Wyprowadzenie równań dryfu i dyfuzji z równania transportu Boltzmanna.

Na tej stronie przedstawiono wyprowadzenie równań dryfu i dyfuzji, wykorzystywanych w symulacjach urządzeń półprzewodnikowych, w oparciu o podstawowe zasady, rozpoczynając od równania transportu Boltzmanna w przybliżeniu czasu relaksacji. Poprzez obliczenie kolejnych momentów równania Boltzmanna, pokazujemy, w jaki sposób równania ciągłości elektronów i dziur, zależności prądów dryfu i dyfuzji oraz równania transportu energii (nośników gorących) wynikają w ramach spójnego modelu. Szczególny nacisk położono na struktury heterospójeniowe, efekty związane z pasmem energetycznym, gęstością stanów i transportem ciepła, co prowadzi do uzyskania gotowych do użycia równań, które zostały zaimplementowane w programie OghmaNano.

1. Wprowadzenie

Elektryczny silnik firmy OghmaNano opiera się na modelu dyfuzji i dryfu w przestrzeni 1D, 2D i 3D, a jego kluczową cechą jest obsługa dynamicznych (niestacjonarnych) stanów pułapek. Zamiast zakładać, że pułapki natychmiast osiągają stan równowagi z nośnikami swobodnymi, OghmaNano umożliwia śledzenie zmian w zajętości pułapek zarówno w odniesieniu do energii, jak i przestrzeni, co jest niezbędne do prawidłowego modelowania materiałów półprzewodnikowych o nieuporządkowanej strukturze oraz pomiarów przejściowych (np. ToF, CELIV), a także do modelowania pracy w stanie ustalonym.

Istnieje wiele uzasadnionych metod prowadzących do modelu dryfu i dyfuzji. Na przykład, można go wyprowadzić z równania transportu Boltzmanna za pomocą rozwinięć momentów i kontrolowanych przybliżeń, z termodynamiki nieodwracalnej (argumenty Onsagera / dotyczące produkcji entropii) lub z punktu widzenia modelu losowego ruchu / równania Fokka-Plancka, który łączy mikroskopowe przeskoki z makroskopowym dryfem i dyfuzją. Podejścia te często prowadzą do równań, które na pierwszy rzut oka wydają się podobne, ale nie są równie wiarygodne, gdy przechodzi się do bardziej złożonych przypadków niż najprostszy model „jednorodnego półprzewodnika”.

Szczególnie ważne jest, że po wprowadzeniu heterozłącz, przestrzennej zmienności efektywnej gęstości stanów, zależnej od położenia efektywnej masy, gradientów na krawędzi pasma lub nietrywialnej statystyki, nie można już po prostu dodawać dodatkowych członów do prądu dryfu i dyfuzji i oczekiwać, że wynik pozostanie spójny. To samo dotyczy sytuacji, gdy zaczynamy uwzględniać oddziaływanie termiczne lub łączyć transport elektryczny z generowaniem ciepła. Potrzebujemy metody wyprowadzania, która w naturalny sposób generuje poprawne dodatkowe człony i zapewnia jasną ścieżkę do rozszerzeń, a nie zbioru doraźnych modyfikacji.

Z tego powodu przedstawione tutaj wyprowadzenie rozpoczyna się od równania transportu Boltzmanna. Obliczenie momentów tego równania prowadzi w sposób systematyczny do uzyskania równań ciągłości oraz relacji konstytutywnych opisujących dryf i dyfuzję w granicy małej bezwładności, a także pokazuje, w jaki sposób ten sam model można rozszerzyć o kolejny poziom: równania bilansu energetycznego (transportu energii). Nawet jeśli nie rozwiązujemy pełnego modelu hydrodynamicznego, model energetyczny jest wartościowy, ponieważ identyfikuje spójne składniki źródła ciepła elektrycznego i wyjaśnia, kiedy należy uwzględnić nagrzewanie nośników. Poniższe wyprowadzenie stanowi podstawę elektrycznego modelu OghmaNano.

2. Równanie transportu Boltzmanna (RTA)

Na najbardziej podstawowym poziomie, stosowanym w modelowaniu urządzeń, transport ładunku jest opisywany za pomocą funkcji rozkładu \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Funkcja ta przedstawia prawdopodobieństwo wystąpienia nośnika ładunku w danym położeniu \(\mathbf{r}\), o określonym pędzie krystalicznym \(\hbar\mathbf{k}\), w danym momencie czasu \(t\). Wszystkie makroskopowe wielkości elektryczne – gęstość nośników, gęstość prądu, gęstość energii – można uzyskać, obliczając odpowiednie momenty tej funkcji rozkładu.

Równanie transportu Boltzmanna (RTB) to równanie opisujące ruch tej funkcji rozkładu. Jest to prawo zachowania w przestrzeni fazowej: uwzględnia ono sposób, w jaki nośniki poruszają się w przestrzeni rzeczywistej, jak zmienia się ich pęd pod wpływem przyłożonych sił oraz jak procesy rozpraszania redystrybuują nośniki w przestrzeni pędów. Zastosowanie RTB stanowi zatem pojedynczą, spójną podstawę, z której można wyprowadzić w sposób konsekwentny różne modele, takie jak model dryfu i dyfuzji, transportu energii oraz powiązane z nimi modele.

W pełnej postaci człon równania transportu Boltzmanna, opisujący zderzenia (rozpraszanie), jest skomplikowany i zależy od właściwości materiału. W praktycznych modelach urządzeń powszechnie stosuje się przybliżenie czasu relaksacji (RTA), w którym zakłada się, że rozpraszanie prowadzi do zbliżenia rozkładu do lokalnej quasi-równowagi \(f^0\) w określonym czasie \(\tau\). To przybliżenie zachowuje podstawowe właściwości fizyczne związane z relaksacją pędu i energii, jednocześnie upraszczając równania.

Przybliżając w ten sposób równanie, można zapisać półklasyczne równanie transportu Boltzmanna w następującej postaci:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Każdy z trzech składników po lewej stronie równania ma jasne fizyczne znaczenie: pierwszy opisuje zmiany rozkładu w czasie, drugi – transport w przestrzeni rzeczywistej z prędkością nośnika \(\mathbf{v}\), a trzeci – przyspieszenie w przestrzeni pędów spowodowane działającą siłą \(\mathbf{F}\) (na przykład \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) w polu elektrycznym). Prawa strona równania reprezentuje rozpraszanie, które prowadzi do stanu równowagi w systemie \(f^0\).

Teoria dryfu i dyfuzji nie próbuje rozwiązywać tego równania bezpośrednio. Zamiast tego, wykorzystuje się momenty równania Boltzmanna – całki po przestrzeni pędu – w celu uzyskania równań opisujących zmiany w czasie fizycznie istotnych wielkości, takich jak gęstość nośników, gęstość prądu i gęstość energii. W następnych sekcjach przedstawiono, w jaki sposób ta metoda prowadzi w naturalny sposób do znanych równań dryfu i dyfuzji, a na kolejnym poziomie – do modeli równowagi energetycznej (modeli „gorących” nośników).

3. Obliczanie momentów równania transportu Boltzmanna

Równanie transportu Boltzmanna opisuje dynamikę nośników ładunku za pomocą funkcji rozkładu \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), która określa zajętość stanów elektronowych w funkcji położenia, pędu i czasu. W stanie równowagi funkcja ta sprowadza się do znanej funkcji Fermiego-Diraca, natomiast pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego zmienia się w odpowiedzi na zmiany w pasmach energetycznych i procesy rozpraszania. Aby uzyskać równania przydatne w skali urządzenia, nie próbujemy rozwiązywać bezpośrednio równania \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Zamiast tego wyprowadzamy równania ewolucji dla wielkości makroskopowych, obliczając momenty całego równania Boltzmanna i systematycznie łącząc statystykę nośników na poziomie mikroskopowym z modelami dyfuzji, transportu energii i pokrewnymi.

Formalnie, równanie momentu uzyskuje się, mnożąc pełne równanie Boltzmanna przez współczynnik \(A(\mathbf{k})\) i całkując po całej przestrzeni pędów:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Każdy wybór funkcji wagowej \(A(\mathbf{k})\) generuje równanie bilansu: równanie ewolucji, które opisuje, w jaki sposób makroskopowa wielkość jest napędzana i ulega relaksacji. Ustawienie \(A=1\) prowadzi do równania bilansu cząstek, z którego można wyprowadzić znane równania ciągłości dla elektronów i dziur. Obliczenie pierwszego momentu, z wykorzystaniem \(A=\hbar\mathbf{k}\) (lub równoważnie \(m^\ast\mathbf{v}\)), daje równanie bilansu pędu, które opisuje, w jaki sposób pęd nośników reaguje na siły i rozpraszanie; standardowy prąd dryfowo-dyfuzyjny uzyskuje się, przechodząc do granicy silnego tłumienia tego równania, w której pęd szybko ulega relaksacji, a człony inercyjne są pomijane. Obliczenie następnego momentu, z wykorzystaniem \(A=W(\mathbf{k})\), daje równanie bilansu energii, które opisuje transport i relaksację energii nośników oraz stanowi minimalne rozszerzenie potrzebne do modelowania gorących nośników, napędu termicznego i generowania ciepła elektrycznego. W ten sposób modele ciągłości, dryfu i dyfuzji oraz transportu energii wyłaniają się jako kolejne poziomy przybliżenia w ramach jednej, spójnej struktury.

Standardowy model dryfu i dyfuzji uwzględnia jedynie równanie bilansu cząstek oraz uproszczony związek konstytutywny dla prądu, który wynika z równania bilansu pędu. W ten sposób nie zachowuje energii nośników.

4. Moment zerowy: równowaga cząstek (równanie ciągłości)

Pierwszy i najważniejszy moment równania transportu Boltzmanna uzyskuje się, przyjmując, że funkcja wagowa jest równa jedności \(A(\mathbf{k}) = 1\). Odpowiada to zliczaniu nośników: całkowanie pełnego równania Boltzmanna po wszystkich pędach daje równanie bilansu dla całkowitej gęstości nośników w każdym punkcie przestrzeni. Z tego powodu pierwszy moment nazywany jest równaniem bilansu cząstek (lub równaniem ciągłości cząstek).

4.1. Wyznaczanie pochodnych (moment zerowy / bilans cząstek)

Rozpocznijmy od postaci równania Boltzmanna uwzględniającej czas relaksacji:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Pomnóż przez \(A(\mathbf{k})=1\) i oblicz całkę po wszystkich \(\mathbf{k}\):

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Pierwszy człon określa gęstość nośników \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \], tak aby \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \].

Drugi składnik staje się przyczyną rozbieżności w przestrzeni rzeczywistej:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

gdzie średnia prędkość nośników wynosi \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \].

Trzeci składnik (składnik siłowy) znika przy standardowych założeniach, zgodnie z którymi rozkład maleje gwałtownie wraz ze wzrostem \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\), co oznacza, że odpowiadająca mu całka powierzchniowa w przestrzeni \(\mathbf{k}\) wynosi zero:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Po zebraniu wszystkich wyrazów, równanie zerowego momentu przyjmuje postać:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Prawa strona równania przedstawia procesy, które generują lub eliminują nośniki swobodne, rozpatrywane na poziomie dryfu i dyfuzji: generację, rekombinację oraz (w materiałach zawierających pułapki) wymianę z stanami pułapkowymi. Dlatego zapisujemy to w skróconej formie jako \(G - R\) (uwzględniając wychwytywanie/emisję nośników w efektywnym członie \(R\) lub zapisując to wyraźnie w modelu pułapkowania).

4.2 Równanie ciągłości w formie dyfuzyjno-dryfowej

Wprowadzając pojęcie gęstości prądu elektronowego \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \], równanie bilansu cząstek przybiera postać dobrze znanej równicy ciągłości dla elektronów:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

Odpowiadające temu równanie ciągłości dla otworów ma postać:

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Pierwszy moment: równowaga pędu → prąd dryfowo-dyfuzyjny

Równania prądu dryfu i dyfuzji uzyskuje się z pierwszego momentu równania transportu Boltzmanna. Moment ten odpowiada bilansowi pędu i opisuje, w jaki sposób pęd nośników jest generowany przez siły, takie jak pola elektryczne i gradienty na krawędzi pasma, oraz tłumiony przez rozpraszanie. Zamiast rozwiązywać pełne równanie bilansu pędu, standardowy model dryfu i dyfuzji uzyskuje się poprzez bezpośrednie wyrażenie prędkości nośników w kategoriach lokalnych sił napędowych, bez uwzględniania jawnego równania ewolucji pędu lub energii. To przybliżenie jest odpowiednie, gdy nie są wymagane efekty transportu pędu i energii wyższego rzędu.

5.1 Od momentu rozpoczęcia symulacji BTE do momentu uzyskania prądu wynikającego z modelu dryfu i dyfuzji.

Rozpoczynamy od równania transportu Boltzmanna, zapisanego w przybliżeniu czasu relaksacji, z uwzględnieniem czasu relaksacji pędu \(\tau_p\):

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Aby uzyskać równanie opisujące zachowanie pędu, należy pomnożyć całe równanie przez współczynnik przypominający pęd \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (odpowiednio \(\hbar\mathbf{k}\) dla pasma parabolicznego), a następnie scałkować po przestrzeni pędów:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Określanie momentu prędkości, natężenia prądu i ciśnienia.

Całki pierwszego rzędu wprowadzają wielkości, które występują w równaniach transportu na poziomie pojedynczego elementu. Rozpoczniemy od zdefiniowania gęstości nośników ładunku i średniej prędkości nośników jako:

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Prędkość \(\mathbf{u}\), zdefiniowana powyżej, to średnia prędkość nośników. Reprezentuje ona wypadkową prędkość przemieszczania się populacji nośników w danym punkcie przestrzeni. Poszczególne nośniki zazwyczaj poruszają się znacznie szybciej niż \(\mathbf{u}\), wykonując losowe ruchy termiczne, które nakładają się na ten powolny, zbiorowy ruch. Dlatego średnia prędkość nie jest typową prędkością nośnika, lecz niewielką prędkością resztkową, która pozostaje po uśrednieniu wszystkich mikroskopowych ruchów.

To rozróżnienie ma zasadnicze znaczenie. Losowy ruch termiczny nie wpływa na przepływ prądu elektrycznego, ponieważ jego średnia wartość wynosi zero. Natomiast średnia prędkość dryfu \(\mathbf{u}\) uwzględnia niezrównoważenie w ruchu nośników ładunku, spowodowane polami elektrycznymi, gradientami stężenia i gradientami temperatury. To właśnie ta średnia prędkość decyduje o makroskopowej gęstości prądu.

Przy tych definicjach strumień cząstek wynosi \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), a gęstość prądu elektronowego wynosi

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Podstawiając te definicje do równania pierwszego momentu, można zapisać całki w przestrzeni pędu wyłącznie w kategoriach \(n\), \(\mathbf{u}\) i wyższych rzędów momentów prędkości. W szczególności, człon związany z oddziaływaniami upraszcza się, ponieważ odniesieniowa funkcja rozkładu \(f^0\) reprezentuje lokalny stan równowagi, w którym średnia prędkość dryfu wynosi zero, dzięki czemu

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

W rezultacie składnik związany z zderzeniami wpływa jedynie na człon równania odpowiadający za relaksację pędu, a jego wpływ jest proporcjonalny do średniej prędkości \(\mathbf{u}\).

Pozostały człon równania dotyczący transportu przestrzennego w równaniu pierwszego rzędu zawiera całki w postaci \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), które reprezentują strumień pędu w przestrzeni. Aby wyraźnie zdefiniować fizyczną treść tego członu, rozkładamy prędkość nośnika na składową średnią i składową fluktuacyjną:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Podstawiając to rozłożenie do drugiego momentu prędkości i wykorzystując \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\), można rozdzielić strumień pędu na składową konwekcyjną i składową fluktuacyjną. Składowa fluktuacyjna jest identyfikowana jako tensor ciśnienia (lub naprężeń).

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Z punktu widzenia fizyki, \(\mathbf{P}\) reprezentuje transport pędu związany z fluktuacjami prędkości wokół średniej prędkości dryfu. Jego dywergencja prowadzi do powstawania składników dyfuzyjnych i termicznych w uproszczonych równaniach transportu.

Po zebraniu wszystkich danych, równanie pierwszego rzędu można teraz zapisać w następującej postaci:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

To równanie przedstawia ogólną zasadę zachowania pędu, wyprowadzoną bezpośrednio z pierwszego momentu równania transportu Boltzmanna. Na tym etapie nie wprowadzono jeszcze żadnych założeń dotyczących dryfu i dyfuzji; zostaną one uwzględnione w następnym kroku, w którym równanie zachowania pędu zostanie sprowadzone do równania równowagi sił lokalnych.

5.3. Uproszczenie równania równowagi impulsów do równania równowagi sił.

W modelowaniu opartym na równaniach dyfuzji i dryfu nie interesuje nas bezpośrednie śledzenie zmian w czasie ani przestrzennego rozkładu pędu. Zamiast tego zakładamy, że pęd nośników lokalnie dostosowuje się do działających sił, dzięki czemu można pominąć wszelkie przejściowe lub nielokalne efekty związane z transportem pędu. Przy takim założeniu równowaga pędu upraszcza się poprzez pominięcie wyraźnych składników związanych z transportem pędu i bezwładnością, przy jednoczesnym zachowaniu składników siły i relaksacji.

Przy takim przybliżeniu równanie bilansu pędu upraszcza się do:

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

W przedstawionej formie równanie należy interpretować jako lokalną równowagę sił: siły powodujące ruch nośników ładunku są równoważone przez utratę pędu w wyniku rozpraszania.

Pozostały człon \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) opisuje sposób, w jaki pęd jest rozkładany na nowo przez losowy ruch nośników. Tensor \(\mathbf{P}\) zawiera informacje o korelacji między składowymi prędkości, a ogólnie rzecz biorąc, umożliwia anizotropowy transport pędu. W wielu urządzeniach półprzewodnikowych rozkład nośników jest zbliżony do izotropowego w przestrzeni prędkości. W takim przypadku nie występuje preferowany kierunek dla fluktuacji prędkości, a tensor ciśnienia redukuje się do skalarnego ciśnienia, które jest mnożnikiem tensora identyczności:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Fizycznie oznacza to, że losowy ruch termiczny w równym stopniu wpływa na wszystkie kierunki. Gdy tę postać podstawimy do równania bilansu pędu, dywergencja tensora ciśnienia upraszcza się do gradientu skalarnego ciśnienia:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

To określenie stanowi podstawę dla pojęć dyfuzji i siły termicznej w równaniach dryfu i dyfuzji. W następnej sekcji to równanie równowagi sił jest rozwiązywane dla średniej prędkości nośników \(\mathbf{u}\), co bezpośrednio prowadzi do uzyskania prądu dryfu i dyfuzji.

5.4 Od równowagi sił do prądu wynikającego z dryfu i dyfuzji.

Przechodzimy teraz do uproszczonego równania bilansu lokalnego pędu, wyprowadzonego w poprzedniej sekcji. W przypadku elektronów wygodnie jest wyrazić siłę napędową za pomocą energii krawędzi pasma przewodnictwa \(E_c(\mathbf{r})\), która uwzględnia zarówno potencjał elektrostatyczny, jak i przesunięcia materiałowe. W związku z tym siłę działającą na elektrony możemy zapisać jako:

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

gdzie \(E_c(\mathbf{r})\) można zapisać (z uwzględnieniem odniesienia) jako \(E_c = \chi - q\phi\), tak aby przestrzenne zmiany w powinowactwie elektronowym lub potencjale elektrostatycznym naturalnie wpływały na ruch nośników ładunku. Podstawiając to do uproszczonego równania bilansu pędu, otrzymujemy:

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

To równanie opisuje lokalną równowagę między siłą napędową na krawędzi pasma energetycznego, transportem wywołanym ciśnieniem i stratą pędu na skutek rozpraszania. Rozwiązanie tego równania w celu określenia średniej prędkości nośników daje:

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Wykorzystując definicję gęstości prądu elektronowego \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), otrzymujemy:

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Przedstawiamy \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), rozwiązanie zapewniające mobilność, dzięki czemu staje się ono...

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

W tym momencie prąd wyrażony jest za pomocą gradientu ciśnienia \(\nabla p\), a na razie nie wprowadzono żadnych założeń dotyczących statystyki nośników. Aby kontynuować, przedstawiamy ciśnienie i gęstość jako momenty podstawowej funkcji rozkładu.

Stężenie nośników ładunku i ciśnienie można zapisać w następujący sposób:

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

gdzie \(g(E)\) oznacza gęstość stanów, a \(f(E)\) – rozkład Fermiego-Diraca. W przypadku pasma parabolicznego, te całki sprowadzają się do standardowych całek Fermiego-Diraca.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

przy zmniejszonym potencjale chemicznym \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) oraz \(F_j(\eta)\) – pełna całka Fermiego-Diraca rzędu \(j\).

Obliczenie gradientu ciśnienia daje w wyniku:

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Podstawienie tego wyrażenia do równania opisującego dany proces pokazuje, że dyfuzja i przepływ ciepła są regulowane przez uogólnione równanie Einsteina.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

To wyrażenie jest dokładne dla pasma parabolicznego i pozostaje w mocy od obszaru, w którym występuje niewielka degeneracja, aż do obszaru, w którym występuje silna degeneracja. W przypadku niewielkiej degeneracji (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)), uogólnione równanie Einsteina redukuje się do znanej postaci.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

Pierwszy składnik reprezentuje dryf spowodowany przestrzennymi zmianami położenia krawędzi pasma przewodnictwa, obejmując zarówno pola elektrostatyczne, jak i przesunięcia poziomów energii na granicy heterospójenia. Drugi składnik, uwzględniający gradient ciśnienia, jest źródłem dyfuzji i siły termicznej.

W przypadku niezanikającego pola, ciśnienie nośnikowe wynosi \(p = n k_B T\), co oznacza, że

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Podstawiając to wyrażenie do równania, otrzymujemy:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Wykorzystując relację Einsteina dla nośników niedegenerowanych, \(D_n = \mu_n k_B T / q\), można zapisać prąd w znanej postaci, uwzględniającej dryf i dyfuzję, z uwzględnieniem wyraźnego wpływu temperatury:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

W heterostrukturach efektywna gęstość stanów \(N_c(\mathbf{r},T)\) może się zmieniać w zależności od położenia, co wynika ze zmian parametrów struktury pasmowej, takich jak efektywna masa. Następnie, w wyniku samouzgodnienia, powstaje dodatkowy składnik, który zależy od właściwości materiału i jest proporcjonalny do \(\nabla\ln N_c\).

Uwzględniając ten składnik, prąd wynikający z dryfu i dyfuzji, stosowany w symulatorach urządzeń, można zapisać w następujący sposób:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

W tej formie wszystkie mechanizmy sterujące wynikają w sposób naturalny z tego samego modelu równowagi impulsów. Pola elektrostatyczne, przesunięcia poziomów energii w heterospójeniach, gradienty temperatury i przestrzenne zmiany parametrów materiałowych – wszystkie te czynniki odgrywają dokładnie taką samą rolę.

Całkowicie analogiczne rozumowanie można zastosować do dziur. Powtarzając te same kroki, wykorzystując krawędź pasma walencyjnego \(E_v(\mathbf{r})\) i statystykę dziur, otrzymujemy gęstość prądu dziur.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

gdzie \(N_v(\mathbf{r},T)\) oznacza efektywną gęstość stanów w paśmie walencyjnym. Odwrotne znaki składników odpowiadających za dyfuzję i ruch termiczny odzwierciedlają dodatni ładunek dziur.

• Dyfuzja termiczna (termodyfuzja/efekt podobny do efektu Seebecka): przestrzenne zmiany temperatury nośników ładunku modyfikują lokalny stan quasi-równowagi i generują wypadkowy strumień nośników ładunku, który jest proporcjonalny do \(\nabla T\), nawet w przypadku braku pola elektrycznego.
• Sterowanie poprzez gęstość stanów / efektywną masę: w heterostrukturach lub materiałach o zmiennych właściwościach przestrzennych, gradienty parametrów struktury pasmowej (takich jak efektywna masa) prowadzą do gradientów \(N_c\) i \(N_v\). Te wielkości są kluczowe na granicach materiałów i zapewniają, że transport nośników ładunku pozostaje zgodny z podstawowymi właściwościami statystycznymi i strukturą pasmową.

7. Transport energii / rozszerzenie zakresu nośników ładunku.

W opracowanym wcześniej modelu dryfu i dyfuzji transport nośników ładunku opisuje się za pomocą równania ciągłości i równania bilansu pędu, które zostało uproszczone do algebraicznego prawa prądu. Zakłada się, że energia nośników ładunku szybko rozprasza się w sieci krystalicznej, dlatego nie rozwiązuje się dla niej żadnego wyraźnego równania.

Gdy założenie to zostanie złagodzone, należy zachować następujące równanie w hierarchii momentów Boltzmanna: równanie bilansu energii. Równanie to określa, w jaki sposób nośniki ładunku pozyskują energię z pól elektrycznych i gradientów na krawędzi pasma energetycznego, transportują tę energię wewnątrz urządzenia i oddają ją do sieci krystalicznej.

7.1 Drugi moment równania Boltzmanna

Równowagę energetyczną uzyskuje się, mnożąc równanie transportu Boltzmanna przez energię pojedynczej cząstki \(W(\mathbf{k})\) i całkując po przestrzeni pędów. W przypadku elektronów energię danego stanu można zapisać jako:

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

gdzie \(E_c(\mathbf{r})\) oznacza krawędź pasma przewodnictwa, a \(\varepsilon(\mathbf{k})\) to energia kinetyczna mierzona względem krawędzi pasma (dla pasma parabolicznego, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Definiując średnią energię nośnika na jedną cząstkę jako:

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

odpowiadająca temu gęstość energii wynosi \(n\bar W\). Ta wielkość pełni tę samą funkcję w odniesieniu do energii, jaką \(n\) pełni w odniesieniu do liczby cząstek.

7.2 Strumień energii i jego związek z prądami dryfu i dyfuzji.

Wyraz opisujący przestrzenną zależność i transport w drugim momencie zawiera całki postaci \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), co uzasadnia definicję strumienia energii.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Ta wielkość jest bezpośrednio analogiczna do strumienia cząstek \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), a zatem również do gęstości prądu \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). W związku z tym transport energii jest w naturalny sposób powiązany z transportem nośników.

7.3 Praca wykonana przez pole elektryczne i gradienty na krawędzi pasma energetycznego.

Wyraz siły w równaniu Boltzmanna generuje wyraźny wkład w drugim momencie. Stosując całkowanie przez części w przestrzeni pędów oraz tożsamość \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), otrzymujemy:

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Zapisując siłę działającą na elektrony jako \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), wyrażenie to przyjmuje postać:

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Oto wyniki badań dotyczących wpływu pola elektrycznego na populację nośników ładunku. W szczególnym przypadku, gdy \(E_c=-q\phi\), efekt ten sprowadza się do znanego zjawiska ogrzewania Joule'a \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Równanie bilansu energetycznego i jego związek z modelem dryfu i dyfuzji.

Po uwzględnieniu wszystkich składników, równanie drugiego rzędu można zapisać w następujący sposób:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

To równanie jest bezpośrednio powiązane z modelem dryfu i dyfuzji poprzez gęstość prądu \(\mathbf{J}_n\). Nie są wymagane żadne dodatkowe, arbitralne człony związane z ogrzewaniem: rozpraszanie energii elektrycznej wynika naturalnie z tego samego mechanizmu, który występuje w równaniu opisującym przepływ prądu.

7.5 Związek z klasycznym modelem dryfu i dyfuzji

Aby zrozumieć, w jaki sposób to powiązanie odnosi się do znanych modeli dryfu i dyfuzji, rozważmy przypadek bliski równowadze, w którym nie występuje degeneracja. Wkład kinetyczny w średnią energię wynosi:

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

żeby

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

W stanie ustalonym, przy uwzględnieniu dryfu i dyfuzji oraz szybkiej relaksacji energii, \(T_e \approx T_L\) i \(\bar W \approx \bar W_0\)pochodna względem czasu \(\partial_t(n\bar W)\) zanika, a równanie bilansu energetycznego sprowadza się do stanu równowagi między ogrzewaniem elektrycznym a stratami energii w sieci krystalicznej.

Zachowanie równania bilansu energetycznego eliminuje to ograniczenie. Temperatura nośnika \(T_e\) staje się zmienną dynamiczną, co pozwala modelowi uwzględnić nagrzewanie pola, przekroczenie prędkości i transport w warunkach nierównowagi, przy jednoczesnym zachowaniu pełnej zgodności z wcześniej opracowaną koncepcją dryfu i dyfuzji.

Podsumowując, równanie bilansu energetycznego, które jest implementowane w solverze opartym na modelu dryfu i dyfuzji, można zapisać w następującej postaci:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

W powyższym równaniu \(T_e\) oznacza temperaturę nośników (elektronów), \(T_L\) – temperaturę sieci krystalicznej, \(\kappa\) – przewodność cieplną nośników, a \(\tau_W\) – czas relaksacji energii. To równanie jest rozwiązywane w sposób samo-spójny wraz z równaniem Poissona, równaniami ciągłości nośników oraz relacjami dotyczącymi prądu dryfu i dyfuzji.

8. Ostateczny, zintegrowany model rozwiązany w programie OghmaNano.

OghmaNano rozwiązuje sprzężony układ równań różniczkowych cząstkowych. Konkretny zestaw równań zależy od wybranego modelu fizycznego (tylko model dryfu i dyfuzji lub model dryfu i dyfuzji z uwzględnieniem transportu energii). Poniższa tabela zawiera podsumowanie równań i informacji o tym, kiedy są one stosowane.