Акустичне розсіювання фононів у напівпровідниках

1. Що таке акустичне розсіювання фононів?

Атоми всередині напівпровідника не перебувають у стані спокою. Вони коливаються навколо своїх звичайних положень, і ці коливання можуть поширюватися кристалом подібно до того, як звук поширюється в повітрі. У квантовій фізиці пакет коливань кристалічної решітки називають фононом. Акустичний фонон – це квантовий опис хвилі, схожої на звук, яка поширюється кристалом.

На рисунку ?? показано два основні типи акустичних коливань. У поздовжній акустичній (ПА) хвилі атоми рухаються вперед і назад у напрямку поширення хвилі. Це створює рухомі області, в яких кристалічна решітка стискається або розтягується. У поперечній акустичній (ППА) хвилі атоми рухаються вбік, перпендикулярно до напрямку поширення. Це призводить до зсувної деформації, а не до простої зміни об’єму. Тривимірна кристалічна решітка зазвичай має одну поздовжню та дві поперечні акустичні гілки; в анізотропних матеріалах ці рухи можуть поєднуватися.

Чому ці коливання мають значення для електрона? Незначне стискання, розтягування або зсув кристалічної решітки дещо змінює середовище, в якому перебувають носії заряду. Відповідно, коливання, що поширюється, створює рухому збурення в електронних енергіях напівпровідника. Електрон або дірка, взаємодіючи з цим збуренням, може змінити напрямок свого руху. Це явище називається розсіюванням акустичними фононами.

Розсіювання не обов’язково означає, що носій заряду втрачає значну кількість енергії. Акустичні фонони часто обмінюються лише невеликою кількістю енергії з електроном, але вони все одно можуть значно змінювати його напрямок. Це важливо, оскільки багаторазові зміни напрямку ускладнюють рух носіїв заряду через пристрій, що зменшує їхню рухливість. На рисунку ??, який наведено нижче в цьому навчальному посібнику, показано, чому значна зміна напрямку впливає на рухливість сильніше, ніж незначна.

Акустичні фонони існують у таких матеріалах, як кремній, арсенід галію та нітрид галію, і вони розсіюють носії заряду як у масивних напівпровідниках, так і в квантових ямах. Вони відрізняються від оптичних коливань, про які йдеться в навчальному посібнику про розсіювання Фрьоліха: акустичні хвилі – це коливання кристалічної решітки, схожі на звук, енергія яких стає дуже малою при великій довжині хвилі. У наступних розділах буде детально описано фізичні принципи, починаючи з того, як деформація впливає на енергію електронних зон.

2. Як коливання кристалічної ґратки розсіює носій заряду.

Акустичні фонони — це хвилі, подібні до звукових: більші довжини хвиль відповідають нижчим частотам коливань. При достатньо великих довжинах хвиль їхня частота приблизно пропорційна їхньому хвильовому вектору. Найпростіший механізм акустичного розсіювання — це зв’язок через деформаційний потенціал. Коли кристалічна ґратка стискається або розтягується, енергії електронних зон змінюються. Отже, акустична хвиля, що проходить, створює потенціал, який змінюється в просторі та часі і впливає на електрони та дірки. Для ізотропної зони цей зсув енергії можна представити у вигляді:

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

де \(\mathbf u\) – зміщення кристалічної ґратки, \(\boldsymbol\varepsilon\) – тензор деформації, а \(D_{\mathrm{ac}}\) – потенціал акустичної деформації, вимірюваний в одиницях енергії. Поздовжня хвиля створює локальне стискання та розширення, що призводить до ненульового сліду тензора деформації. Чиста поперечна площинна хвиля має нульовий слід тензора деформації, тому вона не взаємодіє через цей скалярний гідростатичний член. Це не означає, що поперечні акустичні фонони ніколи не можуть розсіювати носії заряду: анізотропні та багатосмугові потенціали деформації також можуть взаємодіяти з деформацією зсуву.

У більш загальному вигляді тензор симетричної деформації має вигляд:

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

Електронний гамільтоніан, що виникає під дією деформації, може містити кілька незалежних потенціалів деформації, а не лише одну константу. Такі описи стають важливими для анізотропних зон провідності та валентних зон зі змішаним орбітальним і спіновим характером.

3. Заповнення фононних рівнів і наближення пружності

Акустичні фонони можуть змінювати як енергію, так і напрямок руху носія заряду. На рисунку ?? показано ці два ефекти, перш ніж ми перейдемо до їх математичного опису.

Носій заряду може поглинути акустичний фонон, отримавши енергію \(\hbar\omega_\lambda\), або випромінити його, втративши ту саму енергію. Середня кількість фононів у певному моді при температурі кристалічної решітки \(T\) визначається розподілом Бозе–Ейнштейна:

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

Поглинання пропорційне \(N_{\mathbf q\lambda}\), тоді як випромінювання пропорційне \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). Додаткова одиниця відображає спонтанне випромінювання. За достатньо високої температури, коли більшу частину імпульсу передають фонони \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), заповненість наближається до

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

Енергії акустичних фононів часто є незначними порівняно з відповідними енергіями носіїв заряду, що дозволяє використовувати наближення квазіпружності та рівномірного розподілу \(E_f\simeq E_i\). Поглинання та випромінювання сприяють переходам між електронними станами з приблизно однаковою енергією. Це наближення, а не твердження про те, що акустичні фонони не несуть енергії. Воно стає менш надійним при низькій температурі, при великому хвильовому векторі фононів або коли обмінна енергія порівнянна з енергією носіїв заряду.

4. Елемент матриці деформаційного потенціалу

В ізотропній моделі з великою довжиною хвилі поздовжній акустичний фонон взаємодіє з носієм заряду через потенціал деформації. Для площинної хвилі електронного стану ця взаємодія одного фотона має стандартну величину.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

де \(\rho\) – це щільність маси, а \(V\) – об’єм, що використовується для нормалізації фононів. Для більш загальних електронних станів взаємодія також містить перекриття між початковою та кінцевою хвильовими функціями. Отже, інтенсивність розсіювання залежить як від коливань кристалічної решітки, так і від характеристик електронної зони.

Поєднання процесів поглинання та випромінювання фононів у високотемпературній квазіпружній області дає особливо корисний результат для ізотропного поздовжнього внеску:

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

де \(\mathcal F_{if}\) позначає відповідний коефіцієнт перекриття електронних станів. Це рівняння показує, чому акустичне розсіювання зазвичай стає сильнішим зі збільшенням температури. Воно також показує, що розсіювання залежить від потенціалу деформації, щільності кристалічної решітки та пружності, а не лише від параметра рухливості, який можна регулювати.

5. Поздовжні, поперечні та анізотропні акустичні коливання.

У багатьох напівпровідниках швидкість поширення звуку залежить від кристалографічного напрямку. Акустичні частоти та поляризація коливань визначаються тензором пружності кристала \(C_{ijkl}\). У рамках континуального опису їх можна визначити за допомогою рівняння Крістофеля:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Власні значення визначають швидкість звуку, а власні вектори \(\mathbf e^{(\lambda)}\) визначають поляризації фононів. Ці поляризації вказують, які комбінації стискання та зсуву створюються кожною модою, і, отже, які можливі зв’язки між деформацією та потенціалом.

Для кубічного кристала пружна поведінка описується трьома незалежними показниками жорсткості, які зазвичай позначають як \(C_{11}\), \(C_{12}\) і \(C_{44}\). Для гексагонального кристала вюрциту потрібні додаткові незалежні пружні константи, оскільки поведінка вздовж осі \(c\) кристала зазвичай відрізняється від поведінки в базовій площині. Таким чином, пружна анізотропія може впливати на швидкість розсіювання та напрямок руху навіть до того, як буде враховано анізотропію електронних зон.

6. Потенціали деформації для різних електронних зон.

Скалярний потенціал деформації є корисним відправним пунктом, але реальні напівпровідники можуть мати кілька зон, долин і компонентів хвильової функції. У цих матеріалах акустична деформація може зміщувати, розділяти або поєднувати електронні стани.

Долини в зоні провідності кремнію: реакція кожної долини залежить від її орієнтації. Зазвичай розрізняють гідростатичний потенціал деформації \(\Xi_d\) та одноосний член \(\Xi_u\):

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

де \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) — одиничний вектор, що визначає напрямок осі долини. Відповідно, деформація може по-різному впливати на різні долини, розташовані вздовж різних кристалографічних осей.

Валентні зони та багатозонні напівпровідники: стани з важкими дірками, легкими дірками та стани, що пов’язані зі спін-орбітальною взаємодією, реагують на деформацію зсуву, одновісну деформацію, а також гідростатичну деформацію. Гамільтоніан деформації Біра–Пікуса забезпечує стандартний опис для цинкових блендитів та пов’язаних з ними багатозонних систем. Імовірність розсіювання між станами \(|i\rangle\) і \(|f\rangle\) визначається матричним елементом збурення, спричиненого деформацією.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

За допомогою цієї формули можна врахувати вплив зсувних сил, які спричиняють взаємодію, перемішування зон і правила відбору на ймовірність розсіювання. Відповідні потенціали деформації та гамільтоніан деформації залежать від симетрії та зонної структури напівпровідника; жодна універсальна скалярна константа не може описати всі ці випадки.

7. Акустичне розсіювання в квантових ямах

У квантовій ямі електронний рух обмежений у напрямку росту кристалу (у цьому випадку він позначається як \(z\)), тоді як носії заряду можуть вільно рухатися в площині. Електронний стан можна схематично представити як добуток площинної хвилі в площині та обмеженої амплітудної хвильової функції. Його реакція на акустичний фонон залежить від ступеня перекриття початкового та кінцевого обмежених станів.

Для скалярного потенціалу деформації відповідний коефіцієнт обмеження має такий вигляд:

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

Тут \(q_z\) – це складова векторної хвилі фонону, перпендикулярна до області, а \(\psi_i\) і \(\psi_f\) – обмежені електронні хвильові функції. Осцилюючий фактор відображає зміну фонону в межах області. Той самий фізичний принцип поширюється на багатокомпонентні хвильові функції, де скалярний потенціал деформації замінюється відповідним гамільтоніаном деформації.

Акустичні фонони є тривимірними коливаннями, навіть коли електронні стани є двовимірними. У звичайному описі об’ємних фононів квантової ями носій заряду може обмінюватися імпульсом у площині \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\), а також взаємодіяти з фононною складовою, перпендикулярною до площини \(q_z\). Це робить перекриття зон обмеження важливим як для міжзонних, так і для внутрішньозонних переходів. Для окремих мембран або інших структур із сильно локалізованими фононами можуть знадобитися альтернативні описи.

8. Від «золотого правила Фермі» до швидкості розсіювання.

Імовірність переходу, що відбувається за участю фононів, випливає з «золотого правила Фермі». Для початкового електронного стану \(i\) загальна швидкість розсіювання визначається шляхом підсумовування за всіма дозволеними кінцевими станами, фононними гілками та фононними хвильовими векторами:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

Перший член описує поглинання, а другий – випромінювання. Функції Дірака забезпечують збереження енергії; кристалічний імпульс зберігається завдяки зв’язку між електронними та фононними хвильовими векторами. У вироджених системах також важливим є заповнення кінцевих електронних станів, що призводить до появи факторів блокування Паулі.

У наближенні пружності при високих температурах обидва внески зводяться до єдиного процесу розсіяння з однаковою енергією, що характеризується тепловим матричним елементом, про який йшлося вище. Для загального випадку електронної дисперсії \(E_b(\mathbf k)\) доступні кінцеві стани розташовані на одній і тій самій енергетичній контурі або поверхні:

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Це підкреслює важливу відмінність: акустичне розсіювання залежить від щільності та геометрії доступних електронних станів, а також від взаємодії з фононами. Отже, непараболічні або анізотропні зони можуть мати енергетично залежні швидкості розсіювання, які суттєво відрізняються від добре відомого ізотропного результату, що базується на ефективній масі.

9. Час розсіювання, час переносу та рухливість.

Не кожне зіткнення однаково ефективно зменшує електричний струм. Зіткнення, яке ледь змінює напрямок руху, може сприяти загальній швидкості розсіювання, але лише незначно впливає на імпульс. Для ізотропної зони розрізнення часто відображається за допомогою транспортної функції ваговості:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

де \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) – коефіцієнт переходу, а \(\theta\) – кут розсіяння. Пряме розсіяння мало впливає на релаксацію імпульсу, тоді як зворотне розсіяння має значніший вплив. Для анізотропних або багатосмугових матеріалів повний аналіз релаксації імпульсу або швидкості може бути складнішим, ніж цей простий кутовий коефіцієнт.

У елементарній наближеній моделі, що базується на параболічній зоні та часі релаксації, рухливість дорівнює

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

У реальних пристроях зазвичай містяться носії заряду з різною енергією, і вони можуть мати кілька заповнених зон або підзон. Провідність у цьому випадку залежить від розподілу носіїв, групової швидкості та часу існування, який залежить від енергії. Розсіювання акустичних фононів є одним із факторів, поряд з іншими, такими як домішки, нерівності на межі поділу та оптичні фонони, які можуть обмежувати кінцеву рухливість. Детальнішу інформацію про моделювання транспорту напівпровідників можна знайти в документації щодо зонної структури та рухливості.

10. В яких випадках простої акустичної моделі недостатньо?

Наближення деформаційного потенціалу та рівномірного розподілу енергії дають корисний опис акустичного розсіювання, але слід враховувати їхні основні припущення. При низьких температурах необхідно ретельно враховувати кількість фононів та енергію фононів, які можуть розсіювати електрони; режим Блоха–Грюнайзена може значно відрізнятися від ситуації при високих температурах. Сильна анізотропія, багатосмугове зв’язування та квантове обмеження можуть змінювати правила вибору при розсіюванні. Інші акустичні взаємодії, зокрема п’єзоелектричне розсіювання в нецентросиметричних кристалах, виникають внаслідок іншої фізичної взаємодії і їх не слід плутати з розсіюванням, зумовленим деформаційним потенціалом.

Основний результат полягає в тому, що акустичні фонони розсіюють носії заряду, створюючи залежну від часу деформацію кристалічної решітки. Інтенсивність цієї взаємодії залежить від того, як електронні стани реагують на деформацію, як кристал підтримує звукові хвилі, які кінцеві стани носіїв заряду доступні та наскільки ефективно кожен перехід знімає імпульс. Ці принципи застосовуються як до об’ємних напівпровідників, так і до квантових ям і багатосмугових електронних систем.