Теплові моделі

OghmaNano підтримує електротермічне моделювання на різних рівнях деталізації фізичних процесів, починаючи від простої наближеної моделі з фіксованою температурою і закінчуючи повністю узгодженим моделюванням самонагрівання та (в особливих режимах) гідродинамічного балансу енергії. Мета цих можливостей є практичною: поведінку багатьох пристроїв під напругою неможливо пояснити, використовуючи лише електричну модель з фіксованою температурою, коли розсіювання потужності стає значним.

В OghmaNano є три варіанти теплового моделювання: (1) постійна температура по всьому пристрою (за замовчуванням – 300 K); (2) розв’язувач теплових процесів у кристалічній решітці, який розв’язує рівняння теплопровідності по всьому пристрою, враховуючи самонагрівання; і (3) гідродинамічний розв’язувач (на основі балансу енергії), який не передбачає, що температури електронів, дірок і кристалічної решітки є однаковими. Варіант із постійною температурою рекомендується для більшості моделей із низьким енергоспоживанням. Модель теплових процесів у кристалічній решітці використовується, коли очікується, що самонагрівання вплине на характеристики струм-напруга, профілі рекомбінації або стабільність пристрою. Гідродинамічна модель призначена для спеціалізованих випадків, таких як інтенсивний обмін енергією в гетеропереходах або екстремальні поля, де носії заряду можуть не досягати локальної температури кристалічної решітки.

Теплова конфігурація відображається за допомогою панелі «Теплові налаштування», яка забезпечує доступ до таких функцій: увімкнення/вимкнення теплової моделі, вибір параметрів тепловиділення (теплопровідність/ефект Джоуля/ефект Пельтьє, рекомбінація, оптичне поглинання, паразитні втрати), встановлення граничних теплових умов, вибір налаштувань теплової сітки та редагування теплових параметрів матеріалів. Ці елементи керування відображаються у ??.

Як відбувається взаємодія електротермічного розв’язувача.

Електротермічне моделювання за своєю суттю є комплексною багатофізичною задачею. Електричне рішення визначає просторовий розподіл струму, рекомбінацію та розсіювання потужності; ці величини стають джерелами тепла в рівнянні теплової дифузії; а отримане температурне поле впливає на транспорт, рекомбінацію та властивості матеріалу. В OghmaNano ця взаємодія реалізується за допомогою зовнішнього ітераційного циклу: для заданої точки зміщення електричний розв’язувач працює, використовуючи поточну оцінку температури, обчислюються параметри тепловиділення, тепловий розв’язувач оновлює температурне поле, і процес повторюється, доки як електричні, так і теплові залишки не відповідатимуть критеріям збіжності.

Ось практичне пояснення, чому електротермічні розрахунки виконуються повільніше, ніж розрахунки з фіксованою температурою: на кожному етапі зміни напруги електричний розв’язок Ньютона може виконуватися кілька разів, чергуючись із термічними розв’язками, доки не буде досягнуто стабільного спільного розв’язку. Мета полягає не в отриманні «графіка температури», а в досягненні узгодженого розв’язку для параметрів пристрою та його внутрішнього стану, де розсіювання та відведення тепла збалансовані.

Чому теплові та електричні проблеми проявляються на різних масштабах довжини?

Важливою структурною особливістю електротермічного моделювання є невідповідність фізичних масштабів довжини. Електричний транспорт у тонкоплівкових пристроях зазвичай визначається нано- та мікрометровими структурами: активними шарами, перехідними областями, зонами інжекції та вузькими профілями рекомбінації. На відміну від цього, теплова дифузія залежить від усього шляху теплового потоку: контактів, підкладок, герметизуючих матеріалів, кріплень і радіаторів, які зазвичай мають розміри від міліметрів до сантиметрів. Спроба створити сітку для радіатора розміром у сантиметр з роздільною здатністю, що використовується для тонкоплівкових електричних пристроїв, є обчислювально безглуздою.

Саме тому в OghmaNano теплові характеристики розглядаються як важливий об’єкт моделювання, а не як другорядний елемент: проблема теплообміну – це не просто «додаткова фізика», часто це окрема область. Теплова сітка може поширюватися за межі електроактивної зони, а граничні умови використовуються для відображення ефективного відведення тепла без явного створення сітки для макроскопічних радіаторів.

Межові умови значною мірою визначають, наскільки сильно нагрівається пристрій.

Теплові граничні умови не просто спрощують математичні розрахунки: вони визначають шлях розсіювання тепла. Пристрій з неефективним відведенням тепла може швидко нагріватися, коли збільшується розсіювання енергії; пристрій, закріплений на ефективному радіаторі, може залишатися близьким до температури навколишнього середовища навіть за значного струму. У стаціонарному стані підвищення температури визначається балансом між «згенерованим теплом» і «відведеним теплом», і граничні умови значною мірою визначають останнє.

Корисна фізична аналогія – це ванна. Кран відповідає процесу виділення тепла, а зливний отвір – процесу відведення тепла. Якщо зливний отвір відкритий, рівень води залишається низьким. Якщо він частково заблокований, рівень води підвищується. Якщо він повністю заблокований, а кран відкритий, вода переливається через край ванни. У задачі теплопередачі «рівень води» відповідає температурному полю: якщо тепло не може ефективно відводитися, температура зростає до тих пір, поки теплові градієнти та потік на межі не зможуть відвести згенеровану енергію.

У редакторі граничних умов «Неймана (==0)» відповідає граничній умові, при якій нормальний тепловий потік дорівнює нулю:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

З фізичної точки зору, це ізолююча поверхня: програмісту надається інструкція, що тепло не передається через цю поверхню. Це не означає, що пристрій повністю ізольований від тепла; це означає, що саме ця поверхня не є частиною передбаченого шляху відведення тепла. Відведення тепла здійснюється через межу (або межі), які налаштовані як радіатори або інші елементи для передачі тепла.

Теплові параметри: теплопровідність і час релаксації енергії носіїв заряду.

Окрім граничних умов, іншим важливим параметром, що впливає на будь-яке теплове прогнозування, є набір теплофізичних характеристик матеріалу, зокрема теплопровідність. Ці параметри редагуються для кожного шару за допомогою елемента керування «Теплові параметри» (зазвичай відображається як \(k\) або \(\kappa\)) на стрічці інструментів «Теплові параметри» (??), що відкриває редактор теплових параметрів, показаний на ??.

Ключовим параметром є теплопровідність, яка визначає, наскільки легко тепло поширюється крізь кожен шар і, отже, наскільки сильно утворюються градієнти температури під дією зовнішнього поля. Редактор також надає інформацію про час релаксації електронів і час релаксації дірок. Ці параметри часу релаксації потрібні лише під час використання гідродинамічної (енергетичної) моделі, де носії заряду можуть мати температуру, відмінну від температури кристалічної решітки. У стандартній тепловій моделі кристалічної решітки вони не використовуються.

Дискретизація температури та попередньо обчислені таблиці

Конфігурація теплової сітки також включає діапазон температур і набір точок температур. Це не просторові точки сітки; вони утворюють дискретну температурну сітку, яка використовується для попередньо обчислених таблиць, що залежать від температури. Обчислення багатьох внутрішніх параметрів моделі є досить затратним, якщо їх повторно обчислювати як функції температури (і часто квазірівня Фермі), тому OghmaNano попередньо обчислює їх на скінченній температурній сітці та виконує інтерполяцію під час спільного розв’язання. Це покращує стабільність і зменшує обчислювальні витрати на повторне обчислення статистичних даних, що залежать від температури, всередині циклу електротермічного зв’язку.

На практиці це означає, що діапазон температур має зручно охоплювати очікувані температури під час моделювання. Якщо пристрій нагрівається самостійно і перевищує заданий діапазон, інтерполяція може перетворитися на екстраполяцію або обмеження (залежно від налаштувань), що небажано для кількісного аналізу самостійного нагрівання.

Різні температурні режими: для кристалічної решітки, електронів і дірок.

Також важливо враховувати, що електротермічне моделювання за своєю суттю передбачає наявність кількох температур. OghmaNano розрізняє температуру кристалічної решітки \(T_L\), температуру електронів \(T_e\) і температуру дірок \(T_h\). У стандартній тепловій моделі кристалічної решітки вважається, що \(T_e\) і \(T_h\) дорівнюють \(T_L\) (носії локально термалізовані). У гідродинамічній моделі енергетичної рівноваги \(T_e\) і \(T_h\) можуть відрізнятися від \(T_L\), що відображає нерівноважний транспорт енергії носіїв.

Отже, гідродинамічний підхід не є «більш точним варіантом за замовчуванням»; це модель для особливих режимів, де локальна термізація носіїв заряду не може бути адекватно наближена. Для більшості симуляцій тонкоплівкових і органічних пристроїв модель теплопровідності кристалічної решітки достатньо точно відображає основний тепловий зворотний зв’язок при прийнятних обчислювальних витратах.

Решіткова теплова модель

Під час розв’язання лише рівняння теплопровідності для кристалічної ґратки, теплообмін і тепловиділення визначаються наступним чином:

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

де нагрівання за законом Джоуля (\(H_j\)) визначається наступним чином:

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

На практиці цей термін, пов’язаний із нагріванням у транспортних процесах, може включати як звичайне резистивне (джоулеве) нагрівання, так і міжфазний ефект Пельтьє, що забезпечує нагрівання або охолодження, коли межі зон сильно змінюються в просторі. Таким чином, знак і локалізація цього терміна можуть містити фізичну інформацію про те, куди саме надходить (або звідки виводиться) енергія в кристалічну решітку внаслідок переносу носіїв заряду.

нагрівання внаслідок рекомбінації (\(H_r\)) визначається наступним чином:

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

нагрівання, що відбувається внаслідок поглинання світла, визначається наступним чином:

\[H_{optical}\]

а нагрівання, спричинене шунтовим опором, визначається за формулою:

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

Товщина пристрою позначається як d. Варто зазначити, що нагрів за допомогою шунтової схеми використовується лише для економії енергії. На практиці паразитні послідовні/шунтові втрати часто не локалізовані в певному місці у відомий мікроскопічний спосіб, тому їх розглядають як ефективний внесок у тепловіддачу, необхідний для забезпечення енергетичної рівноваги змодельованого пристрою.

Енергетичний баланс – гідродинамічна модель транспортування.

Якщо ви активуєте електричну та теплову модель з урахуванням наявності отворів, то член, що описує джерело тепла, буде замінено на:

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

і рівняння перенесення енергії для електронів.

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

і отвори.

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

буде вирішено.

Рівняння енергетичного балансу також буде розв’язано для електронів.

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

і для отворів.

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

Теплопровідність електронного газу визначається наступним чином:

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

і для отворів, наприклад,

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

Ця гідродинамічна модель передбачає явне введення потоків енергії носіїв заряду та релаксацію носіїв заряду в кристалічній решітці за допомогою \(\tau_e\) і \(\tau_h\). Тому вона значно дорожча за модель теплопровідності кристалічної решітки і має використовуватися лише тоді, коли це вимагають фізичні умови. У більшості досліджень електротермічних пристроїв рівняння теплопровідності кристалічної решітки з правильно підібраними граничними умовами та теплопровідністю шарів достатньо точно описує основний цикл самонагрівання.

Повні значення струмів за умов неізотермічного режиму.

Повні рівняння переносу, що описують залежний від температури дрейф і дифузію, отримані на основі кінетичного рівняння Больцмана, мають такий вигляд:

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

де \(\bar{W}\) – це середнє значення кінетичної енергії вільних носіїв заряду. Якщо припустити, що середнє значення енергії дорівнює \(3/2kT\), то ці вирази зводяться до стандартних рівнянь дрейфу та дифузії. Зверніть увагу, що повна форма цих рівнянь потрібна, коли не використовується статистика МБ.