchliwość.

10. Kiedy prosty model akustyczny okazuje się niewystarczający?

Przybliżenia związane z potencjałem deformacji i zasadą równomiernego rozkładu energii stanowią użyteczny sposób opisu rozpraszania fal akustycznych, jednak należy pamiętać o założeniach, na których się opierają. W niskich temperaturach należy ostrożnie podchodzić do zagadnień związanych z populacją fononów oraz energią fononów, które mogą rozpraszać elektrony; reżim Blocha-Grüneisena może znacząco odbiegać od obrazu uzyskiwanego w wysokich temperaturach. Silna anizotropia, sprzężenie wielopasmowe i kwantowe ograniczenie mogą zmieniać zasady selekcji rozpraszania. Inne interakcje akustyczne, w szczególności rozpraszanie piezoelektryczne w kryształach niecentrosymetrycznych, wynikają z innego rodzaju sprzężenia fizycznego i nie należy ich mylić z rozpraszaniem opartym na potencjale deformacji.

Głównym wnioskiem jest to, że fonony akustyczne rozpraszają nośniki ładunku, powodując zmianę naprężeń w sieci krystalicznej w czasie. Siła tego oddziaływania zależy od tego, jak stany elektronowe reagują na naprężenia, jak kryształ propaguje fale dźwiękowe, jakie końcowe stany nośników są dostępne oraz jak efektywnie każdy proces relaksuje pęd. Zasady te dotyczą zarówno materiałów półprzewodnikowych, jak i struktur kwantowych oraz układów elektronicznych o wielu pasmach energetycznych.