Diffusion acoustique des phonons dans les semi-conducteurs.

1. Qu’est-ce que la diffusion des phonons acoustiques ?

Les atomes à l’intérieur d’un semi-conducteur ne sont pas immobiles. Ils vibrent autour de leur position habituelle, et ces vibrations peuvent se propager à travers le cristal, un peu comme le son se propage dans l’air. En physique quantique, un paquet de vibrations du réseau est appelé phonon. Un phonon acoustique est la description quantique d’une onde de type sonore qui se propage à travers le cristal.

La figure ?? illustre les deux types fondamentaux de vibrations acoustiques. Dans une onde acoustique longitudinale (OAL), les atomes se déplacent vers l’avant et vers l’arrière dans la direction de propagation de l’onde. Cela crée des zones en mouvement où le réseau cristallin est comprimé ou étiré. Dans une onde acoustique transverse (OAT), les atomes se déplacent latéralement, perpendiculairement à la direction de propagation. Cela produit un mouvement de cisaillement plutôt qu’une simple variation de volume. Un cristal tridimensionnel présente généralement une branche acoustique longitudinale et deux branches acoustiques transverses ; dans les matériaux anisotropes, les mouvements peuvent être combinés.

Pourquoi ces vibrations sont-elles importantes pour un électron ? La compression, la dilatation ou le cisaillement d’un cristal modifie légèrement l’environnement dans lequel évoluent ses porteurs de charge. Une vibration qui se propage produit donc une perturbation mobile dans les niveaux d’énergie électroniques du semi-conducteur. Un électron ou une lacune interagissant avec cette perturbation peut modifier la direction de son mouvement. On appelle ce phénomène la diffusion par les phonons acoustiques.

La diffusion ne signifie pas nécessairement qu’un porteur perd beaucoup d’énergie. Les phonons acoustiques échangent souvent seulement une petite quantité d’énergie avec un électron, mais ils peuvent tout de même modifier considérablement sa direction. C’est important, car le fait de modifier sa direction à plusieurs reprises rend plus difficile le déplacement régulier des porteurs dans un dispositif, ce qui réduit leur... mobilitéFigure ?? Plus loin dans ce tutoriel, nous verrons pourquoi un changement important de direction a un impact plus marqué sur la mobilité qu’un changement mineur.

Les phonons acoustiques existent dans des matériaux tels que le silicium, l’arséniure de gallium (GaAs) et le nitrure de gallium (GaN), et ils diffusent les porteurs de charge dans les semi-conducteurs en vrac et dans les puits quantiques. Ils diffèrent des vibrations optiques dont il est question dans le texte. Tutoriel sur la méthode Fröhlich pour la diffusion.: Les ondes acoustiques sont des mouvements de réseau semblables à des ondes sonores, dont l’énergie diminue considérablement lorsque la longueur d’onde est importante. Les sections suivantes expliquent les principes physiques de manière quantitative, en commençant par la façon dont la déformation modifie les niveaux d’énergie des bandes électroniques.

2. Comment une vibration du réseau cristallin disperse un porteur de charge.

Les phonons acoustiques sont des ondes semblables au son : les longueurs d’onde plus importantes correspondent à des fréquences de vibration plus faibles. Pour des longueurs d’onde suffisamment grandes, leur fréquence est approximativement proportionnelle à leur vecteur d’onde. Le mécanisme de diffusion acoustique le plus simple est le couplage au potentiel de déformation. Lorsque le réseau cristallin est comprimé ou étiré, les énergies des bandes électroniques changent. Une onde acoustique qui se propage crée donc un potentiel qui varie dans l’espace et dans le temps, et qui affecte les électrons et les trous. Pour une bande isotrope, ce changement d’énergie peut être représenté par :

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

où \(\mathbf u\) représente le déplacement du réseau cristallin, \(\boldsymbol\varepsilon\) est le tenseur de déformation et \(D_{\mathrm{ac}}\) est le potentiel de déformation acoustique, exprimé en unités d’énergie. Une onde longitudinale crée une compression et une dilatation locales, ce qui donne une trace de déformation non nulle. Une onde plane purement transverse a une trace de déformation nulle, elle ne peut donc pas interagir par le biais de ce terme scalaire hydrostatique. Cela ne signifie pas que les phonons acoustiques transverses ne peuvent jamais diffuser les porteurs de charge : les potentiels de déformation anisotropes et à plusieurs bandes peuvent également interagir avec la déformation de cisaillement.

De manière plus générale, le tenseur de déformation symétrique est le suivant :

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

L’hamiltonien électronique induit par la déformation peut comprendre plusieurs potentiels de déformation indépendants plutôt qu’une seule constante. De telles descriptions deviennent importantes pour les vallées anisotropes de la bande de conduction et les bandes de valence présentant un caractère orbital et de spin mixte.

3. Occupation des modes phonon et approximation élastique.

Les phonons acoustiques peuvent modifier à la fois l’énergie et la direction d’un porteur de charge. La figure ?? illustre ces deux effets avant que nous ne présentions leur description mathématique.

Un porteur peut absorber un phonon acoustique, ce qui lui permet d’acquérir de l’énergie \(\hbar\omega_\lambda\), ou en émettre, ce qui entraîne une perte de la même quantité d’énergie. Le nombre moyen de phonons dans un mode à la température du réseau \(T\) est donné par la distribution de Bose-Einstein :

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

L’absorption est proportionnelle à \(N_{\mathbf q\lambda}\), tandis que l’émission est proportionnelle à \(N_{\mathbf q\lambda}+1\). L’unité supplémentaire représente l’émission spontanée. À une température suffisamment élevée pour que les phonons, qui transportent la majeure partie de l’impulsion, \(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\), atteignent un niveau d’occupation qui se rapproche de...

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

Les énergies des phonons acoustiques sont souvent faibles par rapport aux énergies des porteurs concernés, ce qui permet d’utiliser l’approximation quasi-élastique et l’approximation de l’équipartition \(E_f\simeq E_i\). L’absorption et l’émission contribuent alors aux transitions entre des états électroniques d’énergies approximativement égales. Il s’agit d’une approximation, et non d’une affirmation selon laquelle les phonons acoustiques ne transportent aucune énergie. Cette approximation devient moins fiable à basse température, pour des vecteurs d’onde de phonons élevés, ou lorsque l’énergie échangée est comparable à l’énergie des porteurs.

4. Élément de la matrice du potentiel de déformation

Dans le modèle isotrope à longue longueur d’onde, un phonon acoustique longitudinal interagit avec un porteur par l’intermédiaire du potentiel de déformation. Pour un état électronique en onde plane, le couplage impliquant un seul phonon a une amplitude standard.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

où \(\rho\) représente la masse volumique et \(V\) le volume de normalisation des phonons. Pour des états électroniques plus généraux, le couplage inclut également un recouvrement entre les fonctions d’onde initiales et finales. Par conséquent, l’intensité de la diffusion dépend à la fois des vibrations du réseau et des caractéristiques de la bande électronique.

La combinaison de l’absorption et de l’émission de phonons dans le régime quasi-élastique à haute température donne un résultat particulièrement utile pour la contribution isotrope longitudinale :

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

où \(\mathcal F_{if}\) désigne le facteur de superposition approprié pour l’état électronique. Cette expression montre pourquoi la diffusion acoustique devient généralement plus intense lorsque la température augmente. Elle indique également que la diffusion dépend du potentiel de déformation, de la densité cristalline et de la réponse élastique, et non pas uniquement d’un paramètre de mobilité ajustable.

5. Modes acoustiques longitudinaux, transversaux et anisotropes.

Dans de nombreux semi-conducteurs, la vitesse du son varie en fonction de la direction cristallographique. Les fréquences acoustiques et les polarisations de déplacement découlent du tenseur de rigidité élastique du cristal \(C_{ijkl}\). Dans une description continue, on les obtient à partir de l’équation de Christoffel :

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Les valeurs propres déterminent les vitesses du son, tandis que les vecteurs propres \(\mathbf e^{(\lambda)}\) déterminent les polarisations des phonons. Ces polarisations précisent quelles combinaisons de compression et de cisaillement sont produites par chaque mode, et donc quelles interactions potentielles de déformation sont possibles.

Pour un cristal cubique, la réponse élastique est décrite par trois constantes d’élasticité indépendantes, que l’on désigne généralement par \(C_{11}\), \(C_{12}\) et \(C_{44}\). Un cristal hexagonal de type wurtzite nécessite des constantes élastiques indépendantes supplémentaires, car la réponse le long de l’axe \(c\) du cristal diffère généralement de la réponse dans le plan basal. L’anisotropie élastique peut donc rendre les taux de diffusion et la direction de la mobilité dépendants de la direction, et ce, avant même de prendre en compte l’anisotropie des bandes électroniques.

6. Potentiels de déformation pour différentes bandes électroniques.

Le potentiel de déformation scalaire constitue un point de départ intéressant, mais les semi-conducteurs réels peuvent présenter plusieurs bandes d’énergie, plusieurs minima et plusieurs composantes de fonction d’onde. Dans ces matériaux, la contrainte acoustique peut modifier, diviser ou mélanger les états électroniques.

Les minimums de la bande de conduction dans le silicium : la réponse d’un minimum dépend de son orientation. Une description courante sépare le potentiel de déformation hydrostatique \(\Xi_d\) d’un terme uniaxial \(\Xi_u\) :

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

où \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) est le vecteur unitaire de l’axe de la vallée. Par conséquent, la déformation peut affecter les différentes vallées le long des différents axes cristallins de manière différente.

Bandes de valence et semi-conducteurs à plusieurs bandes : les états correspondant aux trous lourds, aux trous légers et au couplage spin-orbite réagissent aux contraintes de cisaillement et aux contraintes uniaxiales, ainsi qu’aux contraintes hydrostatiques. Le hamiltonien de déformation de Bir-Pikus fournit une description standard pour les systèmes à structure zinc-blende et les systèmes à plusieurs bandes apparentés. La probabilité de diffusion entre les états \(|i\rangle\) et \(|f\rangle\) est contrôlée par un élément de matrice de la perturbation due à la déformation.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

Ce modèle permet aux phénomènes de couplage induit par le cisaillement, au mélange de bandes et aux règles de sélection d’influencer la probabilité de diffusion. Les potentiels de déformation et le hamiltonien de déformation pertinents dépendent de la symétrie et de la structure de bandes du semi-conducteur ; une constante scalaire universelle ne peut pas décrire tous ces cas.

7. Diffusion acoustique dans les puits quantiques.

Dans un puits quantique, le mouvement des électrons est confiné dans la direction de croissance (que nous considérons ici comme étant \(z\)), tandis que les porteurs de charge restent libres de se déplacer dans le plan. Un état électronique peut être représenté schématiquement comme le produit d’une onde plane dans le plan et d’une fonction d’onde d’enveloppe confinée. Sa réponse à un phonon acoustique dépend du recouvrement entre les états confinés initiaux et finaux.

Pour un potentiel de déformation scalaire, le facteur de confinement pertinent prend la forme suivante :

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

Ici, \(q_z\) représente la composante du vecteur d’onde du phonon perpendiculaire au puits quantique, et \(\psi_i\) et \(\psi_f\) sont des fonctions d’onde électroniques localisées. Le facteur oscillatoire représente la variation du phonon à travers le puits quantique. Le même principe physique s’applique aux fonctions d’onde à plusieurs composantes, où le potentiel de déformation scalaire est remplacé par un hamiltonien de déformation approprié.

Les phonons acoustiques sont des vibrations tridimensionnelles, même lorsque les états électroniques sont bidimensionnels. Dans la description classique des phonons dans un puits quantique, une porteur peut échanger une quantité de mouvement dans le plan \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\) tout en interagissant avec une composante de phonon hors du plan \(q_z\). Cela rend l’étendue du confinement importante pour les transitions intra-sous-bande et inter-sous-bande. Des descriptions alternatives peuvent être nécessaires pour les membranes autonomes ou d’autres structures présentant des phonons fortement confinés.

8. De la règle d’or de Fermi à un taux de diffusion.

La probabilité d’une transition assistée par un phonon découle de la règle d’or de Fermi. Pour un état électronique initial \(i\), le taux de diffusion total s’obtient en effectuant la somme sur tous les états finaux possibles, les branches de phonons et les vecteurs d’onde des phonons :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

Le premier terme décrit l’absorption et le second, l’émission. Les fonctions delta de Dirac assurent la conservation de l’énergie ; l’impulsion du cristal est conservée grâce à la relation entre les vecteurs d’onde électroniques et phononiques. Dans les systèmes dégénérés, l’occupation des états électroniques finaux est également importante et introduit des facteurs de blocage de Pauli.

Dans l’approximation élastique à haute température, les deux contributions convergent vers un seul processus de diffusion à énergie égale, avec l’élément de matrice thermique mentionné ci-dessus. Pour une dispersion électronique générale \(E_b(\mathbf k)\), les états finaux disponibles se situent sur la même courbe ou surface d’énergie :

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Cela souligne une distinction importante : la diffusion acoustique est influencée par la densité et la géométrie des états électroniques accessibles, ainsi que par le couplage phononique. Par conséquent, les bandes non paraboliques ou anisotropes peuvent présenter des taux de diffusion dépendant de l’énergie, qui diffèrent considérablement de la valeur habituelle de la masse effective isotrope.

9. Durée de vie de la diffusion, durée de vie du transport et mobilité.

Toutes les collisions n’ont pas la même efficacité pour réduire le courant électrique. Une collision qui ne modifie que légèrement la direction du mouvement peut contribuer au taux de diffusion total, mais n’entraîne qu’une faible relaxation de l’impulsion. Pour une bande isotrope, cette distinction est souvent représentée par un facteur de pondération du transport :

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

où \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) représente le taux de transition et \(\theta\) l’angle de diffusion. La diffusion directe a peu d’effet sur la relaxation de l’impulsion, tandis que la diffusion inverse y contribue davantage. Pour les matériaux anisotropes ou à plusieurs bandes, une analyse complète de la relaxation de l’impulsion ou de la vitesse peut être plus complexe que cette simple correction angulaire.

Dans l’approximation élémentaire du temps de relaxation de la bande parabolique, la mobilité est :

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

Les dispositifs réels contiennent généralement des porteurs d’énergie sur une plage variée et peuvent présenter plusieurs bandes ou sous-bandes occupées. La conductivité dépend alors de la distribution des porteurs, des vitesses de groupe et de la durée de vie du transport, qui varie en fonction de l’énergie. La diffusion par les phonons acoustiques n’est qu’une des causes possibles, parmi d’autres telles que les impuretés, la rugosité de l’interface et les phonons optiques, qui peuvent limiter la mobilité finale. Voir la suite. documentation sur la structure de bande et la mobilité afin de mieux comprendre le contexte général de la modélisation du transport des semi-conducteurs.

10. Dans quels cas le modèle acoustique simple s’avère-t-il insuffisant ?

Les approximations du potentiel de déformation et de l’équipartition offrent une description intéressante de la diffusion acoustique, mais il convient de garder à l’esprit les hypothèses sur lesquelles elles reposent. À basse température, la population de phonons et l’énergie des phonons susceptibles de diffuser les électrons doivent être traitées avec soin ; le régime de Bloch-Grüneisen peut différer considérablement de ce qui se passe à haute température. Une forte anisotropie, un couplage multibande et un confinement quantique peuvent modifier les règles de sélection de la diffusion. D’autres interactions acoustiques, notamment la diffusion piézoélectrique dans les cristaux non centrosymétriques, proviennent d’un couplage physique différent et ne doivent pas être confondues avec la diffusion par potentiel de déformation.

Le résultat principal est que les phonons acoustiques diffusent les porteurs en générant une déformation du réseau cristallin qui varie dans le temps. L’intensité de cette interaction dépend de la manière dont les états électroniques réagissent à la déformation, de la façon dont le cristal propage les ondes sonores, des états finaux des porteurs disponibles et de l’efficacité avec laquelle chaque transition permet de relâcher l’impulsion. Ces principes s’appliquent aux semi-conducteurs massifs, ainsi qu’aux puits quantiques et aux systèmes électroniques à plusieurs bandes.