Θερμικά μοντέλα

Το OghmaNano υποστηρίζει ηλεκτροθερμικές προσομοιώσεις σε διάφορα επίπεδα φυσικής λεπτομέρειας, από μια απλή προσέγγιση σταθερής θερμοκρασίας έως πλήρως συνδεδεμένες προσομοιώσεις αυτοθέρμανσης και (σε εξαιρετικές περιπτώσεις) υδροδυναμικής μεταφοράς ενέργειας. Ο σκοπός αυτών των επιλογών είναι πρακτικός: πολλές συμπεριφορές των συσκευών υπό τάση δεν μπορούν να εξηγηθούν χρησιμοποιώντας ένα καθαρά ηλεκτρικό μοντέλο σταθερής θερμοκρασίας, όταν η διασπορά ισχύος γίνεται σημαντική.

Στο OghmaNano, υπάρχουν τρεις επιλογές για τη θερμική προσομοίωση: (1) σταθερή θερμοκρασία σε όλη τη συσκευή (300 K από προεπιλογή), (2) ένας επιλυτής θερμικής αγωγιμότητας πλέγματος, ο οποίος επιλύει την εξίσωση θερμότητας σε όλη τη συσκευή, συμπεριλαμβανομένης της αυτοθέρμανσης, και (3) ένας υδροδυναμικός επιλυτής (εξισορρόπησης ενέργειας), ο οποίος δεν υποθέτει ότι οι θερμοκρασίες των ηλεκτρονίων, των οπών και του πλέγματος είναι ίσες. Η επιλογή σταθερής θερμοκρασίας συνιστάται για τις περισσότερες προσομοιώσεις χαμηλής ισχύος. Το μοντέλο θερμικής αγωγιμότητας πλέγματος χρησιμοποιείται όταν αναμένεται ότι η αυτοθέρμανση θα επηρεάσει τις καμπύλες JV, τα προφίλ ανασύνθεσης ή τη σταθερότητα της συσκευής. Το υδροδυναμικό μοντέλο προορίζεται για εξειδικευμένες περιπτώσεις, όπως η έντονη ανταλλαγή ενέργειας σε ετεροσύνδεση ή ακραία πεδία, όπου οι φορείς φόρτισης ενδέχεται να μην χαλαρώσουν στην θερμοκρασία του πλέγματος τοπικά.

Η θερμική διαμόρφωση είναι προσβάσιμη μέσω της θερμικής καρτέλας, η οποία παρέχει πρόσβαση στις ακόλουθες λειτουργίες: ενεργοποίηση/απενεργοποίηση του θερμικού μοντέλου, επιλογή όρων παραγωγής θερμότητας (μεταφορά/Joule/Peltier, ανασυνδυασμός, οπτική απορρόφηση, παρασιτικές απώλειες), ρύθμιση θερμικών οριακών συνθηκών, επιλογή ρυθμίσεων θερμικού πλέγματος και επεξεργασία θερμικών παραμέτρων υλικών. Αυτά τα στοιχεία ελέγχου εμφανίζονται στο ??.

Πώς γίνεται η σύζευξη του ηλεκτροθερμικού επιλυτή;

Η ηλεκτροθερμική προσομοίωση είναι εκ φύσεως ένα πρόβλημα που περιλαμβάνει πολλαπλές φυσικές διεργασίες και αλληλεπιδράσεις. Η ηλεκτρική λύση καθορίζει τη χωρική κατανομή του ρεύματος, της ανασύνθεσης και της διάχυσης ισχύος· αυτές οι ποσότητες γίνονται πηγές θερμότητας στην εξίσωση θερμικής διάχυσης· και το προκύπτον θερμικό πεδίο επηρεάζει την αγωγιμότητα, την ανασύνθεση και τις ιδιότητες του υλικού. Στο OghmaNano, αυτή η αλληλεπίδραση αντιμετωπίζεται μέσω ενός εξωτερικού επαναληπτικού βρόχου: σε ένα δεδομένο σημείο λειτουργίας, ο ηλεκτρικός επιλυτής εκτελείται χρησιμοποιώντας την τρέχουσα εκτίμηση της θερμοκρασίας, υπολογίζονται οι όροι παραγωγής θερμότητας, ο θερμικός επιλυτής ενημερώνει το θερμικό πεδίο και η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου τόσο τα ηλεκτρικά υπόλοιπα όσο και τα θερμικά υπόλοιπα ικανοποιούν τα κριτήρια σύγκλισης.

Αυτός είναι ο πρακτικός λόγος για τον οποίο οι προσομοιώσεις ηλεκτροθερμικής συμπεριφοράς είναι πιο αργές από τις προσομοιώσεις σταθερής θερμοκρασίας: σε κάθε βήμα τάσης, η επίλυση των ηλεκτρικών εξισώσεων του Νεύτωνα μπορεί να εκτελεστεί πολλές φορές, εναλλάσσοντας με τις θερμικές επιλύσεις, μέχρι να σταθεροποιηθεί η κοινή λύση. Ο στόχος δεν είναι «ένα γράφημα θερμοκρασίας», αλλά μια αυτοσυνεπής λύση για την τάση και την εσωτερική κατάσταση, όπου η διάχυση και η απομάκρυνση της θερμότητας είναι ισορροπημένες.

Γιατί τα θερμικά και τα ηλεκτρικά προβλήματα εκδηλώνονται σε διαφορετικές κλίμακες μήκους;

Ένα βασικό δομικό χαρακτηριστικό της ηλεκτροθερμικής μοντελοποίησης είναι η ασυμφωνία στις φυσικές κλίμακες μήκους. Η ηλεκτρική αγωγιμότητα στις λεπτομερείς συσκευές κυριαρχείται συνήθως από νανομετρικές έως μικρομετρικές δομές: ενεργά στρώματα, περιοχές σύνδεσης, ζώνες έγχυσης και στενές περιοχές ανασυνδυασμού. Η θερμική διάχυση, αντίθετα, εξαρτάται από ολόκληρη τη διαδρομή ροής θερμότητας: επαφές, υποστρώματα, υλικά επικάλυψης, βάσεις και ψύκτρες, οι οποίες συχνά έχουν κλίμακα από χιλιοστά έως εκατοστά. Η προσπάθεια δημιουργίας ενός πλέγματος για μια ψύκτρα κλίμακας εκατοστών με την λεπτομέρεια της ηλεκτρικής ανάλυσης μιας λεπτής μεμβράνης είναι υπολογιστικά άσκοπη.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η OghmaNano αντιμετωπίζει τη θερμική διαμόρφωση ως ένα βασικό αντικείμενο μοντελοποίησης και όχι ως κάτι δευτερεύον: το θερμικό πρόβλημα δεν είναι απλώς «περισσότερη φυσική», αλλά συχνά αποτελεί ένα διαφορετικό πεδίο. Το θερμικό πλέγμα μπορεί να επεκταθεί πέρα από την ηλεκτρικά ενεργή περιοχή και χρησιμοποιούνται οριακές συνθήκες για να αναπαρασταθεί η αποτελεσματική εξαγωγή θερμότητας χωρίς την ρητή δημιουργία πλέγματος για μακροσκοπικές πηγές θερμότητας.

Οι οριακές συνθήκες καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό το πόσο θερμαίνεται η συσκευή.

Οι θερμικές οριακές συνθήκες δεν απλοποιούν απλώς τις μαθηματικές εξισώσεις: καθορίζουν τη διαδρομή διαφυγής της θερμότητας. Μια συσκευή με ανεπαρκή απαγωγή θερμότητας μπορεί να φτάσει σε υψηλές θερμοκρασίες γρήγορα μόλις αυξηθεί η διαλυόμενη ισχύς· μια συσκευή που είναι στερεωμένη σε μια αποτελεσματική ψύκτρα μπορεί να παραμείνει κοντά στην περιβαλλοντική θερμοκρασία ακόμη και υπό σημαντικό ρεύμα. Σε σταθερή κατάσταση, η αύξηση της θερμοκρασίας καθορίζεται από την ισορροπία μεταξύ της «παραγόμενης θερμότητας» και της «αφαιρούμενης θερμότητας», και οι οριακές συνθήκες καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό το δεύτερο.

Μια χρήσιμη φυσική αναλογία είναι η μπανιέρα. Η βρύση αντιστοιχεί στην παραγωγή θερμότητας· η τρύπα της μπανιέρας αντιστοιχεί στην απομάκρυνση της θερμότητας. Εάν η τρύπα είναι ανοιχτή, η στάθμη του νερού παραμένει χαμηλή. Εάν είναι μερικώς φραγμένη, η στάθμη του νερού αυξάνεται. Εάν είναι εντελώς φραγμένη και η βρύση είναι ανοιχτή, η μπανιέρα υπερχειλίζει. Στο θερμικό πρόβλημα, η «στάθμη του νερού» αντιστοιχεί στο θερμικό πεδίο: εάν η θερμότητα δεν μπορεί να απομακρυνθεί αποτελεσματικά, η θερμοκρασία αυξάνεται μέχρι που οι θερμικές κλίσεις και η ροή στα όρια μπορούν να απομακρύνουν την παραγόμενη ισχύ.

Στον επεξεργαστή των οριακών συνθηκών, η επιλογή «Neumann (==0)» αντιστοιχεί σε μια οριακή συνθήκη με μηδενική κάθετη ροή θερμότητας:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

Φυσικά, πρόκειται για μια μονωμένη επιφάνεια: ο επιλυτής λαμβάνει την οδηγία ότι η θερμότητα δεν διαχέεται μέσω αυτής της επιφάνειας. Αυτό δεν συνεπάγεται ότι η συσκευή είναι συνολικά θερμικά απομονωμένη· συνεπάγεται ότι η συγκεκριμένη επιφάνεια δεν αποτελεί μέρος της προβλεπόμενης διαδρομής απομάκρυνσης της θερμότητας. Η απομάκρυνση της θερμότητας πραγματοποιείται στη συνέχεια μέσω της περιφέρειας (ή των περιφερειών) που έχουν διαμορφωθεί ως ψύκτρες ή με άλλες συνθήκες μεταφοράς θερμότητας.

Θερμικές παράμετροι: θερμική αγωγιμότητα και χρόνοι χαλάρωσης της ενέργειας των φορέων.

Εκτός από τις οριακές συνθήκες, μια άλλη σημαντική παράμετρος για οποιαδήποτε θερμική πρόβλεψη είναι το σύνολο των θερμικών παραμέτρων του υλικού, ιδίως η θερμική αγωγιμότητα. Αυτές οι παράμετροι επεξεργάζονται ανά στρώση μέσω του στοιχείου ελέγχου «Θερμικές παράμετροι» (που συνήθως εμφανίζεται ως \(k\) ή \(\kappa\)) στην καρτέλα «Θερμικά» (??), η οποία ανοίγει τον επεξεργαστή θερμικών παραμέτρων που εμφανίζεται στην εικόνα ??.

Η βασική παράμετρος είναι η θερμική αγωγιμότητα, η οποία καθορίζει πόσο εύκολα διαχέεται η θερμότητα σε κάθε στρώση και, κατά συνέπεια, πόσο έντονα δημιουργούνται οι κλίσεις θερμοκρασίας υπό τάση. Ο επεξεργαστής παρέχει επίσης πρόσβαση στον χρόνο χαλάρωσης των ηλεκτρονίων και στον χρόνο χαλάρωσης των οπών. Αυτές οι παράμετροι χρόνου χαλάρωσης απαιτούνται μόνο όταν χρησιμοποιείται το υδροδυναμικό (ισορροπία ενέργειας) μοντέλο, όπου οι φορείς μπορούν να έχουν θερμοκρασίες διαφορετικές από αυτή του πλέγματος. Στο τυπικό θερμικό μοντέλο πλέγματος, δεν χρησιμοποιούνται.

Διακριτοποίηση της θερμοκρασίας και προϋπολογισμένοι πίνακες.

Η διαμόρφωση του θερμικού πλέγματος περιλαμβάνει επίσης ένα εύρος θερμοκρασιών και έναν αριθμό σημείων θερμοκρασίας. Αυτά δεν είναι χωρικά σημεία πλέγματος· σχηματίζουν ένα διακριτό πλέγμα θερμοκρασιών που χρησιμοποιείται για προϋπολογισμένους πίνακες που εξαρτώνται από τη θερμοκρασία. Πολλές εσωτερικές ποσότητες του μοντέλου απαιτούν σημαντικό υπολογιστικό κόστος για να υπολογιστούν επανειλημμένα ως συναρτήσεις της θερμοκρασίας (και συχνά του ψευδο-επίπεδου Fermi), επομένως το OghmaNano τις υπολογίζει εκ των προτέρων σε ένα πεπερασμένο πλέγμα θερμοκρασιών και τις παρεμβάλλει κατά τη διάρκεια της συνδυασμένης επίλυσης. Αυτό βελτιώνει τη σταθερότητα και μειώνει το υπολογιστικό κόστος της επανειλημμένης αξιολόγησης στατιστικών στοιχείων που εξαρτώνται από τη θερμοκρασία εντός του βρόχου ηλεκτροθερμικής σύζευξης.

Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι το εύρος θερμοκρασιών θα πρέπει να περιλαμβάνει άνετα τις θερμοκρασίες που αναμένονται κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης. Εάν μια συσκευή υπερθερμαίνεται πέρα από το διαμορφωμένο εύρος, η παρεμβολή μπορεί να μετατραπεί σε εξωτερική παρεμβολή ή σε περιορισμό (ανάλογα με τη διαμόρφωση), κάτι που δεν είναι επιθυμητό για την ποσοτική ανάλυση της αυτοθέρμανσης.

Πολλαπλές θερμοκρασίες: πλέγμα, ηλεκτρόνια και οπές.

Είναι επίσης σημαντικό να αναγνωρίσουμε ότι η ηλεκτροθερμική μοντελοποίηση περιλαμβάνει αναγκαστικά πολλαπλές θερμοκρασίες. Το OghmaNano διακρίνει τη θερμοκρασία του πλέγματος \(T_L\), μια θερμοκρασία ηλεκτρονίων \(T_e\) και μια θερμοκρασία οπών \(T_h\). Στο τυπικό θερμικό μοντέλο του πλέγματος, θεωρείται ότι τα \(T_e\) και \(T_h\) είναι ίσα με το \(T_L\) (οι φορείς φορτίου έχουν υποστεί τοπική θερμική εξισορρόπηση). Στο υδροδυναμικό μοντέλο ισορροπίας ενέργειας, τα \(T_e\) και \(T_h\) ενδέχεται να αποκλίνουν από το \(T_L\), αντανακλώντας τη μη ισορροπημένη μεταφορά ενέργειας των φορέων φορτίου.

Επομένως, η υδροδυναμική προσέγγιση δεν αποτελεί «μια πιο ακριβή προεπιλογή», αλλά ένα μοντέλο για εξαιρετικές περιπτώσεις όπου η τοπική θερμική εξισορρόπηση του φορέα δεν αποτελεί καλή προσέγγιση. Για τις περισσότερες προσομοιώσεις λεπτών υμενίων και οργανικών συσκευών, το μοντέλο θερμικής αγωγιμότητας του πλέγματος αποτυπώνει την κυρίαρχη θερμική ανάδραση με λογικό υπολογιστικό κόστος.

Θερμικό μοντέλο πλέγματος

Όταν επιλύουμε μόνο την εξίσωση θερμότητας για το πλέγμα, η μεταφορά και η παραγωγή θερμότητας δίνονται από:

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

όπου η θέρμανση λόγω των ρευμάτων (\(H_j\)) δίνεται από

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

Στην πράξη, αυτός ο όρος θέρμανσης που σχετίζεται με τη μεταφορά μπορεί να περιλαμβάνει τόσο τη συμβατική αντίσταση (θέρμανση Joule) όσο και τη διεπαφιακή θέρμανση/ψύξη Peltier, όταν οι άκρες της ζώνης ενέργειας παρουσιάζουν σημαντικές χωρικές διακυμάνσεις. Επομένως, το πρόσημο και η θέση αυτού του όρου μπορούν να μεταφέρουν φυσικές πληροφορίες σχετικά με το πού εναποτίθεται (ή εξάγεται) ενέργεια στο πλέγμα μέσω της μεταφοράς φορέων.

η θερμική ανασυνδυασμός (\(H_r\)) δίνεται από:

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

η οπτική απορρόφηση θερμότητας δίνεται από:

\[H_{optical}\]

και η θερμότητα που παράγεται λόγω της αντίστασης παράκαμψης δίνεται από την εξίσωση:

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

Το πάχος της συσκευής συμβολίζεται με d. Σημειώστε ότι η παράλληλη θέρμανση χρησιμοποιείται μόνο για τη διατήρηση της ενεργειακής ισορροπίας. Στην πράξη, η παρασιτική σειριακή/παράλληλη απώλεια θερμότητας συχνά δεν είναι τοπικά εντοπισμένη με έναν γνωστό μικροσκοπικό τρόπο, επομένως αντιμετωπίζεται ως μια αποτελεσματική συνεισφορά θερμότητας που απαιτείται για να επιτευχθεί η ενεργειακή ισορροπία της προσομοιωμένης συσκευής.

Μοντέλο υδροδυναμικής μεταφοράς και ενεργειακής ισορροπίας.

Εάν ενεργοποιήσετε το ηλεκτρικό και το θερμικό μοντέλο οπών, τότε ο όρος της πηγής θερμότητας θα αντικατασταθεί από

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

και η εξίσωση μεταφοράς ενέργειας για τα ηλεκτρόνια.

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

και τρύπες,

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

θα επιλυθεί.

Οι εξισώσεις ισορροπίας ενέργειας θα επιλυθούν επίσης και για τα ηλεκτρόνια.

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

και για τρύπες.

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

Η θερμική αγωγιμότητα του ηλεκτρονικού αερίου δίνεται από:

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

και για τρύπες όπως,

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

Αυτό το υδροδυναμικό πλαίσιο εισάγει ρητές ροές ενέργειας φορέων και χαλάρωση φορέων-πλέγματος μέσω των \(\tau_e\) και \(\tau_h\). Ως εκ τούτου, είναι σημαντικά πιο απαιτητικό σε υπολογιστικούς πόρους από το θερμικό μοντέλο πλέγματος και θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο όταν η φυσική του προβλήματος το απαιτεί. Για τις περισσότερες μελέτες ηλεκτροθερμικών συσκευών, η εξίσωση θερμότητας του πλέγματος με κατάλληλα επιλεγμένες οριακές συνθήκες και αγωγιμότητες στρώσεων αποτυπώνει τον κυρίαρχο βρόχο ανάδρασης αυτοθέρμανσης.

Πλήρεις τρέχουσες εκφράσεις υπό μη ισοθερμικές συνθήκες.

Οι πλήρεις εξισώσεις μεταφοράς διάχυσης με θερμική εξάρτηση, όπως προκύπτουν από την εξίσωση μεταφοράς ηλεκτρονίων (BTE), δίνονται από:

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

όπου \(\bar{W}\) είναι η μέση κινητική ενέργεια των ελεύθερων φορέων. Εάν υποτεθεί ότι η μέση ενέργεια είναι \(3/2kT\), αυτές οι εκφράσεις επιστρέφουν στις τυπικές εξισώσεις μεταφοράς με διάχυση. Σημειώστε ότι η πλήρης μορφή αυτών των εξισώσεων απαιτείται όταν δεν χρησιμοποιούνται οι στατιστικές του Maxwell-Boltzmann.