Εξαγωγή των Εξισώσεων Μεταφοράς-Διάχυσης από την Εξίσωση Μεταφοράς του Boltzmann.

Αυτή η σελίδα παρουσιάζει μια εξαγωγή των εξισώσεων μεταφοράς-διάχυσης, βασισμένη στις θεμελιώδεις αρχές, οι οποίες χρησιμοποιούνται στην προσομοίωση ημιαγωγικών συσκευών, ξεκινώντας από την εξίσωση μεταφοράς Boltzmann στην προσέγγιση του χρόνου χαλάρωσης. Λαμβάνοντας διαδοχικές στιγμές της εξίσωσης Boltzmann, δείχνουμε πώς προκύπτουν οι εξισώσεις συνέχειας των ηλεκτρονίων και των οπών, οι σχέσεις ρεύματος μεταφοράς-διάχυσης και οι εξισώσεις μεταφοράς ενέργειας (θερμών φορέων) σε ένα ενιαίο, αυτοσυνεπές πλαίσιο. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στις ετεροσυνδέσεις, στην οδήγηση στην άκρη της ζώνης, στις επιδράσεις της πυκνότητας των καταστάσεων και στη θερμική μεταφορά, οδηγώντας στις έτοιμες για χρήση σε λύτη εξισώσεις που έχουν εφαρμοστεί στο OghmaNano.

1. Εισαγωγή

Η ηλεκτρική μηχανή της OghmaNano είναι ένα πλαίσιο διάχυσης-μεταφοράς 1Δ/2Δ/3Δ, του οποίου το κύριο χαρακτηριστικό είναι η υποστήριξη δυναμικών (μη ισορροπημένων) καταστάσεων παγίδευσης. Αντί να υποθέτει ότι οι παγίδες εξισορροπούνται άμεσα με τους ελεύθερους φορείς, η OghmaNano μπορεί να εξελίσσει ρητά τις πληρότητες των παγίδων τόσο στην ενέργεια όσο και στον χώρο, κάτι που είναι απαραίτητο για την ακριβή μοντελοποίηση διαταραγμένων ημιαγωγών και μεταβατικών μετρήσεων (π.χ. ToF, CELIV), καθώς και για τη σταθερή λειτουργία.

Υπάρχουν πολλές έγκυρες προσεγγίσεις για την εξαγωγή της εξίσωσης μεταφοράς-διάχυσης. Για παράδειγμα, μπορεί να προκύψει από την εξίσωση μεταφοράς του Boltzmann μέσω αναπτύξεων ροπών και ελεγχόμενων προσεγγίσεων, από την μη αναστρέψιμη θερμοδυναμική (επιχειρήματα Onsager / παραγωγής εντροπίας) ή από μια προοπτική τυχαίας περιπλάνησης / Fokker-Planck που συνδέει τις μικροσκοπικές μεταβάσεις με τη μακροσκοπική μεταφορά και διάχυση. Αυτές οι προσεγγίσεις συχνά παράγουν εξισώσεις που φαίνονται παρόμοιες με την πρώτη ματιά, αλλά δεν είναι εξίσου αξιόπιστες όταν ξεπερνάμε την απλούστερη περίπτωση του «ομογενούς ημιαγωγού».

Συγκεκριμένα, μόλις εισαγάγετε ετεροδιαστατώσεις, χωρικά μεταβαλλόμενη αποτελεσματική πυκνότητα καταστάσεων, εξαρτώμενη από τη θέση αποτελεσματική μάζα, κλίσεις στις άκρες των ενεργειακών ζωνών ή μη τετριμμένες στατιστικές, δεν είναι πλέον ασφαλές να προσθέτετε απλώς επιπλέον όρους σε ένα ρεύμα διάχυσης-παρασυρμού και να ελπίζετε ότι το αποτέλεσμα θα παραμείνει αυτοσυνεπές. Το ίδιο ισχύει και όταν αρχίζετε να συμπεριλαμβάνετε θερμική ώθηση ή να συνδέετε την ηλεκτρική μεταφορά με τη δημιουργία θερμότητας. Αυτό που χρειάζεστε είναι ένα πλαίσιο εξαγωγής που να παράγει φυσικά τους σωστούς επιπλέον όρους και να παρέχει μια σαφή διαδρομή για επεκτάσεις, αντί για μια συλλογή από ad hoc τροποποιήσεις.

Για αυτόν τον λόγο, η εξαγωγή που παρουσιάζεται εδώ ξεκινά από την εξίσωση μεταφοράς του Boltzmann. Η λήψη στιγμών από την εξίσωση μεταφοράς του Boltzmann οδηγεί, με συστηματικό τρόπο, στις εξισώσεις συνέχειας και στις συνταγματικές σχέσεις μετατόπισης-διάχυσης ως όριο χαμηλής αδράνειας, και επίσης δείχνει πώς το ίδιο πλαίσιο επεκτείνεται στο επόμενο επίπεδο: στις εξισώσεις ισορροπίας ενέργειας (μεταφοράς ενέργειας). Ακόμα κι αν δεν επιλύσετε το πλήρες υδροδυναμικό μοντέλο, το πλαίσιο ενέργειας είναι πολύτιμο επειδή προσδιορίζει συνεπείς όρους πηγής ηλεκτρικής θερμότητας και διευκρινίζει πότε πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η θέρμανση των φορέων. Η εξαγωγή που ακολουθεί αποτελεί τη βάση του ηλεκτρικού μοντέλου της OghmaNano.

2. Εξίσωση Μεταφοράς Boltzmann (RTA)

Στο πιο θεμελιώδες επίπεδο που χρησιμοποιείται στην προσομοίωση συσκευών, η μεταφορά φορτίου περιγράφεται με βάση μια συνάρτηση κατανομής \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Αυτή η συνάρτηση αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να βρεθεί ένας φορέας φορτίου στη θέση \(\mathbf{r}\), με ορμή κρυστάλλου \(\hbar\mathbf{k}\), τη χρονική στιγμή \(t\). Όλες οι μακροσκοπικές ηλεκτρικές ποσότητες — πυκνότητα φορέων, πυκνότητα ρεύματος, πυκνότητα ενέργειας — μπορούν να ληφθούν υπολογίζοντας τις κατάλληλες ροπές αυτής της κατανομής.

Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann (BTE) είναι η εξίσωση κίνησης για αυτή τη συνάρτηση κατανομής. Αποτελεί μια εξίσωση διατήρησης στον φασικό χώρο: περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο οι φορείς κινούνται στον πραγματικό χώρο, πώς αλλάζει η ορμή τους υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και πώς οι διαδικασίες σκέδασης ανακατανέμουν τους φορείς στον χώρο της ορμής. Ξεκινώντας από την BTE, παρέχεται επομένως ένα ενιαίο πλαίσιο από το οποίο μπορούν να εξαχθούν με συνεπή τρόπο τα μοντέλα μεταφοράς με εκτροπή-διάχυση, μεταφοράς ενέργειας και συναφών μοντέλων.

Στην πλήρη μορφή του, ο όρος σύγκρουσης (διασποράς) της εξίσωσης Boltzmann είναι περίπλοκος και εξαρτάται από το υλικό. Για την πρακτική μοντελοποίηση συσκευών, είναι συνηθισμένο να χρησιμοποιείται η προσέγγιση του χρόνου χαλάρωσης (RTA), στην οποία υποτίθεται ότι η διασπορά ωθεί την κατανομή προς μια τοπική μορφή σχεδόν ισορροπίας \(f^0\) σε ένα χαρακτηριστικό χρονικό διάστημα \(\tau\). Αυτή η προσέγγιση διατηρεί την ουσιαστική φυσική της χαλάρωσης της ορμής και της ενέργειας, διατηρώντας παράλληλα τις εξισώσεις διαχειρίσιμες.

Με αυτή την προσέγγιση, η ημικλασική εξίσωση μεταφοράς Boltzmann μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Οι τρεις όροι στην αριστερή πλευρά έχουν σαφή φυσική σημασία: ο πρώτος περιγράφει την ρητή χρονική εξέλιξη της κατανομής, ο δεύτερος περιγράφει τη μεταφορά στον πραγματικό χώρο με την ταχύτητα των φορέων \(\mathbf{v}\) και ο τρίτος περιγράφει την επιτάχυνση στον χώρο των ορμών λόγω μιας εφαρμοσμένης δύναμης \(\mathbf{F}\) (για παράδειγμα \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) σε ένα ηλεκτρικό πεδίο). Η δεξιά πλευρά αντιπροσωπεύει τη σκέδαση, η οποία χαλαρώνει το σύστημα προς την κατάσταση \(f^0\).

Η θεωρία διάχυσης-μεταφοράς δεν επιχειρεί να λύσει απευθείας αυτή την εξίσωση. Αντίθετα, προχωρά υπολογίζοντας τις ροπές της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann (ενσωματώσεις στον χώρο των ορμών) για να λάβει εξισώσεις εξέλιξης για φυσικά σημαντικές ποσότητες, όπως η πυκνότητα φορέων, η πυκνότητα ρεύματος και η πυκνότητα ενέργειας. Οι ακόλουθες ενότητες δείχνουν πώς αυτή η διαδικασία οδηγεί φυσικά στις γνωστές εξισώσεις διάχυσης-μεταφοράς και, σε επόμενο επίπεδο, στα μοντέλα ισορροπίας ενέργειας (μοντέλα θερμών φορέων).

3. Εφαρμογή της μεθόδου των ροπών στην εξίσωση μεταφοράς του Boltzmann.

Η εξίσωση μεταφοράς Boltzmann περιγράφει τη δυναμική των φορέων όσον αφορά μια συνάρτηση κατανομής \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), η οποία δίνει την πληρότητα των ηλεκτρονικών καταστάσεων ως συνάρτηση της θέσης, της ορμής και του χρόνου. Στην ισορροπία, αυτή η κατανομή απλοποιείται στη γνωστή συνάρτηση Fermi-Dirac, ενώ υπό τάση, εξελίσσεται ως απόκριση στα ηλεκτρικά πεδία, τις διακυμάνσεις στις άκρες των ζωνών και τις διαδικασίες σκέδασης. Για να αποκτήσουμε εξισώσεις που είναι χρήσιμες σε κλίμακα συσκευής, δεν προσπαθούμε να λύσουμε απευθείας για \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Αντίθετα, εξάγουμε εξισώσεις εξέλιξης για μακροσκοπικές ποσότητες, λαμβάνοντας στιγμές ολόκληρης της εξίσωσης Boltzmann, συνδέοντας συστηματικά τις μικροσκοπικές στατιστικές των φορέων με τα μοντέλα μεταφοράς με διάχυση, μεταφοράς ενέργειας και συναφών μοντέλων.

Επίσημα, μια εξίσωση ροπής προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την πλήρη εξίσωση μεταφοράς της Boltzmann με έναν παράγοντα στάθμισης \(A(\mathbf{k})\) και ολοκληρώνοντας σε όλο τον χώρο των ορμών:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Κάθε επιλογή της συνάρτησης στάθμισης \(A(\mathbf{k})\) δημιουργεί μια εξίσωση ισορροπίας: μια εξίσωση εξέλιξης που εκφράζει πώς μια μακροσκοπική ποσότητα επηρεάζεται και εξομαλύνεται. Η επιλογή \(A=1\) αποδίδει την εξίσωση ισορροπίας σωματιδίων, από την οποία προκύπτουν οι γνωστές εξισώσεις συνέχειας για τα ηλεκτρόνια και τις οπές. Η λήψη της πρώτης ροπής, με \(A=\hbar\mathbf{k}\) (ή ισοδύναμα \(m^\ast\mathbf{v}\)), παράγει μια εξίσωση ισορροπίας ορμής που περιγράφει πώς η ορμή των φορέων ανταποκρίνεται στις δυνάμεις και τη σκέδαση· το τυπικό ρεύμα μεταφοράς-διάχυσης ανακτάται λαμβάνοντας το υπερ-απόσβεστο όριο αυτής της εξίσωσης, στο οποίο η ορμή εξομαλύνεται γρήγορα και παραμελούνται οι όροι αδράνειας. Η λήψη της επόμενης ροπής, με \(A=W(\mathbf{k})\), δίνει μια εξίσωση ισορροπίας ενέργειας, η οποία περιγράφει τη μεταφορά και την εξομάλυνση της ενέργειας των φορέων και παρέχει την ελάχιστη επέκταση που απαιτείται για τη μοντελοποίηση των θερμών φορέων, της θερμικής οδήγησης και της ηλεκτρικής παραγωγής θερμότητας. Με αυτόν τον τρόπο, τα μοντέλα συνέχειας, μεταφοράς-διάχυσης και μεταφοράς ενέργειας προκύπτουν ως διαδοχικά επίπεδα προσέγγισης εντός ενός ενιαίου, αυτοσυνεπούς πλαισίου.

Το τυπικό μοντέλο μεταφοράς-διάχυσης διατηρεί μόνο την εξίσωση ισορροπίας σωματιδίων και μια απλοποιημένη συνταγματική σχέση για το ρεύμα, η οποία προέρχεται από την εξίσωση ισορροπίας ορμής. Με αυτόν τον τρόπο, δεν διατηρεί την ενέργεια των φορέων.

4. Μηδενική χρονική στιγμή: ισορροπία σωματιδίων (εξίσωση συνέχειας)

Η πρώτη και πιο σημαντική μορφή της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann προκύπτει θέτοντας τη συνάρτηση στάθμισης ίση με τη μονάδα, \(A(\mathbf{k}) = 1\). Αυτό αντιστοιχεί στην καταμέτρηση των φορέων: η ολοκλήρωση της πλήρους εξίσωσης Boltzmann σε όλες τις ορμές δίνει έναν νόμο ισορροπίας για τη συνολική πυκνότητα φορέων σε κάθε σημείο του χώρου. Για αυτόν τον λόγο, η μηδενική μορφή ονομάζεται εξίσωση ισορροπίας σωματιδίων (ή εξίσωση συνέχειας σωματιδίων).

4.1 Εξαγωγή (μηδενική ροπή / ισορροπία σωματιδίων)

Ξεκινήστε από την εξίσωση του Boltzmann στην μορφή της με τον χρόνο χαλάρωσης:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Πολλαπλασιάστε με το \(A(\mathbf{k})=1\) και ολοκληρώστε σε όλες τις \(\mathbf{k}\):

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Ο πρώτος όρος ορίζει την πυκνότητα φορέων \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] έτσι ώστε \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \].

Ο δεύτερος όρος μετατρέπεται σε απόκλιση στον πραγματικό χώρο:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

όπου η μέση ταχύτητα των φορέων είναι \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]

Ο τρίτος όρος (όρος δύναμης) μηδενίζεται υπό τις συνήθεις παραδοχές ότι η κατανομή φθίνει γρήγορα καθώς \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\), επομένως το αντίστοιχο επιφανειακό ολοκλήρωμα στον χώρο \(\mathbf{k}\) είναι μηδέν:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Συγκεντρώνοντας τους όρους, η εξίσωση μηδενικής τάξης παίρνει τη μορφή:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Η δεξιά πλευρά αναπαριστά τις διεργασίες που δημιουργούν ή αφαιρούν φορείς φορτίου, όταν εξετάζονται στο επίπεδο της διάχυσης και της μεταφοράς λόγω ηλεκτρικού πεδίου: δημιουργία, ανασυνδυασμός και (σε υλικά με παγίδες) ανταλλαγή με καταστάσεις παγίδευσης. Επομένως, μπορούμε να το γράψουμε συνοπτικά ως \(G - R\) (με την παγίδευση/απελευθέρωση να περιλαμβάνεται στον αποτελεσματικό όρο \(R\) ή να γράφεται ρητά στο μοντέλο παγίδευσης).

4.2 Η εξίσωση συνέχειας σε μορφή διάχυσης-μεταφοράς

Εισάγοντας την πυκνότητα ηλεκτρονικού ρεύματος \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \], η εξίσωση ισορροπίας σωματιδίων μετατρέπεται στην οικεία εξίσωση συνέχειας των ηλεκτρονίων:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

Η αντίστοιχη εξίσωση συνέχειας της οπής είναι:

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Πρώτη χρονική στιγμή: ισορροπία ορμής → ρεύμα λόγω μεταφοράς και διάχυσης.

Οι εξισώσεις ρεύματος μεταφοράς-διάχυσης προκύπτουν από την πρώτη στιγμή της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann. Αυτή η στιγμή αντιστοιχεί σε μια ισορροπία ορμής, η οποία περιγράφει πώς η ορμή των φορέων ρεύματος επηρεάζεται από δυνάμεις, όπως τα ηλεκτρικά πεδία και οι κλίσεις στις άκρες των ζωνών, και μειώνεται μέσω της σκέδασης. Αντί να λυθεί η πλήρης εξίσωση ισορροπίας ορμής, η τυπική προσέγγιση μεταφοράς-διάχυσης επιτυγχάνεται εκφράζοντας άμεσα την ταχύτητα των φορέων ρεύματος ως συνάρτηση των τοπικών δυνάμεων που τους ασκούν, χωρίς να διατηρείται μια ρητή εξίσωση εξέλιξης για την ορμή ή την ενέργεια. Αυτή η προσέγγιση είναι κατάλληλη όταν δεν απαιτούνται φαινόμενα μεταφοράς ορμής και ενέργειας υψηλότερης τάξης.

5.1 Από την αρχική στιγμή της εξίσωσης BTE έως το ρεύμα διάχυσης-μεταφοράς.

Ξεκινάμε από την εξίσωση μεταφοράς Boltzmann, στην προσέγγιση του χρόνου χαλάρωσης, η οποία εκφράζεται με έναν χρόνο χαλάρωσης της ορμής \(\tau_p\):

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Για να επιτευχθεί η ισορροπία της ορμής, πολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση με το βάρος που μοιάζει με ορμή \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (ισοδύναμα, \(\hbar\mathbf{k}\) για μια παραβολική ζώνη) και ολοκληρώστε ως προς τον χώρο της ορμής:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Προσδιορισμός της ορμής της ταχύτητας, του ρεύματος και της πίεσης.

Τα ολοκληρώματα της πρώτης στιγμής εισάγουν τις ποσότητες που εμφανίζονται στις εξισώσεις μεταφοράς σε κλίμακα συσκευής. Ξεκινάμε ορίζοντας την πυκνότητα φορέων και τη μέση ταχύτητα των φορέων ως εξής:

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Η ταχύτητα \(\mathbf{u}\) που ορίζεται παραπάνω είναι η μέση (ή η συνηθισμένη) ταχύτητα των φορέων. Αντιπροσωπεύει τη συνολική μετατόπιση του συνόλου των φορέων σε ένα συγκεκριμένο σημείο του χώρου. Οι μεμονωμένοι φορείς συνήθως κινούνται πολύ πιο γρήγορα από το \(\mathbf{u}\), εκτελώντας τυχαίες θερμικές κινήσεις που προστίθενται σε αυτή την αργή, συλλογική μετατόπιση. Επομένως, η μέση ταχύτητα δεν είναι η τυπική ταχύτητα ενός φορέα, αλλά η μικρή υπολειπόμενη ταχύτητα που παραμένει μετά τον υπολογισμό του μέσου όρου όλων των μικροσκοπικών κινήσεων.

Αυτή η διάκριση είναι ζωτικής σημασίας. Η τυχαία θερμική κίνηση δεν συμβάλλει στο ηλεκτρικό ρεύμα επειδή η μέση τιμή της είναι μηδέν, ενώ η μέση ταχύτητα μετατόπισης \(\mathbf{u}\) αποτυπώνει την ανισορροπία στην κίνηση των φορέων που προκαλείται από ηλεκτρικά πεδία, κλίσεις συγκέντρωσης και κλίσεις θερμοκρασίας. Αυτή η μέση ταχύτητα είναι αυτή που καθορίζει τη μακροσκοπική πυκνότητα ρεύματος.

Με αυτούς τους ορισμούς, η ροή σωματιδίων είναι \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) και η πυκνότητα ρεύματος ηλεκτρονίων είναι

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Αντικαθιστώντας αυτές τις ορισμούς στην αρχική εξίσωση της πρώτης στιγμής, μπορούμε να αναδιατυπώσουμε τα ολοκληρώματα στον χώρο των ορμών αποκλειστικά σε όρους των \(n\), \(\mathbf{u}\) και των ανώτερων στιγμών της ταχύτητας. Ειδικότερα, ο όρος σύγκρουσης απλοποιείται επειδή η αναφορική κατανομή \(f^0\) αντιπροσωπεύει μια τοπική κατάσταση ισορροπίας με μηδενική μέση ταχύτητα μετατόπισης, έτσι ώστε

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

Ως αποτέλεσμα, ο όρος της σύγκρουσης συμβάλλει μόνο σε έναν όρο χαλάρωσης της ορμής, ο οποίος είναι ανάλογος της μέσης ταχύτητας \(\mathbf{u}\).

Ο υπόλοιπος χωροχρονικός όρος στην εξίσωση της πρώτης στιγμής περιέχει ολοκληρώματα της μορφής \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), τα οποία αντιπροσωπεύουν τη ροή της ορμής στο χώρο. Για να καταστεί σαφές το φυσικό περιεχόμενο αυτού του όρου, αποσυνθέτουμε την ταχύτητα μεταφοράς σε ένα μέσο μέρος και μια διακύμανση:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Αντικαθιστώντας αυτή την αποσύνθεση στη δεύτερη ροπή της ταχύτητας και χρησιμοποιώντας την εξίσωση \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\), διαχωρίζουμε τη ροή της ορμής σε μια συνεισφορά μεταφοράς και έναν όρο διακύμανσης. Η συνεισφορά διακύμανσης προσδιορίζεται ως ο τανυστής της πίεσης (ή της τάσης) μεταφοράς.

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Φυσικά, το \(\mathbf{P}\) αντιπροσωπεύει τη μεταφορά ορμής που σχετίζεται με τις διακυμάνσεις της ταχύτητας γύρω από τη μέση ταχύτητα μετατόπισης. Η απόκλισή του δημιουργεί όρους διάχυσης και θερμικής ώθησης στις απλοποιημένες εξισώσεις μεταφοράς.

Συγκεντρώνοντας όλες τις συνεισφορές, η εξίσωση της πρώτης στιγμής μπορεί πλέον να γραφτεί ως εξής:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Αυτή η εξίσωση είναι η γενική εξίσωση ισορροπίας της ορμής, η οποία προκύπτει άμεσα από την πρώτη στιγμή της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann. Δεν έχουν ακόμη γίνει υποθέσεις σχετικά με την εκτροπή-διάχυση· αυτές εισάγονται στο επόμενο βήμα, όπου η εξίσωση ισορροπίας της ορμής απλοποιείται σε μια τοπική εξίσωση ισορροπίας δυνάμεων.

5.3 Απλοποίηση της εξίσωσης ορμής σε εξίσωση ισορροπίας δυνάμεων.

Στη μοντελοποίηση διάχυσης-μεταφοράς, δεν μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε ρητά την χρονική εξέλιξη ή τη χωρική μεταφορά της ορμής. Αντίθετα, υποθέτουμε ότι η ορμή των φορέων προσαρμόζεται τοπικά στις εφαρμοζόμενες δυνάμεις, έτσι ώστε τυχόν παροδικά ή μη τοπικά φαινόμενα μεταφοράς ορμής να μπορούν να παραμεληθούν. Υπό αυτή την υπόθεση, η ισορροπία της ορμής απλοποιείται με την αφαίρεση των ρητών όρων μεταφοράς ορμής και αδράνειας, διατηρώντας παράλληλα τους όρους δύναμης και χαλάρωσης.

Με αυτή την προσέγγιση, η εξίσωση ισορροπίας της ορμής απλοποιείται σε:

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Όταν εκφράζεται με αυτόν τον τρόπο, η εξίσωση πρέπει να ερμηνεύεται ως μια τοπική ισορροπία δυνάμεων: οι δυνάμεις που προκαλούν την κίνηση των φορέων ισορροπούνται από την απώλεια ορμής λόγω διασποράς.

Ο όρος \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) που απομένει αντιπροσωπεύει τον τρόπο με τον οποίο η ορμή ανακατανέμεται μέσω της τυχαίας κίνησης των φορέων. Ο ίδιος ο τανυστής \(\mathbf{P}\) κωδικοποιεί τις συσχετίσεις μεταξύ των συνιστωσών της ταχύτητας και, γενικά, επιτρέπει την ανισότροπη μεταφορά ορμής. Σε πολλές ημιαγωγικές συσκευές, η κατανομή των φορέων είναι σχεδόν ισότροπη στον χώρο της ταχύτητας. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχει προτιμώμενη κατεύθυνση για τις διακυμάνσεις της ταχύτητας και ο τανυστής πίεσης απλοποιείται σε μια βαθμωτή πίεση που πολλαπλασιάζει τον μοναδιαίο τανυστή:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Φυσικά, αυτό σημαίνει ότι η τυχαία θερμική κίνηση συμβάλλει εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις. Όταν αυτή η μορφή αντικατασταθεί στην εξίσωση ισορροπίας της ορμής, η απόκλιση του τανυστή πίεσης απλοποιείται σε κλίση μιας βαθμωτής πίεσης:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Αυτός ο όρος αποτελεί την πηγή της διάχυσης και της θερμικής ώθησης στις εξισώσεις μεταφοράς-διάχυσης. Στην επόμενη ενότητα, αυτή η εξίσωση ισορροπίας δυνάμεων επιλύεται για τη μέση ταχύτητα των φορέων \(\mathbf{u}\), οδηγώντας άμεσα στο ρεύμα μεταφοράς-διάχυσης.

5.4 Από την ισορροπία των δυνάμεων στο ρεύμα διάχυσης-μεταφοράς

Επιστρέφουμε τώρα στην απλοποιημένη εξίσωση ισορροπίας της τοπικής ορμής που προκύπτει από την προηγούμενη ενότητα. Για τα ηλεκτρόνια, είναι βολικό να εκφράσουμε την κινητήρια δύναμη σε σχέση με την άκρη της ζώνης αγωγιμότητας \(E_c(\mathbf{r})\), η οποία ενσωματώνει τόσο το ηλεκτροστατικό δυναμικό όσο και τις υλικές αποκλίσεις. Επομένως, γράφουμε τη δύναμη που ασκείται στα ηλεκτρόνια ως εξής:

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

όπου το \(E_c(\mathbf{r})\) μπορεί να γραφτεί (μέχρι μια αναφορά) ως \(E_c = \chi - q\phi\), έτσι ώστε οι χωρικές διακυμάνσεις είτε στην ηλεκτρονιακή συγγένεια είτε στο ηλεκτροστατικό δυναμικό να συμβάλλουν φυσικά στην οδήγηση των φορέων. Αντικαθιστώντας αυτό στην απλοποιημένη εξίσωση ισορροπίας της ορμής, προκύπτει:

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Αυτή η εξίσωση εκφράζει μια τοπική ισορροπία μεταξύ της οδήγησης στην άκρη της ζώνης, της μεταφοράς που προκαλείται από την πίεση και της απώλειας ορμής λόγω σκέδασης. Η επίλυση για τη μέση ταχύτητα των φορέων οδήγησε στο αποτέλεσμα:

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της πυκνότητας ρεύματος των ηλεκτρονίων, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), λαμβάνουμε:

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Παρουσιάζουμε την κινητή συσκευή \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), η οποία πλέον...

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

Σε αυτό το σημείο, το ρεύμα εκφράζεται ως συνάρτηση της κλίσης της πίεσης \(\nabla p\) και δεν έχει γίνει ακόμη καμία υπόθεση σχετικά με τις στατιστικές των φορέων. Για να προχωρήσουμε, εκφράζουμε την πίεση και την πυκνότητα ως στιγμές της υποκείμενης συνάρτησης κατανομής.

Η πυκνότητα και η πίεση των φορέων μπορούν να γραφτούν ως εξής:

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

όπου \(g(E)\) είναι η πυκνότητα των καταστάσεων και \(f(E)\) είναι η κατανομή Fermi-Dirac. Για μια παραβολική ζώνη, αυτά τα ολοκληρώματα απλοποιούνται σε τυπικά ολοκληρώματα Fermi-Dirac.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

με μειωμένο χημικό δυναμικό \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) και \(F_j(\eta)\) το ολοκληρωμένο ολοκλήρωμα Fermi–Dirac τάξης \(j\).

Η παραγώγιση της πίεσης δίνει:

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Αντικαθιστώντας αυτή την έκφραση στην τρέχουσα εξίσωση, διαπιστώνουμε ότι η διάχυση και η θερμική ώθηση διέπονται από μια γενικευμένη σχέση Einstein.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Αυτή η έκφραση είναι ακριβής για μια παραβολική ζώνη και παραμένει έγκυρη από το μη εκφυλισμένο έως το έντονα εκφυλισμένο καθεστώς. Στο μη εκφυλισμένο όριο (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)), η γενικευμένη σχέση Einstein απλοποιείται στην οικεία μορφή.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

Ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει την παρεκτροπή που προκαλείται από τις χωρικές διακυμάνσεις της άκρης της ζώνης αγωγιμότητας, συμπεριλαμβανομένων τόσο των ηλεκτροστατικών πεδίων όσο και των μετατοπίσεων ζώνης στις ετεροσυνδέσεις. Ο δεύτερος όρος, που περιλαμβάνει την κλίση της πίεσης, είναι η πηγή της διάχυσης και της θερμικής ώθησης.

Στην περίπτωση που δεν υπάρχει εκφυλισμός, η πίεση του φορέα είναι \(p = n k_B T\), έτσι ώστε

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Αντικαθιστώντας αυτή την έκφραση στην τρέχουσα εξίσωση, παίρνουμε:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Χρησιμοποιώντας τη σχέση του Αϊνστάιν για μη εκφυλισμένους φορείς φορτίου, \(D_n = \mu_n k_B T / q\), το ρεύμα μπορεί να γραφτεί στη γνωστή μορφή μεταφοράς-διάχυσης με ρητή θερμική ώθηση:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

Στις ετεροδομές, η αποτελεσματική πυκνότητα καταστάσεων \(N_c(\mathbf{r},T)\) μπορεί να μεταβάλλεται χωρικά λόγω αλλαγών στις παραμέτρους της δομής ζωνών, όπως η αποτελεσματική μάζα. Μια αυτοσυνεπής μείωση παράγει στη συνέχεια έναν επιπλέον όρο που εξαρτάται από το υλικό και είναι ανάλογος του \(\nabla\ln N_c\).

Συμπεριλαμβανομένης αυτής της συνεισφοράς, το ρεύμα διάχυσης-μεταφοράς που χρησιμοποιείται στους προσομοιωτές συσκευών μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

Όταν διατυπώνονται με αυτόν τον τρόπο, όλοι οι μηχανισμοί οδήγησης προκύπτουν φυσικά από το ίδιο πλαίσιο ισορροπίας ορμής. Τα ηλεκτροστατικά πεδία, οι μετατοπίσεις ζώνης ετεροσύνδεσης, οι κλίσεις θερμοκρασίας και οι χωρικές διακυμάνσεις στις παραμέτρους των υλικών εισέρχονται όλα με ακριβώς τον ίδιο τρόπο.

Μια εντελώς παρόμοια διαδικασία εξαγωγής ισχύει και για τις οπές. Επαναλαμβάνοντας τα ίδια βήματα χρησιμοποιώντας την άκρη της ενεργειακής ζώνης σθένους \(E_v(\mathbf{r})\) και τις στατιστικές των οπών, προκύπτει η πυκνότητα ρεύματος των οπών.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

όπου \(N_v(\mathbf{r},T)\) είναι η αποτελεσματική πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας. Τα αντίθετα πρόσημα των όρων διάχυσης και θερμικής ώθησης αντικατοπτρίζουν το θετικό φορτίο των οπών.

• Θερμική οδήγηση (θερμοδιάχυση / όρος τύπου Seebeck): οι χωρικές διακυμάνσεις στη θερμοκρασία των φορέων φορτίου τροποποιούν την τοπική κατανομή της σχεδόν ισορροπίας και δημιουργούν μια καθαρή ροή φορέων φορτίου, η οποία είναι ανάλογη του \(\nabla T\), ακόμη και στην απουσία ηλεκτρικού πεδίου.
• Οδήγηση μέσω της πυκνότητας των καταστάσεων / της αποτελεσματικής μάζας: σε ετεροδομές ή υλικά με χωρικά μεταβαλλόμενες ιδιότητες, οι κλίσεις στις παραμέτρους της δομής ζωνών (όπως η αποτελεσματική μάζα) οδηγούν σε κλίσεις στα \(N_c\) και \(N_v\). Αυτοί οι όροι είναι απαραίτητοι στις διεπαφές των υλικών και διασφαλίζουν ότι η μεταφορά φορέων παραμένει συνεπής με τις υποκείμενες στατιστικές και τη δομή ζωνών.

7. Μεταφορά ενέργειας / επέκταση θερμικών φορέων

Στο μοντέλο διάχυσης-μεταφοράς που προκύπτει προηγουμένως, η μεταφορά φορέων περιγράφεται μέσω της συνέχειας των σωματιδίων και μιας εξίσωσης ισορροπίας ορμής, η οποία απλοποιείται σε έναν αλγεβρικό νόμο ρεύματος. Θεωρείται ότι η ενέργεια των φορέων χαλαρώνει γρήγορα στο πλέγμα, επομένως δεν επιλύεται καμία ρητή εξίσωση για αυτήν.

Όταν αυτή η υπόθεση χαλαρωθεί, η επόμενη εξίσωση στην ιεραρχία των στιγμών του Boltzmann πρέπει να διατηρηθεί: η εξίσωση της ενεργειακής ισορροπίας. Αυτή η εξίσωση καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο οι φορείς φορτίου αποκτούν ενέργεια από τα ηλεκτρικά πεδία και τις κλίσεις στις άκρες των ενεργειακών ζωνών, μεταφέρουν αυτή την ενέργεια μέσω της συσκευής και την χάνουν στο πλέγμα.

7.1 Δεύτερη ροπή της εξίσωσης Boltzmann

Η ενεργειακή ισορροπία προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση μεταφοράς Boltzmann με την ενέργεια ενός μεμονωμένου σωματιδίου \(W(\mathbf{k})\) και ολοκληρώνοντας στον χώρο των ορμών. Για τα ηλεκτρόνια, η ενέργεια μιας κατάστασης γράφεται ως:

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

όπου \(E_c(\mathbf{r})\) είναι η άκρη της ζώνης αγωγιμότητας και \(\varepsilon(\mathbf{k})\) είναι η κινητική ενέργεια σε σχέση με την άκρη της ζώνης (για μια παραβολική ζώνη, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Ορίζοντας τη μέση κινητική ενέργεια ανά σωματίδιο ως

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

η αντίστοιχη ενεργειακή πυκνότητα είναι \(n\bar W\). Αυτή η ποσότητα διαδραματίζει τον ίδιο ρόλο για την ενέργεια, όπως ο \(n\) διαδραματίζει για τον αριθμό των σωματιδίων.

7.2 Ενεργειακή ροή και σχέση με τα ρεύματα διάχυσης-μεταφοράς

Ο χωροχρονικός όρος στη δεύτερη ροπή περιέχει ολοκληρώματα της μορφής \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), γεγονός που αποτελεί το κίνητρο για τον ορισμό της ενεργειακής ροής.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Αυτή η ποσότητα είναι άμεσα ανάλογη με τη ροή σωματιδίων \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) και, κατά συνέπεια, με την πυκνότητα ρεύματος \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). Η μεταφορά ενέργειας συνδέεται, επομένως, φυσικά με τη μεταφορά φορέων.

7.3 Έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο και κλίσεις στις άκρες των ενεργειακών ζωνών.

Ο όρος της δύναμης στην εξίσωση του Boltzmann παράγει μια διακριτή συνεισφορά στη δεύτερη ροπή. Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά μέρη στον χώρο των ορμών και την ταυτότητα \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), βρίσκουμε ότι:

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Γράφοντας τη δύναμη που ασκείται στα ηλεκτρόνια ως \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), αυτός ο όρος γίνεται:

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Αυτή είναι η ηλεκτρική εργασία που πραγματοποιείται στον φορέα του πληθυσμού. Στην ειδική περίπτωση όπου \(E_c=-q\phi\), αυτό απλοποιείται στον γνωστό όρο θέρμανσης Joule \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Εξίσωση ενεργειακής ισορροπίας και σύνδεσή της με την εξίσωση μεταφοράς με διάχυση.

Συγκεντρώνοντας όλες τις συνεισφορές, η εξίσωση της δεύτερης στιγμής μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Αυτή η εξίσωση συνδέεται άμεσα με το μοντέλο διάχυσης-μεταφοράς μέσω της πυκνότητας ρεύματος \(\mathbf{J}_n\). Δεν απαιτούνται επιπλέον, αυθαίρετοι όροι θέρμανσης: η ηλεκτρική απώλεια ισχύος προκύπτει φυσικά από την ίδια κινητήρια δύναμη στην περιοχή της ζώνης, η οποία εμφανίζεται και στον νόμο του ρεύματος.

7.5 Σχέση με το πρότυπο όριο της διάχυσης-μεταφοράς

Για να δούμε πώς αυτό συνδέεται με τα γνωστά μοντέλα διάχυσης-μετανάστευσης, ας εξετάσουμε την περίπτωση όπου η διαδικασία δεν εκφύλιζε και βρίσκεται κοντά στην κατάσταση ισορροπίας. Η κινητική συνεισφορά στη μέση ενέργεια είναι:

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

ώστε να

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

Σε μια σταθερή κατάσταση μεταφοράς με γρήγορη εξισορρόπηση της ενέργειας, \(T_e \approx T_L\) και \(\bar W \approx \bar W_0\), η χρονική παράγωγος \(\partial_t(n\bar W)\) εξαφανίζεται και η εξίσωση της ενέργειας καταρρέει, καταλήγοντας σε μια ισορροπία μεταξύ της ηλεκτρικής θέρμανσης και της απώλειας ενέργειας στο πλέγμα.

Η διατήρηση της εξίσωσης της ενεργειακής ισορροπίας αίρει αυτόν τον περιορισμό. Η θερμοκρασία του φορέα \(T_e\) γίνεται μια δυναμική μεταβλητή, επιτρέποντας στο μοντέλο να αποτυπώσει τη θέρμανση του πεδίου, την υπέρβαση της ταχύτητας και τη μη ισορροπημένη μεταφορά, διατηρώντας παράλληλα την πλήρη συμβατότητα με το πλαίσιο διάχυσης-παρασυρμού που προέκυψε προηγουμένως.

Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω, η εξίσωση της ενεργειακής ισορροπίας που εφαρμόζεται σε έναν επιλυτή που βασίζεται στην προσέγγιση μεταφοράς-διάχυσης μπορεί να γραφτεί στην ακόλουθη μορφή:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

Εδώ, το \(T_e\) είναι η θερμοκρασία των φορέων (ηλεκτρονίων), το \(T_L\) είναι η θερμοκρασία του πλέγματος, το \(\kappa\) είναι η θερμική αγωγιμότητα των φορέων και το \(\tau_W\) είναι ο χρόνος θερμικής χαλάρωσης. Αυτή η εξίσωση επιλύεται με αυτοσυνεπή τρόπο μαζί με την εξίσωση του Poisson, τις εξισώσεις συνέχειας των φορέων και τις σχέσεις ρεύματος μετατόπισης-διάχυσης.

8. Το τελικό ζεύγος μοντέλων επιλύθηκε στο OghmaNano.

Το OghmaNano επιλύει ένα συζευγμένο σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων. Το ακριβές σύνολο των εξισώσεων εξαρτάται από το επιλεγμένο φυσικό μοντέλο (μόνο διάχυση-μεταφορά ή διάχυση-μεταφορά με μεταφορά ενέργειας). Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τις εξισώσεις και πότε χρησιμοποιούνται.