Απόδειξη της εξίσωσης ανασύνθεσης Shockley-Read-Hall.

1. Ανασυνδυασμός Shockley-Read-Hall (SRH) στην απλούστερη μορφή του.

Η συνδυαστική διαδικασία Shockley-Read-Hall (SRH), στην απλούστερη μορφή της, μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαδικασία δύο σταδίων, όπως φαίνεται στο ??. Αρχικά, ένας φορέας φορτίου παγιδεύεται σε μια τοπική ελαττωματική κατάσταση εντός του ενεργειακού χάσματος, διαδικασία (α). Στη συνέχεια, ένας φορέας φορτίου αντίθετου τύπου συνδυάζεται με τον παγιδευμένο φορέα μέσω της ίδιας παγίδας, διαδικασία (β). Αυτή η απλή φυσική περιγραφή οδηγεί στην κλασική εξίσωση συνδυαστικής διαδικασίας SRH, η οποία είναι γνωστή από τη φυσική των ημιαγωγικών συσκευών:

\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]

Ωστόσο, στην αρχική εργασία των Shockley, Read και Hall, το φυσικό μοντέλο διατυπώθηκε με πολύ πιο λεπτομερή τρόπο. Αντί να λαμβάνεται υπόψη μόνο η παγίδευση ακολουθούμενη από ανασυνδυασμό, η θεωρία ορίζει τέσσερις ανταγωνιστικές ταχύτητες μετάβασης φορέων που σχετίζονται με τις διαδικασίες σύλληψης και θερμικής εκπομπής φορέων. Αυτές οι μεταβάσεις υπακούουν στις συνθήκες λεπτομερούς ισορροπίας σε θερμική ισορροπία και απεικονίζονται στο ??.

Οι τέσσερις τιμές είναι:

• \(r_{ec}\): σύλληψη ηλεκτρονίου στην κατάσταση παγίδευσης.
• \(r_{ee}\): θερμική εκπομπή ενός ηλεκτρονίου από την παγιδευμένη κατάσταση.
• \(r_{hc}\): σύλληψη της οπής στην κατάσταση παγίδευσης.
• \(r_{he}\): θερμική εκπομπή από μια οπή που προέρχεται από την κατάσταση παγίδευσης.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις τέσσερις σταθερές, η πληρότητα της κατάστασης παγίδευσης μπορεί να περιγραφεί μέσω της εξίσωσης του ρυθμού παγίδευσης φορέων:

\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Λύνοντας αναλυτικά αυτή την εξίσωση υπό σταθερές συνθήκες, οι Shockley, Read και Hall ανέπτυξαν την κλασική εξίσωση ανασύνθεσης SRH που δίνεται παραπάνω. Η παρακάτω ανάλυση ξεκινά από τις θεμελιώδεις υποθέσεις του μοντέλου SRH και προχωρά συστηματικά προς την εξίσωση ανασύνθεσης σε σταθερή κατάσταση. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, η μεταβατική ή μη ισορροπημένη μορφή των εξισώσεων SRH εμφανίζεται φυσικά. Αυτή η μη ισορροπημένη μορφή αποτελεί τη βάση του μοντέλου παγίδευσης που εφαρμόζεται στο OghmaNano.

2. Διαδικασίες σύλληψης και εκπομπής σε μια κατάσταση παγίδευσης.

Το μοντέλο Shockley-Read-Hall (SRH) περιγράφει την ανασύνθεση μέσω τοπικών καταστάσεων παγίδευσης εντός του ενεργειακού διαστήματος του ημιαγωγού. Ας εξετάσουμε μια ενιαία ενεργειακή στάθμη παγίδευσης στην ενέργεια \(E_t\), όπως απεικονίζεται στο ??. Αυτή η παγίδα μπορεί να ανταλλάσσει φορείς με τη ζώνη αγωγιμότητας και τη ζώνη σθένους μέσω διαδικασιών σύλληψης και θερμικής εκπομπής.

Ένα ηλεκτρόνιο στη ζώνη αγωγιμότητας μπορεί να μεταβεί στην κατάσταση παγίδευσης. Ομοίως, μια οπή στη ζώνη σθένους μπορεί επίσης να παγιδευτεί. Αυτές οι διαδικασίες παγίδευσης αντιστοιχούν σε φορείς που μετακινούνται από μια κατάσταση υψηλότερης ενέργειας σε μια κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας και τοπικού χαρακτήρα.

Αντίθετα, ένας παγιδευμένος φορέας μπορεί επίσης να απελευθερωθεί θερμικά και να επιστρέψει σε μια ζώνη μεταφοράς. Η εκπομπή ηλεκτρονίων απαιτεί ένα παγιδευμένο ηλεκτρόνιο να αποκτήσει επαρκή θερμική ενέργεια για να μετακινηθεί από το επίπεδο της παγίδας προς την άκρη της ζώνης αγωγιμότητας. Ομοίως, η εκπομπή οπών αντιστοιχεί στην διέγερση από το επίπεδο της παγίδας προς τη ζώνη σθένους.

Οι διαδικασίες που απαιτούν από τους φορείς να κινηθούν ενεργειακά αντίθετα στην κλίση ενεργοποιούνται θερμικά και, ως εκ τούτου, συμβαίνουν με πιθανότητες τύπου Boltzmann, οι οποίες είναι ανάλογες προς

\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]

όπου \(\Delta E\) είναι το ενεργειακό φράγμα που πρέπει να ξεπεραστεί. Μεγάλα ενεργειακά φράγματα έχουν ως αποτέλεσμα την εκθετική μείωση της θερμικής εκπομπής. Αντίθετα, η παγίδευση φορέων σε μια κατάσταση παγίδευσης χαμηλότερης ενέργειας είναι ενεργειακά ευνοϊκή και δεν απαιτεί θερμική ενεργοποίηση. Επομένως, οι διαδικασίες παγίδευσης δεν περιέχουν έναν εκθετικό παράγοντα μείωσης που σχετίζεται με την υπέρβαση ενός ενεργειακού φράγματος.

Ως αποτέλεσμα, οι βαθιές παγίδες τείνουν να παγιδεύουν αποτελεσματικά τους φορείς, ενώ τους απελευθερώνουν μόνο αργά. Οι ρηχές παγίδες, οι οποίες βρίσκονται πιο κοντά στο όριο μιας ζώνης μεταφοράς, ανταλλάσσουν φορείς με τις ζώνες πολύ πιο γρήγορα.

Οι συντελεστές σύλληψης ηλεκτρονίων και οπών γράφονται ως:

\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]

όπου \(v_{th}\) είναι η θερμική ταχύτητα, ενώ \(\sigma_n\) και \(\sigma_p\) είναι οι διατομές σύλληψης των ηλεκτρονίων και των οπών, αντίστοιχα.

Οι συντελεστές θερμικής εκπομπής γράφονται ως εξής:

\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]

\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

3. Ρυθμός εγκατάλειψης των παγίδων και ρυθμός μετάβασης στις υπηρεσίες σεξουαλικής και αναπαραγωγικής υγείας.

Οι συντελεστές σύλληψης και εκπομπής που αναφέρθηκαν παραπάνω περιγράφουν τις πιθανότητες μετάβασης που σχετίζονται με μια μεμονωμένη κατάσταση παγίδευσης. Ωστόσο, οι πραγματικές ταχύτητες μετάβασης εξαρτώνται επίσης από το αν η παγίδα είναι κατειλημμένη ή κενή.

Ας συμβολίσουμε με \(f\) την πιθανότητα κατακράτησης της παγίδας. Δεδομένου ότι η παγίδα είναι μια τοπική ηλεκτρονική κατάσταση, η κατακράτησή της ακολουθεί τη στατιστική Fermi-Dirac, με την προϋπόθεση ότι οι φορείς μπορούν να επιτύχουν θερμική ισορροπία εντός της κατανομής ενέργειας της παγίδας:

\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]

Επομένως, η πυκνότητα των κατειλημμένων παγίδων είναι

\[ n_t=N_t f, \]

ενώ η πυκνότητα των άδειων παγίδων είναι

\[ N_t(1-f). \]

Η σύλληψη ηλεκτρονίου απαιτεί μια κενή κατάσταση παγίδευσης και, επομένως, είναι ανάλογη με το \(1-f\). Η σύλληψη οπής απαιτεί μια κατάσταση παγίδευσης που είναι ήδη κατειλημμένη από ένα ηλεκτρόνιο και, επομένως, είναι ανάλογη με το \(f\). Αυτή η εξάρτηση από την πληρότητα είναι το βασικό στατιστικό χαρακτηριστικό του μοντέλου SRH.

Οι τέσσερις βασικές σταθερές μετάβασης που εμφανίζονται στο ?? εκφράζονται επομένως ως εξής:

\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]

\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]

4. Εξίσωση για τον υπολογισμό της στιγμιαίας πληρότητας της παγίδας.

Η μεταβατική εξίσωση SRH προκύπτει γράφοντας τον ρυθμό μεταβολής των κατειλημμένων παγίδων. Η σύλληψη ηλεκτρονίων γεμίζει μια παγίδα, η διαφυγή ηλεκτρονίων την αδειάζει, η σύλληψη οπών την αδειάζει μέσω ανασυνδυασμού και η διαφυγή οπών την γεμίζει αφαιρώντας ένα ηλεκτρόνιο της ζώνης αγωγιμότητας. Επομένως, χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία του ??,

Η εξαγωγή συνεχίζεται πλέον με την εξαγωγή των ρυθμών ανασύνθεσης που εμφανίζονται στις εξισώσεις συνέχειας διάχυσης-παρέκκλισης. Αυτοί οι όροι περιγράφουν τη συνολική απώλεια και την αύξηση των φορέων μεταξύ της ζώνης αγωγιμότητας, της ζώνης σθένους και των καταστάσεων παγίδευσης μέσω των διαδικασιών ανασύνθεσης SRH που προκύπτουν παραπάνω.

Από τη στιγμή που \(n_t=N_t f\), αυτό ισοδυναμεί με

\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Αντικαθιστώντας τις τέσσερις βασικές σταθερές, προκύπτει:

\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]

Διαιρώντας με το \(N_t\), η εξίσωση για την πληρότητα της παγίδας γίνεται:

\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]

Αυτή είναι η μεταβατική μορφή του μοντέλου SRH ενός επιπέδου. Θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν η πληρότητα της παγίδας είναι η ίδια μια δυναμική μεταβλητή κατάστασης, για παράδειγμα σε μεταβατικές προσομοιώσεις, αργή παγίδευση, γέμισμα παγίδων ή προσομοιώσεις εκτός ισορροπίας όπου η παγιδευμένη φόρτιση συμβάλλει στην εξίσωση Poisson.

Οι αντίστοιχοι παροδικοί όροι ανασυνδυασμού είναι:

\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]

\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]

Όταν το σύστημα δεν βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση, οι τιμές \(R_n\) και \(R_p\) δεν είναι απαραίτητα ίσες. Η διαφορά τους επηρεάζει την πυκνότητα της παγιδευμένης φόρτισης. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση, η πληρότητα των παγίδων είναι σταθερή και οι δύο καθαρές ταχύτητες γίνονται ίσες.

5. Κατάσταση σταθερής κατάληψης της παγίδας.

Το υπόλοιπο της παραγωγής επικεντρώνεται στην εξαγωγή μιας αναλυτικής λύσης σταθερής κατάστασης για τις προηγουμένως παραγόμενες μεταβατικές εξισώσεις ρυθμού SRH. Υποθέτοντας ότι η πληρότητα των παγίδων δεν αλλάζει πλέον με την πάροδο του χρόνου, οι συνδεδεμένες διαδικασίες σύλληψης και εκπομπής μπορούν να απλοποιηθούν αναλυτικά, οδηγώντας στην κλασική εξίσωση ανασύνθεσης Shockley-Read-Hall, η οποία χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική των ημιαγωγικών διατάξεων και στη μοντελοποίηση της μεταφοράς με διάχυση. Για να εξαχθεί η κλασική εξίσωση ανασύνθεσης SRH, υποθέτουμε πλέον σταθερή πληρότητα των παγίδων:

\[ \frac{df}{dt}=0. \]

Η εξίσωση της μεταβατικής συχνότητας δίνει επομένως

\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Αυτή η ισότητα σημαίνει ότι ο συνολικός ρυθμός σύλληψης ηλεκτρονίων ισούται με τον συνολικό ρυθμό σύλληψης οπών. Με άλλα λόγια, σε σταθερή κατάσταση, η παγίδα δεν συσσωρεύει φορτίο· απλώς μεσολαβεί στον κύκλο ανασύνθεσης που φαίνεται στο ??.

Οι συντελεστές θερμικής εκπομπής μπορούν να επαναδιατυπωθούν ως προς τις ισορροπημένες πυκνότητες φορέων αναφοράς \(n_1\) και \(p_1\):

\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]

πού

\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

Οι ποσότητες \(n_1\) και \(p_1\) είναι οι πυκνότητες φορέων ισορροπίας αναφοράς που σχετίζονται με την ενέργεια της παγίδας. Φυσικά, αυτές κωδικοποιούν τα θερμικά ενεργειακά εμπόδια που ελέγχουν την εκπομπή ηλεκτρονίων και οπών από την κατάσταση παγίδευσης.

Αντικαθιστώντας τις τιμές \(e_n=c_n n_1\) και \(e_p=c_p p_1\) στην εξίσωση της σταθερής κατάστασης, προκύπτει:

\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]

Συγκεντρώνοντας τους όρους που είναι ανάλογοι με τις τιμές \(1-f\) και \(f\).

\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]

Η επίλυση για το κλάσμα των κατειλημμένων παγίδων δίνει:

\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Το κλάσμα της κενής παγίδας είναι

\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

6. Απόκτηση της κλασικής στατικής εξίσωσης SRH

Ο σταθερός ρυθμός ανασύνθεσης SRH μπορεί να εκφραστεί είτε χρησιμοποιώντας την εξίσωση ισορροπίας των ηλεκτρονίων είτε την εξίσωση ισορροπίας των οπών:

\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Χρησιμοποιώντας την ηλεκτρονική ζυγαριά,

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]

Αντικαθιστώντας τις τιμές σταθερής κατάστασης για τα \(f\) και \(1-f\),

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]

Οι όροι \(c_n n n_1\) ακυρώνονται, με αποτέλεσμα να απομένει.

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Για έναν ημιαγωγό σε θερμική ισορροπία,

\[ n_1p_1=n_i^2. \]

Έτσι, ο κλασικός ρυθμός ανασύνθεσης Shockley-Read-Hall σε σταθερή κατάσταση γίνεται:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Τέλος, ορίζουμε τις διάρκειες ζωής των SRH ως

\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]

προκύπτει η τυπική μορφή του σχολικού βιβλίου:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]

Αυτή η τελική έκφραση είναι η συμπυκνωμένη σταθερή κατάσταση του ορίου της εξίσωσης ρυθμού που παρουσιάστηκε προηγουμένως. Περιέχει την ίδια φυσική των διαδικασιών σύλληψης και διαφυγής που απεικονίζεται στο ??, αλλά με την αναλυτική εξάλειψη της πληρότητας της παγίδας.

7. Ιστορική αναφορά.

Το μοντέλο ανασυνδυασμού μέσω παγίδων που προκύπτει εδώ βασίζεται στη στατιστική προσέγγιση που εισήγαγαν οι W. Shockley και W. T. Read, Jr. στην εργασία τους του 1952 σχετικά με την ανασυνδυασμό οπών και ηλεκτρονίων στους ημιαγωγούς. Η εξαγωγή σε αυτή τη σελίδα δεν αποτελεί αναπαραγωγή του αρχικού κειμένου· πρόκειται για μια σύγχρονη εξαγωγή για προσομοίωση συσκευών, η οποία είναι γραμμένη χρησιμοποιώντας τη συμβολική σημειογραφία που χρησιμοποιείται αλλού σε αυτό το εγχειρίδιο.

Αναφορά: W. Shockley και W. T. Read, Jr., «Στατιστική των Ανασυνδυασμών Οπών και Ηλεκτρονίων», Physical Review, τ. 87, αρ. 5, σελ. 835–842, 1952.