Modele termiczne

OghmaNano umożliwia symulacje elektrotermiczne na różnych poziomach szczegółowości, począwszy od prostego przybliżenia ze stałą temperaturą, aż po w pełni sprzężone symulacje samonagrzewania oraz (w szczególnych warunkach) transportu energii z uwzględnieniem dynamiki płynów. Celem tych opcji jest praktyczne zastosowanie: wiele zachowań urządzeń pod wpływem napięcia nie można wyjaśnić, stosując wyłącznie elektryczny model ze stałą temperaturą, gdy rozpraszanie mocy staje się znaczące.

W programie OghmaNano dostępne są trzy opcje symulacji termicznej: (1) stała temperatura w całym urządzeniu (domyślnie 300 K); (2) solver termiczny oparty na modelu sieci krystalicznej, który rozwiązuje równanie przewodzenia ciepła w całym urządzeniu, uwzględniając efekt samonagrzewania; oraz (3) solver hydrodynamiczny (oparty na bilansie energetycznym), który nie zakłada, że temperatura elektronów, dziur i sieci krystalicznej jest identyczna. Opcja ze stałą temperaturą jest zalecana dla większości symulacji urządzeń o niskim poborze mocy. Model termiczny oparty na sieci krystalicznej jest stosowany, gdy oczekuje się, że samonagrzewanie wpłynie na charakterystyki prądowo-napięciowe, profile rekombinacji lub stabilność urządzenia. Model hydrodynamiczny jest przeznaczony do specjalnych przypadków, takich jak silna wymiana energii na heterozłączu lub ekstremalne pola, w których nośniki ładunku mogą nie osiągać lokalnie temperatury sieci krystalicznej.

Konfiguracja termiczna jest dostępna za pomocą paska narzędzi „Termiczny”, który umożliwia: włączanie/wyłączanie modelu termicznego, wybieranie parametrów generowania ciepła (transport/efekt Joule’a/efekt Peltiera, rekombinacja, absorpcja optyczna, straty pasożytnicze), ustawianie warunków brzegowych, wybieranie ustawień siatki termicznej oraz edycję parametrów termicznych materiałów. Te opcje są wyświetlane w ??.

W jaki sposób połączone są ze sobą moduły rozwiązujące równania elektrotermiczne?

Symulacja elektrotermiczna z natury rzeczy stanowi problem wielofizyczny, w którym różne zjawiska są ze sobą powiązane. Rozwiązanie równań elektrycznych określa rozkład przestrzenny prądu, rekombinacji i rozpraszania mocy; te wielkości stają się źródłami ciepła w równaniu dyfuzji termicznej; a wynikowe pole temperatury wpływa z powrotem na transport, rekombinację i właściwości materiału. W programie OghmaNano to sprzężenie jest realizowane za pomocą zewnętrznej pętli iteracyjnej: dla danego punktu pracy, solver elektryczny działa, wykorzystując aktualną wartość temperatury, obliczane są parametry generowania ciepła, solver termiczny aktualizuje pole temperatury, a proces powtarza się, aż zarówno reszty elektryczne, jak i termiczne spełnią kryteria zbieżności.

To jest praktyczne wyjaśnienie, dlaczego symulacje elektrotermiczne trwają dłużej niż symulacje przy stałej temperaturze: na każdym etapie zmiany napięcia obliczenia elektryczne mogą być wykonywane wielokrotnie, przeplatając się z obliczeniami termicznymi, aż do uzyskania stabilnego, wspólnego rozwiązania. Celem nie jest „wykres temperatury”, lecz uzyskanie spójnego rozwiązania dla połączenia i jego stanu wewnętrznego, w którym straty energii i odprowadzanie ciepła są zrównoważone.

Dlaczego problemy związane z przewodnością cieplną i elektryczną występują w różnych zakresach skali długości?

Kluczową cechą strukturalną modelowania elektrotermicznego jest rozbieżność między skalami długości fizycznych. W urządzeniach cienkowarstwowych transport elektryczny jest zazwyczaj zdominowany przez struktury o wymiarach od nanometrów do mikrometrów: warstwy aktywne, obszary złącza, strefy iniekcji i wąskie profile rekombinacji. Z kolei dyfuzja termiczna zależy od całej ścieżki przepływu ciepła: kontaktów, podłoża, materiałów uszczelniających, elementów montażowych i radiatorów, których wymiary często sięgają od milimetrów do centymetrów. Próba zastosowania siatki obliczeniowej o skali centymetrowej do radiatora w kontekście rozdzielczości elektrycznej cienkiej warstwy jest bezcelowa z punktu widzenia obliczeń.

Dlatego w OghmaNano konfiguracja termiczna jest traktowana jako podstawowy obiekt modelowania, a nie jako element dodany na końcu procesu: problem termiczny to nie tylko „dodatkowe aspekty fizyczne”, często stanowi on odrębną dziedzinę. Siatka termiczna może rozciągać się poza obszar elektrycznie aktywny, a warunki brzegowe służą do modelowania efektywnego odprowadzania ciepła bez konieczności tworzenia siatki dla makroskopowych radiatorów.

Warunki brzegowe mają zasadniczy wpływ na to, jak bardzo urządzenie się nagrzewa.

Warunki brzegowe dotyczące wymiany ciepła nie służą jedynie uproszczeniu obliczeń; określają one sposób, w jaki ciepło jest odprowadzane. Urządzenie o słabej zdolności do odprowadzania ciepła może szybko osiągać wysokie temperatury, gdy wzrasta moc wydzielana; natomiast urządzenie przymocowane do wydajnego radiatora może utrzymywać temperaturę zbliżoną do temperatury otoczenia, nawet przy dużym natężeniu prądu. W stanie ustalonym wzrost temperatury zależy od równowagi między „ciepłem wytwarzanym” a „ciepłem odprowadzanym”, a warunki brzegowe w dużej mierze określają tę drugą wartość.

Przydatnym fizycznym przykładem jest wanna. Kran odpowiada generowaniu ciepła, a odpływ – odprowadzaniu ciepła. Jeśli odpływ jest otwarty, poziom wody pozostaje niski. Jeśli jest częściowo zatkany, poziom wody się podnosi. Jeśli jest całkowicie zatkany, a kran jest odkręcony, woda wylewa się z wanny. W problemie termicznym „poziom wody” odpowiada polu temperatur: jeśli ciepło nie może być efektywnie odprowadzane, temperatura rośnie, aż gradienty termiczne i strumień na granicy będą w stanie odprowadzić wytworzoną energię.

W edytorze warunków brzegowych, „Neumann (==0)” odpowiada warunkowi brzegowemu, w którym normalny strumień ciepła wynosi zero:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

Z punktu widzenia fizyki, ta powierzchnia pełni funkcję izolacyjną: program otrzymuje informację, że ciepło nie przepływa przez nią. Nie oznacza to, że całe urządzenie jest izolowane termicznie; oznacza to jedynie, że dana powierzchnia nie należy do ścieżki, którą ma przepływać ciepło. Następnie odprowadzanie ciepła odbywa się za pomocą obudowy (lub obudów), która jest skonfigurowana jako radiator lub w inny sposób zapewnia wymianę ciepła.

Parametry termiczne: przewodność cieplna i czas relaksacji nośników energii.

Oprócz warunków brzegowych, kolejnym kluczowym elementem wpływającym na wszelkie obliczenia termiczne jest zestaw parametrów materiałowych, a w szczególności przewodność cieplna. Parametry te można modyfikować dla każdej warstwy za pomocą narzędzia „Parametry termiczne” (często oznaczone jako \(k\) lub \(\kappa\)) w sekcji „Termiczne” (??), która otwiera edytor parametrów termicznych, widoczny na ??.

Kluczowym parametrem jest przewodność cieplna, która określa, jak łatwo ciepło rozchodzi się przez poszczególne warstwy, a tym samym, jak silne gradienty temperatury powstają pod wpływem zewnętrznego pola. Edytor umożliwia również ustawienie czasu relaksacji elektronów i dziur. Parametry te są wymagane tylko w przypadku stosowania modelu hydrodynamicznego (opartego na bilansie energii), w którym nośniki ładunku mogą mieć temperaturę różną od temperatury sieci krystalicznej. W standardowym modelu termicznym sieci krystalicznej nie są one wykorzystywane.

Dyskretizacja temperatury i wstępnie obliczone tabele.

Konfiguracja siatki termicznej obejmuje również zakres temperatur oraz liczbę punktów temperatury. Nie są to punkty siatki przestrzennej, lecz tworzą one dyskretną siatkę temperatur, która jest wykorzystywana do tworzenia wstępnie obliczonych tabel zależnych od temperatury. Wiele wewnętrznych parametrów modelu wymaga kosztownych, wielokrotnych obliczeń jako funkcji temperatury (a często także poziomu quasi-Fermiego), dlatego OghmaNano wstępnie oblicza je na skończonej siatce temperatur i interpoluje je podczas rozwiązywania problemu w sposób sprzężony. Poprawia to stabilność i zmniejsza koszt obliczeniowy wielokrotnego obliczania statystyk zależnych od temperatury wewnątrz pętli sprzężenia elektrotermicznego.

W praktyce oznacza to, że zakres temperatur powinien obejmować wartości temperatur, jakie spodziewamy się uzyskać podczas symulacji, zapewniając komfort pracy. Jeśli urządzenie nagrzewa się do wartości wykraczających poza ustawiony zakres, interpolacja może przekształcić się w ekstrapolację lub ograniczenie (w zależności od konfiguracji), co nie jest pożądane w przypadku ilościowej analizy samonagrzewania.

Różne temperatury: dla sieci krystalicznej, elektronów i dziur.

Należy również pamiętać, że modelowanie elektrotermiczne z natury obejmuje wiele temperatur. OghmaNano rozróżnia temperaturę sieci krystalicznej \(T_L\), temperaturę elektronów \(T_e\) oraz temperaturę dziur \(T_h\). W standardowym modelu termicznym sieci krystalicznej zakłada się, że \(T_e\) i \(T_h\) są równe \(T_L\) (nośniki ładunku są lokalnie termalizowane). W hydrodynamicznym modelu bilansu energetycznego \(T_e\) i \(T_h\) mogą różnić się od \(T_L\), co odzwierciedla transport energii nośników ładunku w warunkach stanu niestałego.

Dlatego też opcja hydrodynamiczna nie jest „bardziej precyzyjnym ustawieniem domyślnym”; jest to model przeznaczony do analizy szczególnych przypadków, w których lokalna termalizacja nośników nie może być dobrze przybliżona. W większości symulacji cienkich warstw i urządzeń organicznych model termiczny sieci krystalicznej wystarczająco dobrze oddaje dominujący mechanizm sprzężenia zwrotnego termicznego przy rozsądnych kosztach obliczeniowych.

Model termiczny sieci krystalicznej

Przy rozwiązywaniu jedynie równania przewodzenia ciepła w sieci krystalicznej, przepływ i generowanie ciepła określa się za pomocą:

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

gdzie nagrzewanie dżulowe (\(H_j\)) wyraża się wzorem:

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

W praktyce ten związany z transportem termin dotyczący ogrzewania może obejmować zarówno konwencjonalne ogrzewanie rezystancyjne (dżulowe), jak i ogrzewanie/chłodzenie z wykorzystaniem efektu Peltiera, gdy krawędzie pasm energetycznych zmieniają się w znaczący sposób w przestrzeni. Znak i lokalizacja tego terminu mogą zatem zawierać informacje fizyczne na temat tego, gdzie energia jest wprowadzana (lub pobierana) z sieci krystalicznej przez transport nośników ładunku.

ogrzewanie przez rekombinację (\(H_r\)) jest wyrażone wzorem:

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

absorpcja promieniowania optycznego prowadzi do nagrzewania, co opisuje wzór:

\[H_{optical}\]

a wartość rezystancji bocznikowej powodująca nagrzewanie się jest określona wzorem:

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

Grubość urządzenia oznaczana jest symbolem d. Należy zauważyć, że zastosowanie elementu bocznikowego ma na celu jedynie optymalizację zużycia energii. W praktyce pasożytnicze straty szeregowe/bocnikowe często nie są zlokalizowane przestrzennie w sposób, który można by jednoznacznie określić na poziomie mikroskopowym, dlatego traktuje się je jako efektywny wkład w generowanie ciepła, niezbędny do zapewnienia bilansu energetycznego symulowanego urządzenia.

Bilans energetyczny – model transportu hydrodynamicznego

Jeśli włączysz model elektryczny i termiczny uwzględniający przewodzenie ciepła, wówczas składnik źródła ciepła zostanie zastąpiony przez...

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

oraz równanie opisujące transport energii przez elektrony.

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

i otwory.

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

zostanie rozwiązany.

Równania bilansu energetycznego zostaną również rozwiązane dla elektronów.

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

oraz do wykonywania otworów

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

Przewodność cieplna gazu elektronowego wyraża się wzorem:

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

oraz w przypadku otworów o kształcie,

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

Niniejsze podejście hydrodynamiczne wprowadza wyraźne strumienie energii nośników oraz relaksację nośników w sieci krystalicznej za pomocą \(\tau_e\) i \(\tau_h\). W związku z tym jest ono znacznie bardziej kosztowne obliczeniowo niż model termiczny sieci krystalicznej i powinno być stosowane tylko wtedy, gdy wymaga tego fizyka problemu. W większości badań dotyczących urządzeń elektrotermicznych, równanie przewodzenia ciepła w sieci krystalicznej, wraz z odpowiednio dobranymi warunkami brzegowymi i przewodnością warstw, wystarczająco dobrze opisuje dominującą pętlę sprzężenia zwrotnego związanej z samonagrzewaniem.

Pełne wartości prądu w warunkach nieizotermicznych.

Pełne równania transportu, uwzględniające zależność dryfu od temperatury, wyprowadzone z równania Boltzmanna, mają postać:

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

gdzie \(\bar{W}\) oznacza średnią energię kinetyczną swobodnych nośników ładunku. Jeśli przyjmiemy, że średnia energia wynosi \(3/2kT\), to powyższe wyrażenia sprowadzają się do standardowych równań dryfu i dyfuzji. Należy pamiętać, że pełna forma tych równań jest wymagana, gdy nie stosuje się statystyki MB.