Η σχέση του Αϊνστάιν στην εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης των ημιαγωγών.

1. Τι είναι οι εξισώσεις του Αϊνστάιν;

Μέσα σε έναν ημιαγωγό, οι φορείς φορτίου μεταφέρονται μέσω δύο μηχανισμών: της μετατόπισης, η οποία προκαλείται από κλίσεις στις ενεργειακές ζώνες, και της διάχυσης, η οποία προκαλείται από κλίσεις στην πυκνότητα των φορέων. Οι σχέσεις Einstein συνδέουν τις αντίστοιχες κινητικότητες και τους συντελεστές διάχυσης, έτσι ώστε οι δύο μηχανισμοί να εξισορροπούν σωστά κατά τη θερμική ισορροπία. Οι εξισώσεις μετατόπισης-διάχυσης για τα ηλεκτρόνια και τις οπές είναι:

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{J}_n &= \underbrace{\color{red}{\mu_n n\nabla E_c}}_{\text{drift}} + \underbrace{\color{blue}{qD_n\nabla n}}_{\text{diffusion}},\\[5pt] \boldsymbol{J}_p &= \underbrace{\color{red}{\mu_p p\nabla E_v}}_{\text{drift}} - \underbrace{\color{blue}{qD_p\nabla p}}_{\text{diffusion}}. \end{aligned} \]

Εδώ, τα \(\boldsymbol{J}_n\) και \(\boldsymbol{J}_p\) είναι οι συμβατικές πυκνότητες ρεύματος ηλεκτρονίων και οπών, το \(q\) είναι το θετικό στοιχειώδες φορτίο, τα \(n\) και \(p\) είναι οι πυκνότητες φορέων, τα \(\mu_n\) και \(\mu_p\) είναι οι κινητικότητες και τα \(D_n\) και \(D_p\) είναι οι συντελεστές διάχυσης. Τα \(E_c\) και \(E_v\) είναι οι ενέργειες των ορίων της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους σε joule, επομένως οι κλίσεις τους αντικαθιστούν τον ρητό όρο του ηλεκτρικού πεδίου. Εάν οι ενέργειες των ορίων των ζωνών αποθηκεύονται σε volt (ενέργεια διαιρεμένη με το \(q\)), ο αντίστοιχος όρος μετατόπισης είναι το \(q\mu_n n\nabla (E_c/q)\) και το ίδιο ισχύει για τις οπές. Οι εκφράσεις εδώ υποθέτουν ισόθερμη μεταφορά και τοπικά σταθερή δομή ζωνών· οι κλίσεις θερμοκρασίας και οι χωρικά μεταβαλλόμενες ιδιότητες του υλικού απαιτούν επιπλέον προσοχή. Για περισσότερες πληροφορίες, δείτε τις ενότητες Ηλεκτροστατική, Κινητικότητα φορέων φορτίου και την πλήρη παράγωγη της μετατόπισης-διάχυσης.

Σε κάθε εξίσωση υπάρχουν δύο όροι. Ο κόκκινος όρος της μετατόπισης περιγράφει τη μεταφορά που προκαλείται από την κλίση της ζώνης αγωγιμότητας· ο μπλε όρος της διάχυσης περιγράφει τη μεταφορά που προκαλείται από τις διαφορές πυκνότητας. Στο Σχήμα ??, τα ηλεκτρόνια κινούνται κατά μήκος της κλίσης της ζώνης αγωγιμότητας και συσσωρεύονται στα δεξιά. Η διάχυση τα ωθεί πίσω προς την περιοχή με χαμηλότερη πυκνότητα. Παρόλο που τα ηλεκτρόνια κινούνται αντίθετα προς τη συμβατική ροή ηλεκτρονίων, οι συνεισφορές στο ρεύμα είναι αντίθετες και αλληλοεξουδετερώνονται στην ισορροπία.

Σε μια συσκευή που δεν φωτίζεται και βρίσκεται σε θερμική ισορροπία, συμπεριλαμβανομένης μιας σύνδεσης p–n με ένα ενσωματωμένο ηλεκτρικό πεδίο, τα συνολικά ρεύματα ηλεκτρονίων και οπών πρέπει να είναι μηδενικά σε κάθε σημείο:

\[ \boldsymbol{J}_{n,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{n,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}, \qquad \boldsymbol{J}_{p,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{p,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}. \]

Εάν οι σχέσεις του Αϊνστάιν είναι ασύμβατες με τις στατιστικές των φορέων, τότε η μετατόπιση και η διάχυση δεν είναι απαραίτητο να αλληλοεξουδετερώνονται: μια προσομοίωση μπορεί στη συνέχεια να προβλέψει ένα ψευδή σκοτεινό ρεύμα σε μηδενική εφαρμοσμένη τάση ή μια μετατόπιση στην καμπύλη σκοτεινού ρεύματος-τάσης, όπως απεικονίζεται στην Εικόνα ??. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό κατά την προσομοίωση πολύ μικρών ρευμάτων. Η μηδενική εφαρμοσμένη τάση από μόνη της δεν συνεπάγεται ισορροπία εάν η συσκευή φωτίζεται ή υποβάλλεται σε άλλη διέγερση· η δήλωση για μηδενικό ρεύμα εδώ ισχύει για τη σκοτεινή, θερμικά ισορροπημένη συσκευή.

Για την τυπική, μη εκφυλισμένη (Boltzmann) περίπτωση, οι σχέσεις Einstein είναι απλώς:

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q},\qquad D_p=\mu_p\frac{k_BT}{q}.} \]

Εδώ, \(k_B\) είναι η σταθερά του Boltzmann και \(T\) είναι η απόλυτη θερμοκρασία. Η αναλογία \(k_BT/q\) είναι η θερμική τάση (περίπου 25,9 mV στους 300 K). Επομένως, η υψηλότερη κινητικότητα απαιτεί αναλογικά υψηλότερο συντελεστή διάχυσης· τα δύο δεν είναι ανεξάρτητες παράμετροι σε ένα συνεπές μοντέλο συσκευής. Οι ακόλουθες ενότητες εξάγουν αυτή την έκφραση και εξηγούν τις αλλαγές που συμβαίνουν σε εκφυλισμένες ή μη παραβολικές ζώνες.

2. Μια απλή εξαγωγή: Η κλασική σχέση του Αϊνστάιν.

Εξετάστε τα ηλεκτρόνια σε έναν ομοιογενή, ισοθερμικό, μη εκφυλισμένο ημιαγωγό. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε θερμική ισορροπία, η ενεργειακή στάθμη Fermi \(E_F\) των ηλεκτρονίων είναι σταθερή σε όλο το χώρο και η πυκνότητα των φορέων ακολουθεί την κατανομή Boltzmann. Η διαφορά μεταξύ της κατανομής Boltzmann και της κατανομής Fermi-Dirac συζητείται στο Στατιστική Fermi-Dirac έναντι στατιστικής Maxwell-Boltzmann:

\[ n=N_c\exp\!\left(\frac{E_F-E_c}{k_BT}\right). \]

Εδώ, το \(E_c\) είναι η άκρη της ζώνης αγωγιμότητας και το \(N_c\) είναι η αποτελεσματική πυκνότητα καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας. Με σταθερές τιμές για τα \(N_c\) και \(T\), η λήψη της χωρικής κλίσης δίνει:

\[ \nabla n=-\frac{n}{k_BT}\nabla E_c. \]

Αντικαθιστώντας απευθείας αυτή την κλίση της πυκνότητας στην εξίσωση του ηλεκτρονικού ρεύματος, χρησιμοποιώντας την σημειογραφία της κλίσης της ζώνης αγωγιμότητας, προκύπτει:

\[ \boldsymbol{J}_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n =\mu_n n\nabla E_c-qD_n\frac{n}{k_BT}\nabla E_c =n\nabla E_c\left(\mu_n-\frac{qD_n}{k_BT}\right). \]

Επειδή το ρεύμα ισορροπίας πρέπει να μηδενίζεται ακόμη και σε περιοχές όπου υπάρχει ενσωματωμένο ηλεκτρικό πεδίο, η έκφραση μέσα στις παρενθέσεις πρέπει να είναι μηδέν. Επομένως,

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q}.} \]

Η επανάληψη του επιχειρήματος για τις οπές δίνει την εξίσωση \(D_p=\mu_p k_BT/q\). Αυτή είναι η γνωστή κλασική σχέση του Αϊνστάιν. Συχνά προκύπτει χρησιμοποιώντας παραβολικές ζώνες, αλλά η καθοριστική προσέγγιση εδώ είναι η στατιστική των φορέων του Boltzmann (μη εκφυλισμένη): οι φορείς είναι αρκετά αραιωμένοι, έτσι ώστε η πληρότητα των διαθέσιμων καταστάσεων να είναι μικρή.

3. Η Γενικευμένη Σχέση Αϊνστάιν

Το απλό αποτέλεσμα δεν ισχύει πάντα. Σε υλικά με υψηλή συγκέντρωση προσμίξεων ή όταν η στάθμη Fermi πλησιάζει ή εισέρχεται σε μια ζώνη, οι φορείς φορτίου υπακούουν στις στατιστικές Fermi-Dirac και όχι στην προσέγγιση Boltzmann. Η πυκνότητα των φορέων δεν είναι τότε μια απλή εκθετική συνάρτηση της στάθμης Fermi. Η πυκνότητα των καταστάσεων μπορεί επίσης να είναι μη παραβολική, διαταραγμένη ή να προκύπτει αριθμητικά από έναν υπολογισμό της δομής ζωνών. Ο υπολογισμός της πυκνότητας των φορέων περιγράφεται στο Πυκνότητα φορέων φορτίου.

Ας υποθέσουμε ότι η πυκνότητα των ηλεκτρονίων εξαρτάται από τη διαφορά ενέργειας \(\xi_n=E_{Fn}-E_c\), σε σταθερή θερμοκρασία και με σταθερή τοπική πυκνότητα καταστάσεων: \(n=n(\xi_n,T)\). Η σχετική επιπέδου Fermi των ηλεκτρονίων \(E_{Fn}\) είναι σταθερή στην ισορροπία. Λαμβάνοντας την χωρική κλίση, προκύπτει:

\[ \nabla n =\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T (\nabla E_{Fn}-\nabla E_c) =-\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T\nabla E_c. \]

Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στην τρέχουσα εξίσωση και απαιτώντας μηδενικό ρεύμα ισορροπίας, προκύπτει η γενικευμένη σχέση του Αϊνστάιν:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{n}{q\left(\partial n/\partial\xi_n\right)_T} =\frac{1}{q}\left(\frac{\partial\xi_n}{\partial\ln n}\right)_T. } \]

Για τις οπές, ορίζουμε το \(\xi_p=E_v-E_{Fp}\), το οποίο αυξάνεται με την αύξηση του αριθμού των οπών. Στη συνέχεια, η ισοδύναμη σχέση είναι:

\[ \boxed{ \frac{D_p}{\mu_p} =\frac{p}{q\left(\partial p/\partial\xi_p\right)_T}. } \]

Αυτές οι εξισώσεις έχουν μια χρήσιμη φυσική ερμηνεία: η παράγωγος μας δείχνει πόσο εύκολα αλλάζει ο πληθυσμός των φορέων όταν αλλάζει η χημική του δυναμική. Μια μεγάλη αλλαγή στην πυκνότητα για μια μικρή αλλαγή στην ενέργεια του ψευδο-Fermi σημαίνει μια μεγάλη παράγωγο και ένα μικρότερο \(D/\mu\). Εάν τα ενεργειακά επίπεδα γεμίζουν και η πυκνότητα ανταποκρίνεται λιγότερο έντονα, η αναλογία αυξάνεται. Έτσι, η σχέση Einstein είναι μια ιδιότητα της στατιστικής των φορέων και της πυκνότητας των ενεργειακών καταστάσεων, και όχι απλώς ένας αριθμητικός παράγοντας που πολλαπλασιάζει την κινητικότητα.

Για μια αυθαίρετη πυκνότητα καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας \(g_c(E)\), η πυκνότητα των ηλεκτρονίων μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

\[ n=\int_{E_c}^{\infty}g_c(E) \frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}\,dE. \]

Για μια δεδομένη δομή ζωνών και θερμοκρασία, η παράγωγός της μπορεί να υπολογιστεί από τις ίδιες καταστάσεις:

\[ \left.\frac{\partial n}{\partial E_{Fn}}\right|_T =\frac{1}{k_BT}\int_{E_c}^{\infty}g_c(E)f(E)[1-f(E)]\,dE, \qquad f(E)=\frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}. \]

Εφόσον το \(\partial\xi_n/\partial E_{Fn}=1\) είναι σταθερό στο \(E_c\), αυτή η παράγωγος μπορεί να χρησιμοποιηθεί άμεσα στη γενικευμένη σχέση Einstein. Αυτή η προσέγγιση λειτουργεί επίσης με μια μη παραβολική αριθμητική πυκνότητα καταστάσεων. Για τις οπές, χρησιμοποιήστε την αντίστοιχη πυκνότητα καταστάσεων της ενεργειακής ζώνης αγωγιμότητας και την πληρότητα των οπών \(1-f\), παίρνοντας την παράγωγο ως προς το \(E_v-E_{Fp}\).

4. Παραβολικές Ζώνες: Ανάκτηση του Κλασικού Αποτελέσματος

Για μια τρισδιάστατη παραβολική ζώνη, η πυκνότητα των ηλεκτρονίων μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή ενός ολοκληρώματος Fermi–Dirac:

\[ n=N_c F_{1/2}(\eta_n), \qquad \eta_n=\frac{E_{Fn}-E_c}{k_BT}. \]

Χρησιμοποιούμε τον κανονικοποιημένο ορισμό \(F_j(\eta)=\Gamma(j+1)^{-1} \int_0^\infty x^j/[1+\exp(x-\eta)]\,dx\). Χρησιμοποιώντας το \(dF_{1/2}/d\eta=F_{-1/2}\), η γενικευμένη σχέση του Αϊνστάιν γίνεται:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{k_BT}{q} \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. } \]

Μια ανάλογη εξίσωση ισχύει για τις οπές με \(\eta_p=(E_v-E_{Fp})/(k_BT)\). Αυτό το αποτέλεσμα είναι έγκυρο για μια τρισδιάστατη παραβολική ζώνη, ακόμη και όταν είναι εκφυλισμένη. Η αναλογία των ολοκληρωμάτων Fermi–Dirac λαμβάνει υπόψη την επίδραση της πλήρωσης των ενεργειακών καταστάσεων.

Στο μη εκφυλισμένο όριο, όπου \(\eta_n\ll-1\), και τα δύο ολοκληρώματα Fermi–Dirac συγκλίνουν στο \(\exp(\eta_n)\). Επομένως,

\[ \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}\longrightarrow 1, \qquad \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}\longrightarrow\frac{k_BT}{q}.} \]

Αυτό δείχνει ακριβώς από πού προέρχεται η γνωστή έκφραση. Μια παραβολική ζώνη από μόνη της δεν είναι αρκετή: για να ληφθεί η \(D/\mu=k_BT/q\), οι φορείς πρέπει επίσης να είναι μη εκφυλισμένοι. Σε μια εκφυλισμένη παραβολική ζώνη, απαιτείται η διόρθωση Fermi-Dirac· για μια γενική μη παραβολική ζώνη, η έκφραση που περιλαμβάνει την παράγωγο της πυκνότητας είναι συνήθως το πιο χρήσιμο σημείο εκκίνησης.

5. Πίεση του φορέα: Ένας άλλος τρόπος για να κατανοήσουμε τη διάχυση.

Υπάρχει ένας άλλος χρήσιμος τρόπος για να κατανοήσουμε την προέλευση του όρου διάχυσης. Στην εξίσωση ισορροπίας ορμής, η οποία προέρχεται από την εξίσωση μεταφοράς Boltzmann, οι φορείς ασκούν πίεση επειδή έχουν μια κατανομή ταχυτήτων και ορμών. Μια κλίση σε αυτή την πίεση των φορέων δημιουργεί μια δύναμη που ωθεί τους φορείς από περιοχές υψηλότερης πίεσης προς περιοχές χαμηλότερης πίεσης. Αυτή είναι η μικροσκοπική προέλευση της διάχυσης. Δείτε το Εξαγωγή της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann για τη σύνδεση με την ισορροπία ορμής.

Για μια ισότροπη τρισδιάστατη παραβολική ζώνη αγωγιμότητας, ορίστε την πίεση των ηλεκτρονίων \(P_n\) ως εξής:

\[ P_n=\frac{2}{3}\int_{E_c}^{\infty}(E-E_c)g_c(E)f(E)\,dE. \]

Εδώ, \(g_c(E)\) είναι η πυκνότητα των καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας και \(f(E)\) είναι η πιθανότητα πληρότητας. Ο παράγοντας \(2/3\) προκύπτει από την παραβολική διασπορά σε τρεις διαστάσεις. Στο κλασικό όριο, όπου δεν υπάρχει εκφυλισμός, αυτό μετατρέπεται στην γνωστή έκφραση για το ιδανικό αέριο.

\[ P_n=nk_BT. \]

Για ένα ομοιογενές υλικό με σταθερή θερμοκρασία, το ηλεκτρονικό ρεύμα μπορεί επομένως να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μια κλίση πίεσης αντί για μια κλίση πυκνότητας:

\[ \boldsymbol{J}_n=\mu_n n\nabla E_c+\mu_n\nabla P_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n. \]

Συγκρίνοντας τους δύο όρους διάχυσης, διαπιστώνουμε ότι το σημαντικό στοιχείο είναι ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η πίεση σε σχέση με την πυκνότητα των φορέων, και όχι απλώς η πίεση διαιρεμένη δια την πυκνότητα:

\[ \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{1}{q}\left(\frac{\partial P_n}{\partial n}\right)_T.} \]

Εφόσον ισχύει η \(P_n=nk_BT\) στο όριο του Boltzmann, η \(\partial P_n/\partial n=k_BT\), τότε προκύπτει άμεσα η κλασική σχέση του Einstein. Όταν το ηλεκτρονικό αέριο γίνεται εκφυλισμένο, η πίεση δεν αυξάνεται πλέον γραμμικά με την πυκνότητα. Για μια τρισδιάστατη παραβολική ζώνη, χρησιμοποιώντας τις ίδιες κανονικοποιημένες ολοκληρωτικές συναρτήσεις Fermi-Dirac όπως παραπάνω, προκύπτει:

\[ P_n=N_c k_BT F_{3/2}(\eta_n),\qquad \frac{\partial P_n}{\partial n} =k_BT\frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. \]

Αυτό αναπαράγει ακριβώς τη γενικευμένη σχέση Einstein που προκύπτει στην Ενότητα 4. Είναι σημαντικό να μην συγχέουμε το \(P_n/n=k_BT F_{3/2}(\eta_n)/F_{1/2}(\eta_n)\) με το \(\partial P_n/\partial n\): είναι ίσες μόνο στην κλασική περίπτωση. Για μη παραβολικές ζώνες, η πίεση απαιτεί μια πιο γενική προσέγγιση που εξαρτάται από την ταχύτητα και τη δομή της ζώνης. Η παράγωγος της πυκνότητας φορέων στην Ενότητα 3 είναι συνήθως ένας πιο βολικός τρόπος για τον υπολογισμό της σχέσης Einstein στο πλαίσιο ενός συνεπούς μοντέλου μεταφοράς με εκτροπή.

6. Αριθμητική Ακρίβεια: Αποφυγή Ψευδών Ρεύμάτων Ισορροπίας

Σε έναν προσομοιωτή διάχυσης-μεταφοράς, η γενικευμένη σχέση Einstein είναι σχετικά απλή στην διατύπωσή της, αλλά μπορεί να είναι δύσκολο να υπολογιστεί με ακρίβεια. Η κύρια πρόκληση είναι η παράγωγος της πυκνότητας των φορέων ως προς την ψευδο-ενέργεια Fermi. Μια κοινή προσέγγιση είναι η χρήση πεπερασμένων διαφορών:

\[ \frac{\partial n}{\partial E_{Fn}} \approx\frac{n(E_{Fn}+\Delta E)-n(E_{Fn}-\Delta E)}{2\Delta E}. \]

Εάν το \(\Delta E\) είναι πολύ μεγάλο, η παράγωγος είναι ανακριβής λόγω σφάλματος περικοπής. Εάν είναι πολύ μικρό, δύο σχεδόν ίσες πυκνότητες φορέων αφαιρούνται, γεγονός που μπορεί να ενισχύσει το σφάλμα στρογγυλοποίησης κινητής υποδιαστολής ή τον αριθμητικό θόρυβο στις υπολογιστικές διαδικασίες της δομής ζωνών και της πυκνότητας καταστάσεων. Το προκύπτον σφάλμα στη συνέχεια ενισχύεται κατά τον σχηματισμό του \(D/\mu=n/[q(\partial n/\partial E_{Fn})]\), ιδιαίτερα όπου η παράγωγος είναι μικρή.

Ακόμη και ένα μικρό σχετικό σφάλμα μπορεί να έχει σημασία, επειδή, στην ισορροπία, τα ρεύματα μεταφοράς και διάχυσης μπορεί να είναι σημαντικά, ενώ το άθροισμά τους θα πρέπει να είναι ακριβώς μηδέν. Μια μικρή απόκλιση μπορεί να αφήσει ένα ψευδές υπολειπόμενο ρεύμα. Αυτό μπορεί να είναι ιδιαίτερα αισθητό σε προσομοιώσεις που περιλαμβάνουν μη παραβολικές ζώνες, αριθμητικές πυκνότητες καταστάσεων, χαμηλές πυκνότητες φορέων ή ετεροδομές με έντονες διακυμάνσεις.

Όταν είναι εφικτό, είναι προτιμότερο να διαχωρίζεται η συνάρτηση κατανομής των ηλεκτρονίων αναλυτικά κάτω από το ολοκλήρωμα της πυκνότητας των καταστάσεων, όπως στην Ενότητα 3, αντί να χρησιμοποιούνται πεπερασμένες διαφορές σε δύο ξεχωριστά υπολογισμένες πυκνότητες. Για πολύ αραιές συγκεντρώσεις φορέων, χρησιμοποιήστε μια σταθερή έκφραση ορίου Boltzmann όταν είναι κατάλληλο. Είναι επίσης σημαντικό να χρησιμοποιείται συνεπής αριθμητική ολοκλήρωση, στατιστική των φορέων, συμβάσεις για την άκρη της ζώνης και διακριτοποίηση της μεταφοράς και της διάχυσης.

Τέλος, απαιτείται μια σωστή σχέση Einstein, αλλά από μόνη της δεν είναι αρκετή για να εξαλείψει τα ψευδή ρεύματα: η χωρική διακριτοποίηση πρέπει επίσης να διατηρεί την ισορροπία. Συγκεκριμένα, οι διακριτοποιήσεις ροής θα πρέπει να σέβονται τα σταθερά επίπεδα Fermi στην ισορροπία· ένα σχήμα που διατηρεί την ισορροπία, όπως το Scharfetter–Gummel, χρησιμοποιείται συνήθως για την κλασική μεταφορά με εκτροπή-διάχυση. Ένας πρακτικός έλεγχος προσομοιωτή είναι να εκτελεστεί ένας υπολογισμός ισορροπίας σε σκοτεινό περιβάλλον, χωρίς εφαρμοζόμενη τάση, και να επιβεβαιωθεί ότι τα ρεύματα ηλεκτρονίων και οπών μηδενίζονται σε όλη τη συσκευή, εντός της απαιτούμενης αριθμητικής ανοχής, συμπεριλαμβανομένων των διεπαφών μεταξύ των υλικών. Για τη διαχείριση των συνδέσεων και των μετατοπίσεων ζώνης, δείτε τα Interfaces και The built-in potential.

Το βασικό συμπέρασμα είναι απλό: η σχέση του Αϊνστάιν είναι αυτή που καθιστά τις περιγραφές της μεταφοράς μέσω ολίσθησης και διάχυσης θερμοδυναμικά συνεπείς. Η γνωστή κλασική της μορφή είναι εύκολη στη χρήση, αλλά πιο γενικές στατιστικές για τους φορείς απαιτούν μια αντίστοιχα γενική και αριθμητικά ακριβή σχέση. Το ευρύτερο πλαίσιο μεταφοράς αναπτύσσεται στο Απόδειξη της σχέσης Boltzmann προς ολίσθηση-διάχυση.