Ακουστική Διασπορά Φωνονίων σε Ημιαγωγούς

1. Τι είναι η σκέδαση ακουστικών φωνόνων;

Τα άτομα μέσα σε έναν ημιαγωγό δεν είναι ακίνητα. Δονούνται γύρω από τις συνήθεις θέσεις τους και αυτές οι δονήσεις μπορούν να διαδοθούν μέσα από το κρυσταλλικό πλέγμα, παρόμοια με τον τρόπο που ο ήχος διαδίδεται στον αέρα. Στην κβαντική φυσική, ένα πακέτο δονήσεων του κρυσταλλικού πλέγματος ονομάζεται φωνόνιο. Ένα ακουστικό φωνόνιο είναι η κβαντική περιγραφή ενός ηχητικού κύματος που διαδίδεται μέσα από το κρυσταλλικό πλέγμα.

Στο σχήμα ?? απεικονίζονται οι δύο βασικοί τύποι ακουστικών δονήσεων. Σε ένα διαμήκες ακουστικό (LA) κύμα, τα άτομα κινούνται εμπρός και πίσω κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Αυτό δημιουργεί κινούμενες περιοχές στις οποίες το πλέγμα συμπιέζεται ή διαστέλλεται. Σε ένα εγκάρσιο ακουστικό (TA) κύμα, τα άτομα κινούνται πλευρικά, κάθετα προς την κατεύθυνση διάδοσης. Αυτό παράγει μια κίνηση διάτμησης και όχι απλώς μια απλή αλλαγή στον όγκο. Ένας τρισδιάστατος κρύσταλλος έχει συνήθως μία διαμήκη και δύο εγκάρσιες ακουστικές διακλαδώσεις· σε ανισότροπα υλικά, οι κινήσεις μπορούν να συνδυαστούν.

Γιατί έχουν σημασία αυτές οι ταλαντώσεις για ένα ηλεκτρόνιο; Η συμπίεση, η διάταση ή η παραμόρφωση ενός κρυστάλλου αλλάζει ελαφρώς το περιβάλλον που αντιλαμβάνονται τα φορείς φορτίου του. Επομένως, μια ταλαντευόμενη ταλάντωση δημιουργεί μια κινούμενη διαταραχή στις ηλεκτρονικές ενέργειες του ημιαγωγού. Ένα ηλεκτρόνιο ή μια οπή που αλληλεπιδρά με αυτή τη διαταραχή μπορεί να αλλάξει την κατεύθυνση στην οποία κινείται. Αυτό ονομάζεται σκέδαση ακουστικών φωνόνων.

Η διασπορά δεν σημαίνει απαραίτητα ότι ένας φορέας χάνει σημαντική ενέργεια. Οι ακουστικοί φωνόνοι συχνά ανταλλάσσουν μόνο μια μικρή ποσότητα ενέργειας με ένα ηλεκτρόνιο, αλλά μπορούν ακόμα να αλλάξουν σημαντικά την κατεύθυνσή του. Αυτό είναι σημαντικό, επειδή η επαναλαμβανόμενη αλλαγή κατεύθυνσης δυσκολεύει την ομαλή κίνηση των φορέων μέσα σε μια συσκευή, μειώνοντας την κινητικότητά τους. Η εικόνα ?? που θα παρουσιαστεί αργότερα σε αυτό το εκπαιδευτικό υλικό απεικονίζει γιατί μια μεγάλη αλλαγή στην κατεύθυνση επηρεάζει περισσότερο την κινητικότητα από μια μικρή αλλαγή.

Οι ακουστικές φωνόνες υπάρχουν σε υλικά όπως το πυρίτιο, το GaAs και το GaN, και διασκορπίζουν τους φορείς τόσο στους ομοιογενείς ημιαγωγούς όσο και στις κβαντικές περιοχές. Διαφέρουν από τις οπτικές ταλαντώσεις που συζητούνται στο Μάθημα για τη σκέδαση Fröhlich: τα ακουστικά κύματα είναι ταλαντώσεις της κρυσταλλικής δομής που μοιάζουν με ήχο, και η ενέργειά τους γίνεται πολύ μικρή σε μεγάλες αποστάσεις. Οι παρακάτω ενότητες εξηγούν την φυσική αυτών των φαινομένων ποσοτικά, ξεκινώντας από το πώς η παραμόρφωση μετατοπίζει τις ενέργειες των ηλεκτρονικών ζωνών.

2. Πώς μια ταλάντωση πλέγματος διασκορπίζει έναν φορέα.

Οι ακουστικές φωνόνες είναι κύματα που μοιάζουν με τον ήχο: μεγαλύτερα μήκη κύματος αντιστοιχούν σε χαμηλότερες συχνότητες ταλάντωσης. Για επαρκώς μεγάλα μήκη κύματος, η συχνότητά τους είναι κατά προσέγγιση ανάλογη με το διανυσματικό κύμα τους. Ο απλούστερος ακουστικός μηχανισμός σκέδασης είναι η σύζευξη δυναμικού παραμόρφωσης. Όταν το πλέγμα συμπιέζεται ή διαστέλλεται, οι ενέργειες των ηλεκτρονικών ζωνών αλλάζουν. Ένα διερχόμενο ακουστικό κύμα δημιουργεί, επομένως, ένα δυναμικό που μεταβάλλεται χωρικά και χρονικά και το οποίο βιώνουν τα ηλεκτρόνια και οι οπές. Για μια ισότροπη ζώνη, αυτή η μετατόπιση ενέργειας μπορεί να αναπαρασταθεί από

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

όπου \(\mathbf u\) είναι η μετατόπιση του πλέγματος, \(\boldsymbol\varepsilon\) είναι ο τανυστής παραμόρφωσης και \(D_{\mathrm{ac}}\) είναι η ακουστική παραμόρφωση δυναμικού, με μονάδες ενέργειας. Ένα διαμήκες κύμα δημιουργεί τοπική συμπίεση και διαστολή, δίνοντας μια μη μηδενική ίχνη παραμόρφωσης. Ένα καθαρά εγκάρσιο επίπεδο κύμα έχει μηδενική ίχνη παραμόρφωσης, επομένως δεν συνδέεται μέσω αυτού του βαθμωτού υδροστατικού όρου. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι εγκάρσιοι ακουστικοί φωνώνες δεν μπορούν ποτέ να διασκορπίσουν τους φορείς: οι ανισότροποι και πολυζωνικοί δυναμικοί παραμόρφωσης μπορούν επίσης να συνδεθούν με την παραμόρφωση διάτμησης.

Πιο γενικά, ο συμμετρικός τανυστής παραμόρφωσης είναι:

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

Η ηλεκτρονική Χαμιλτονιανή που προκαλείται από την τάση μπορεί να περιέχει αρκετές ανεξάρτητες δυναμικές παραμορφώσεων αντί για μια μόνο σταθερά. Αυτές οι περιγραφές γίνονται σημαντικές για ανισότροπες κοιλάδες της ζώνης αγωγιμότητας και για τις ζώνες σθένους με μικτό τροχιακό και σπιν χαρακτήρα.

3. Κατάληψη των φωνόνων και η ελαστική προσέγγιση.

Οι ακουστικοί φωνόνοι μπορούν να αλλάξουν τόσο την ενέργεια όσο και την κατεύθυνση ενός φορέα. Στο σχήμα ?? απεικονίζονται αυτά τα δύο φαινόμενα, πριν παρουσιάσουμε τη μαθηματική τους περιγραφή.

Ένας φορέας μπορεί να απορροφήσει ένα ακουστικό φωνέμα, αποκτώντας ενέργεια \(\hbar\omega_\lambda\), ή να εκπέμψει ένα, χάνοντας την ίδια ενέργεια. Ο μέσος αριθμός των φωνέμων σε μια συγκεκριμένη συχνότητα σε μια δεδομένη θερμοκρασία πλέγματος \(T\) δίνεται από την κατανομή Bose–Einstein:

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

Η απορρόφηση είναι ανάλογη με το \(N_{\mathbf q\lambda}\), ενώ η εκπομπή είναι ανάλογη με το \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). Η επιπλέον μονάδα αντιπροσωπεύει την αυθόρμητη εκπομπή. Σε επαρκώς υψηλή θερμοκρασία, όπου τα φωνόνια μεταφέρουν το μεγαλύτερο μέρος της ορμής, \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), η πληρότητα πλησιάζει.

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

Οι ενέργειες των ακουστικών φωνόνων είναι συχνά μικρές σε σύγκριση με τις αντίστοιχες ενέργειες των φορέων, γεγονός που επιτρέπει την προσέγγιση της σχεδόν ελαστικής, ισομεριστικής κατανομής \(E_f\simeq E_i\). Η απορρόφηση και η εκπομπή συμβάλλουν στη συνέχεια στις μεταπτώσεις μεταξύ ηλεκτρονικών καταστάσεων με περίπου την ίδια ενέργεια. Αυτή είναι μια προσέγγιση και όχι μια δήλωση ότι τα ακουστικά φωνόνια δεν μεταφέρουν ενέργεια. Γίνεται λιγότερο αξιόπιστη σε χαμηλές θερμοκρασίες, σε υψηλούς διανυσματικούς αριθμούς φωνόνων ή όταν η ανταλλασσόμενη ενέργεια είναι συγκρίσιμη με την ενέργεια του φορέα.

4. Στοιχείο της μήτρας δυναμικού παραμόρφωσης

Στο ισότροπο μοντέλο μεγάλου μήκους κύματος, ένα διαμήκες ακουστικό φωνόνιο αλληλεπιδρά με ένα φορέα μέσω της παραμόρφωσης δυναμικού. Για μια επίπεδη ηλεκτρονική κατάσταση κύματος, η αλληλεπίδραση ενός μόνο φωνονίου έχει το τυπικό μέγεθος.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

όπου \(\rho\) είναι η πυκνότητα μάζας και \(V\) είναι ο όγκος κανονικοποίησης των φωνόνων. Για πιο γενικές ηλεκτρονικές καταστάσεις, η σύζευξη περιλαμβάνει επίσης μια επικάλυψη μεταξύ των αρχικών και τελικών κυματοσυναρτήσεων. Επομένως, η ένταση της σκέδασης εξαρτάται τόσο από τις ταλαντώσεις του πλέγματος όσο και από τον ηλεκτρονικό χαρακτήρα της ζώνης.

Συνδυάζοντας την απορρόφηση και την εκπομπή των φωνόνων στο όριο της σχεδόν ελαστικής συμπεριφοράς σε υψηλές θερμοκρασίες, προκύπτει ένα ιδιαίτερα χρήσιμο αποτέλεσμα για την ισότροπη διαμήκη συνεισφορά:

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

όπου \(\mathcal F_{if}\) συμβολίζει τον κατάλληλο συντελεστή επικάλυψης των ηλεκτρονικών καταστάσεων. Αυτή η έκφραση δείχνει γιατί η ακουστική σκέδαση συνήθως γίνεται ισχυρότερη καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία. Επίσης, δείχνει ότι η σκέδαση εξαρτάται από τη δυναμική παραμόρφωση, την πυκνότητα του κρυστάλλου και την ελαστική απόκριση, και όχι απλώς από μια παραμετρική τιμή κινητικότητας.

5. Διαμήκεις, εγκάρσιες και ανισότροπες ακουστικές διαμορφώσεις.

Ο ήχος διαδίδεται με διαφορετικές ταχύτητες κατά μήκος διαφορετικών κρυσταλλογραφικών διευθύνσεων σε πολλούς ημιαγωγούς. Οι ακουστικές συχνότητες και οι πολώσεις μετατόπισης προκύπτουν από τον τανυστή ελαστικής ακαμψίας του κρυστάλλου \(C_{ijkl}\). Στην περιγραφή του συνεχούς μέσου, αυτές προκύπτουν από την εξίσωση Christoffel:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Οι ιδιοτιμές καθορίζουν τις ταχύτητες του ήχου, ενώ τα ιδιοδιανύσματα \(\mathbf e^{(\lambda)}\) καθορίζουν τις πολώσεις των φωνόνων. Αυτές οι πολώσεις καθορίζουν ποιους συνδυασμούς συμπίεσης και διάτμησης παράγουν κάθε τρόπος, και επομένως ποιες συνδέσεις δυναμικού παραμόρφωσης είναι δυνατές.

Για έναν κυβικό κρύσταλλο, η ελαστική συμπεριφορά περιγράφεται από τρεις ανεξάρτητες σταθερές ελαστικότητας, οι οποίες συμβολίζονται συνήθως ως \(C_{11}\), \(C_{12}\) και \(C_{44}\). Ένας εξαγωνικός κρύσταλλος τύπου wurtzite απαιτεί επιπλέον ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές, επειδή η συμπεριφορά κατά μήκος του άξονα \(c\) του κρυστάλλου διαφέρει γενικά από τη συμπεριφορά στην βασική επιφάνεια. Η ελαστική ανισοτροπία μπορεί, επομένως, να καταστήσει τις ταχύτητες σκέδασης και την κινητικότητα εξαρτώμενες από την κατεύθυνση, ακόμη και πριν ληφθεί υπόψη η ανισοτροπία της ηλεκτρονικής ζώνης.

6. Δυναμικά παραμόρφωσης για διαφορετικές ηλεκτρονικές ζώνες.

Η κλιμακωτή παραμόρφωση δυναμικού αποτελεί ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης, αλλά τα πραγματικά ημιαγωγά μπορεί να έχουν πολλαπλές ζώνες, κοιλάδες και συνιστώσες κυματοσυνάρτησης. Σε αυτά τα υλικά, η ακουστική παραμόρφωση μπορεί να μετατοπίσει, να διαχωρίσει ή να αναμίξει τις ηλεκτρονικές καταστάσεις.

Ελάχιστα σημεία της ζώνης αγωγιμότητας στο πυρίτιο: Η απόκριση ενός ελαχίστου σημείου εξαρτάται από τον προσανατολισμό του. Μια κοινή περιγραφή διαχωρίζει μια υδροστατική παραμόρφωση δυναμικού \(\Xi_d\) από έναν μοναξονικό όρο \(\Xi_u\):

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

όπου \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα της κοιλάδας. Ως εκ τούτου, η παραμόρφωση μπορεί να επηρεάσει διαφορετικά τις κοιλάδες κατά μήκος διαφόρων κρυσταλλικών αξόνων.

Ζώνες σθένους και ημιαγωγοί πολλαπλών ζωνών: Οι καταστάσεις βαριάς οπής, ελαφριάς οπής και οι καταστάσεις που συνδέονται με την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς ανταποκρίνονται στην παραμόρφωση διάτμησης και στην μονοαξονική παραμόρφωση, καθώς και στην υδροστατική παραμόρφωση. Η ομογενοποιημένη συνάρτηση παραμόρφωσης Bir–Pikus παρέχει μια τυπική περιγραφή για τις δομές τύπου σφαλερίτη και τις σχετικές δομές πολλαπλών ζωνών. Η πιθανότητα σκέδασης μεταξύ των καταστάσεων \(|i\rangle\) και \(|f\rangle\) ελέγχεται από ένα στοιχείο μήτρας της διαταραχής που προκαλείται από την παραμόρφωση.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

Αυτή η μορφή επιτρέπει στην επαγόμενη από τη διάτμηση σύζευξη, στην ανάμιξη των ζωνών και στους κανόνες επιλογής να επηρεάσουν την πιθανότητα σκέδασης. Τα σχετικά δυναμικά παραμόρφωσης και η Χαμιλτονιανή της τάσης εξαρτώνται από τη συμμετρία και τη δομή των ζωνών του ημιαγωγού· μια ενιαία, καθολική σταθερά δεν μπορεί να περιγράψει όλες αυτές τις περιπτώσεις.

7. Ακουστική διασπορά σε κβαντικά πηγάδια.

Σε μια κβαντική πηγή, η ηλεκτρονική κίνηση περιορίζεται στην κατεύθυνση ανάπτυξης (η οποία εδώ θεωρείται ως \(z\)), ενώ οι φορείς παραμένουν ελεύθεροι να κινούνται στο επίπεδο. Μια ηλεκτρονική κατάσταση μπορεί να γραφτεί σχηματικά ως γινόμενο ενός επίπεδου κύματος στο επίπεδο και μιας περιορισμένης κυματοσυνάρτησης περιβάλλουσας. Η απόκρισή της σε ένα ακουστικό φωνέμα εξαρτάται από την επικάλυψη των αρχικών και τελικών περιορισμένων καταστάσεων.

Για μια κλιμακωτή συνάρτηση παραμόρφωσης, ο σχετικός παράγοντας περιορισμού έχει την εξής μορφή:

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

Εδώ, το \(q_z\) είναι η συνιστώσα του διανύσματος της κυματικής συνάρτησης των φωνόνων που είναι κάθετη στην περιοχή του κβαντικού πηγαδιού, και τα \(\psi_i\) και \(\psi_f\) είναι περιορισμένες ηλεκτρονικές κυματικές συναρτήσεις. Ο ταλαντευόμενος παράγοντας αντιπροσωπεύει τη μεταβολή των φωνόνων σε όλη την περιοχή του κβαντικού πηγαδιού. Η ίδια φυσική αρχή επεκτείνεται και στις πολυπολυμερείς κυματικές συναρτήσεις, όπου το βαθμωτό δυναμικό παραμόρφωσης αντικαθίσταται από ένα κατάλληλο χαμιλτονιανό τάσης.

Οι ακουστικοί φωνόνοι είναι τρισδιάστατες ταλαντώσεις, ακόμη και όταν οι ηλεκτρονικές καταστάσεις είναι δισδιάστατες. Στην συνήθη περιγραφή των ογκώδων φωνόνων μιας κβαντικής πηγάδας, ένα φορέας μπορεί να ανταλλάξει ορμή στο επίπεδο \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\), ενώ παράλληλα αλληλεπιδρά με μια φωνονική συνιστώσα εκτός του επιπέδου \(q_z\). Αυτό καθιστά την επικάλυψη περιορισμού σημαντική τόσο για τις ενδο-υποζωνικές όσο και για τις δια-υποζωνικές μεταπτώσεις. Μπορεί να απαιτούνται εναλλακτικές περιγραφές για τις αυτόνομες μεμβράνες ή άλλες δομές με έντονα περιορισμένους φωνόνους.

8. Από τον χρυσό κανόνα του Φέρμι σε έναν ρυθμό σκέδασης.

Η πιθανότητα μιας μετάπτωσης που διευκολύνεται από φωνόνιο προκύπτει από τον χρυσό κανόνα του Fermi. Για μια αρχική ηλεκτρονική κατάσταση \(i\), ο συνολικός ρυθμός σκέδασης λαμβάνεται αθροίζοντας τις επιτρεπόμενες τελικές καταστάσεις, τις διακλαδώσεις των φωνονίων και τα διανύσματα των φωνονίων:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

Ο πρώτος όρος περιγράφει την απορρόφηση και ο δεύτερος την εκπομπή. Οι συναρτήσεις Dirac delta επιβάλλουν τη διατήρηση της ενέργειας· η ορμή του κρυστάλλου διατηρείται μέσω της σχέσης μεταξύ των διανυσμάτων των ηλεκτρονικών και των φωνονικών κυμάτων. Στα εκφυλισμένα συστήματα, η πληρότητα των τελικών ηλεκτρονικών καταστάσεων έχει επίσης σημασία, εισάγοντας παράγοντες αποκλεισμού Pauli.

Στην προσέγγιση ελαστικής συμπεριφοράς σε υψηλές θερμοκρασίες, οι δύο συνεισφορές συγκλίνουν σε μια ενιαία διαδικασία σκέδασης με ίση ενέργεια, η οποία περιλαμβάνει το θερμικό στοιχείο της μήτρας που αναφέρθηκε παραπάνω. Για μια γενική ηλεκτρονική διασπορά \(E_b(\mathbf k)\), οι διαθέσιμες τελικές καταστάσεις βρίσκονται στην ίδια ενεργειακή καμπύλη ή επιφάνεια:

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Αυτό υπογραμμίζει μια σημαντική διάκριση: η ακουστική διασπορά επηρεάζεται από την πυκνότητα και τη γεωμετρία των προσβάσιμων ηλεκτρονικών καταστάσεων, καθώς και από τη σύζευξη των φωνόνων. Επομένως, οι μη παραβολικές ή ανισότροπες ζώνες μπορούν να έχουν ρυθμούς διασποράς που εξαρτώνται από την ενέργεια και διαφέρουν σημαντικά από το γνωστό ισότροπο αποτέλεσμα της αποτελεσματικής μάζας.

9. Χρόνος διασποράς, χρόνος μεταφοράς και κινητικότητα.

Δεν είναι όλες οι συγκρούσεις εξίσου αποτελεσματικές στη μείωση του ηλεκτρικού ρεύματος. Μια σύγκρουση που αλλάζει ελάχιστα την κατεύθυνση της κίνησης μπορεί να συμβάλλει στον συνολικό ρυθμό σκέδασης, αλλά να επηρεάζει ασθενώς την ορμή. Για μια ισοτροπική ζώνη, αυτή η διάκριση συχνά αναπαρίσταται με έναν παράγοντα βαρύτητας μεταφοράς:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

όπου \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) είναι ο ρυθμός μετάπτωσης και \(\theta\) είναι η γωνία σκέδασης. Η εμπρόσθια σκέδαση έχει μικρή επίδραση στη χαλάρωση της ορμής, ενώ η οπίσθια σκέδαση συμβάλλει περισσότερο. Για ανισότροπα ή πολυζωνικά υλικά, μια πλήρης ανάλυση της χαλάρωσης της ορμής ή της ταχύτητας μπορεί να είναι πιο περίπλοκη από αυτόν τον απλό παράγοντα γωνίας.

Στην απλή προσέγγιση του χρόνου χαλάρωσης της παραβολικής ζώνης, η κινητικότητα είναι

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

Στις πραγματικές συσκευές, συνήθως υπάρχουν φορείς σε ένα εύρος ενεργειών και μπορεί να υπάρχουν αρκετές κατειλημμένες ζώνες ή υποζώνες. Η αγωγιμότητα, στη συνέχεια, περιλαμβάνει την κατανομή των φορέων, τις ομαδικές ταχύτητες και τον χρόνο ζωής της μεταφοράς, ο οποίος εξαρτάται από την ενέργεια. Η σκέδαση από ακουστικά φωνόνια είναι μία από τις συνεισφορές, μαζί με άλλες όπως οι ατέλειες, η τραχύτητα της επιφάνειας και τα οπτικά φωνόνια, που μπορούν να περιορίσουν την τελική κινητικότητα. Ανατρέξτε στην τεκμηρίωση για τη δομή ζωνών και την κινητικότητα για το ευρύτερο πλαίσιο της μοντελοποίησης της μεταφοράς ημιαγωγών.

10. Πότε το απλό ακουστικό μοντέλο δεν είναι επαρκές;

Οι προσεγγίσεις δυναμικού παραμόρφωσης και ισοκατανομής προσφέρουν μια πολύτιμη περιγραφή της ακουστικής σκέδασης, αλλά οι υποθέσεις τους πρέπει να λαμβάνονται υπόψη. Σε χαμηλές θερμοκρασίες, ο πληθυσμός των φωνόνων και η ενέργεια των φωνόνων που μπορούν να διασκορπίσουν τα ηλεκτρόνια πρέπει να αντιμετωπίζονται προσεκτικά· το καθεστώς Bloch-Grüneisen μπορεί να αποκλίνει σημαντικά από την εικόνα υψηλής θερμοκρασίας. Η έντονη ανισοτροπία, η σύζευξη πολλαπλών ζωνών και ο κβαντικός περιορισμός μπορούν να αλλάξουν τους κανόνες επιλογής της σκέδασης. Άλλες ακουστικές αλληλεπιδράσεις, ιδίως η πιέζοηλεκτρική σκέδαση σε μη κεντροσυμμετρικούς κρυστάλλους, προέρχονται από μια διαφορετική φυσική σύζευξη και δεν πρέπει να συγχέονται με τη σκέδαση δυναμικού παραμόρφωσης.

Το κύριο συμπέρασμα είναι ότι οι ακουστικοί φωνόνοι διασκορπίζουν τους φορείς φορτίου δημιουργώντας χρονικά μεταβαλλόμενη τάση στο πλέγμα. Η ένταση της αλληλεπίδρασης εξαρτάται από το πώς οι ηλεκτρονικές καταστάσεις ανταποκρίνονται στην τάση, από το πώς ο κρύσταλλος υποστηρίζει τους ηχητικούς κυματισμούς, από τις διαθέσιμες τελικές καταστάσεις των φορέων και από το πόσο αποτελεσματικά κάθε μετάβαση χαλαρώνει την ορμή. Αυτές οι αρχές ισχύουν τόσο για τους ομοιογενείς ημιαγωγούς όσο και για τις κβαντικές πηγές και τα συστήματα πολλαπλών ζωνών.