Dérivation des équations de dérive-diffusion à partir de l’équation de Boltzmann pour le transport.

Cette page présente une dérivation à partir des principes fondamentaux des équations de dérive-diffusion utilisées dans la simulation des dispositifs à semi-conducteurs, en partant de l’équation de Boltzmann pour le transport, dans l’approximation du temps de relaxation. En calculant successivement les moments de l’équation de Boltzmann, nous montrons comment les équations de continuité des électrons et des trous, les relations de courant de dérive-diffusion et les équations de transport d’énergie (pour les porteurs chauds) découlent d’un cadre unique et cohérent. Une attention particulière est portée aux hétérojonctions, à la dérive au niveau du bord de bande, aux effets liés à la densité d’états et au transport thermique, ce qui permet d’obtenir les équations prêtes à être utilisées dans le solveur et implémentées dans OghmaNano.

1. Introduction

Le moteur électrique d’OghmaNano est un modèle de transport-diffusion 1D/2D/3D dont la caractéristique principale est sa capacité à prendre en compte les états de piège dynamiques (hors équilibre). Au lieu de supposer que les pièges atteignent instantanément l’équilibre avec les porteurs libres, OghmaNano peut faire évoluer explicitement l’occupation des pièges en fonction de l’énergie et de l’espace, ce qui est essentiel pour modéliser correctement les semi-conducteurs désordonnés et les mesures transitoires (par exemple, ToF, CELIV), ainsi que le fonctionnement en régime permanent.

Il existe de nombreuses approches valables pour étudier le phénomène de dérive-diffusion. On peut, par exemple, le déduire de l’équation de Boltzmann en utilisant des développements de moments et des approximations contrôlées, ou encore en se basant sur la thermodynamique irréversible (arguments d’Onsager/production d’entropie), ou encore en adoptant un point de vue basé sur la marche aléatoire/l’équation de Fokker-Planck, qui relie les sauts microscopiques à la dérive et à la diffusion macroscopiques. Ces approches donnent souvent des équations qui semblent similaires au premier abord, mais elles ne sont pas toutes également fiables lorsqu’on dépasse le cas le plus simple du « semi-conducteur homogène ».

Plus précisément, dès que vous introduisez des hétérojonctions, une densité d’états effective variant spatialement, une masse effective dépendant de la position, des gradients de bande ou des statistiques non triviales, il n’est plus sûr d’ajouter des termes supplémentaires à un courant de dérive-diffusion en espérant que le résultat reste cohérent. Il en va de même lorsque vous commencez à inclure une force thermique ou à coupler le transport électrique à la génération de chaleur. Ce que vous recherchez, c’est un cadre de dérivation qui génère naturellement les termes supplémentaires corrects et offre une voie claire vers des extensions, plutôt qu’une collection de modifications ad hoc.

Pour cette raison, la dérivation présentée ici part de l’équation de Boltzmann pour le transport. En appliquant des opérations de sommation à l’équation de Boltzmann, on obtient de manière systématique les équations de continuité et les relations constitutives de dérive-diffusion dans la limite d’une faible inertie. On montre également comment le même modèle peut être étendu au niveau supérieur : les équations d’équilibre énergétique (ou d’équilibre du transport d’énergie). Même si vous ne résolvez pas le modèle hydrodynamique complet, le modèle énergétique est précieux car il permet d’identifier des termes cohérents pour les sources de chaleur électrique et de déterminer quand il est nécessaire de prendre en compte le chauffage des porteurs de charge. La dérivation ci-dessous constitue la base du modèle électrique d’OghmaNano.

2. Équation de Boltzmann pour le transport (RTA)

Au niveau le plus fondamental utilisé dans la modélisation des dispositifs, le transport des charges est décrit à l’aide d’une fonction de distribution \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Cette fonction représente la probabilité de trouver un porteur de charge à la position \(\mathbf{r}\), avec une impulsion cristalline \(\hbar\mathbf{k}\), à l’instant \(t\). Toutes les grandeurs électriques macroscopiques — densité de porteurs, densité de courant, densité d’énergie — peuvent être obtenues en calculant les moments appropriés de cette distribution.

L’équation de Boltzmann pour le transport (EBT) est l’équation du mouvement qui régit cette fonction de distribution. Il s’agit d’une loi de conservation dans l’espace des phases : elle décrit la manière dont les porteurs se déplacent dans l’espace réel, la manière dont leur quantité de mouvement évolue sous l’effet de forces appliquées et la manière dont les processus de diffusion redistribuent les porteurs dans l’espace des quantités de mouvement. Partir de l’EBT permet donc d’établir un cadre unique et cohérent à partir duquel peuvent être dérivés, de manière cohérente, les modèles de dérive-diffusion, de transport d’énergie et autres modèles connexes.

Sous sa forme complète, le terme de collision (diffusion) de l’équation de Boltzmann pour les électrons est complexe et dépend des propriétés du matériau. Pour la modélisation pratique des dispositifs, il est courant d’utiliser l’approximation du temps de relaxation (RTA), dans laquelle on suppose que la diffusion tend à faire évoluer la distribution vers une forme de quasi-équilibre local \(f^0\) sur une période caractéristique \(\tau\). Cette approximation préserve les principes physiques essentiels de la relaxation de l’impulsion et de l’énergie, tout en permettant de conserver des équations gérables.

En utilisant cette approximation, l’équation de Boltzmann semi-classique du transport peut s’écrire comme suit :

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Les trois termes situés à gauche de l’équation ont une signification physique claire : le premier décrit l’évolution temporelle explicite de la distribution, le deuxième décrit le transport dans l’espace réel avec la vitesse des porteurs \(\mathbf{v}\), et le troisième décrit l’accélération dans l’espace des impulsions due à une force appliquée \(\mathbf{F}\) (par exemple \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) dans un champ électrique). Le côté droit de l’équation représente la diffusion, qui fait évoluer le système vers \(f^0\).

La théorie de la dérive-diffusion ne cherche pas à résoudre directement cette équation. Au lieu de cela, elle procède en calculant les moments de l’équation de Boltzmann pour les électrons (intégrales sur l’espace des impulsions), afin d’obtenir des équations d’évolution pour des grandeurs physiquement significatives, telles que la densité de porteurs, la densité de courant et la densité d’énergie. Les sections suivantes montrent comment cette procédure conduit naturellement aux équations de dérive-diffusion bien connues et, à un niveau supérieur, aux modèles d’équilibre énergétique (modèles de porteurs chauds).

3. Calcul des moments de l’équation de Boltzmann sur le transport.

L’équation de Boltzmann décrit la dynamique des porteurs en termes d’une fonction de distribution \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), qui indique l’occupation des états électroniques en fonction de la position, de l’impulsion et du temps. À l’équilibre, cette distribution se réduit à la fonction de Fermi-Dirac bien connue, tandis que, sous l’effet d’une tension, elle évolue en réponse aux champs électriques, aux variations au niveau des bandes d’énergie et aux processus de diffusion. Afin d’obtenir des équations utiles à l’échelle des dispositifs, nous ne cherchons pas à résoudre directement \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Au lieu de cela, nous dérivons des équations d’évolution pour les grandeurs macroscopiques en calculant les moments de l’équation de Boltzmann, établissant ainsi un lien systématique entre les statistiques microscopiques des porteurs et les modèles de dérive-diffusion, de transport d’énergie et autres modèles connexes.

Formellement, une équation du moment est obtenue en multipliant l’équation complète de Boltzmann par un facteur de pondération \(A(\mathbf{k})\) et en intégrant sur tout l’espace des impulsions :

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Chaque choix de la fonction de pondération \(A(\mathbf{k})\) génère une équation d’équilibre : une équation d’évolution qui exprime comment une quantité macroscopique est influencée et se relâche. En utilisant \(A=1\), on obtient l’équation d’équilibre des particules, à partir de laquelle découlent les équations de continuité bien connues pour les électrons et les trous. En prenant le premier moment, avec \(A=\hbar\mathbf{k}\) (ou de manière équivalente \(m^\ast\mathbf{v}\)), on obtient une équation d’équilibre du moment qui décrit comment le moment des porteurs réagit aux forces et aux collisions ; le courant de dérive-diffusion standard est obtenu en prenant la limite fortement amortie de cette équation, dans laquelle le moment se relâche rapidement et les termes inertiels sont négligés. En prenant le moment suivant, avec \(A=W(\mathbf{k})\), on obtient une équation d’équilibre de l’énergie, qui décrit le transport et la relaxation de l’énergie des porteurs et fournit l’extension minimale nécessaire pour modéliser les porteurs chauds, la force motrice thermique et la génération de chaleur électrique. De cette manière, les modèles de continuité, de dérive-diffusion et de transport d’énergie émergent comme des niveaux successifs d’approximation au sein d’un cadre unique et cohérent.

Le modèle standard de dérive-diffusion ne conserve que l’équation d’équilibre des particules et une relation constitutive simplifiée pour le courant, obtenue à partir de l’équation d’équilibre de la quantité de mouvement. Ce faisant, il ne conserve pas l’énergie des porteurs de charge.

4. Moment d’ordre zéro : équilibre des particules (équation de continuité)

Le premier et le plus important moment de l’équation de Boltzmann est obtenu en fixant la fonction de pondération à la valeur 1 \(A(\mathbf{k}) = 1\). Cela correspond au comptage des porteurs : l’intégration de l’équation de Boltzmann complète sur tous les moments donne une loi de conservation de la densité totale des porteurs en chaque point de l’espace. C’est pourquoi le premier moment est appelé équation de conservation (ou de continuité) des particules.

4.1 Dérivation (moment d’ordre zéro / bilan des particules)

Partons de la forme de l’équation de Boltzmann qui prend en compte le temps de relaxation :

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Multipliez par \(A(\mathbf{k})=1\) et effectuez l’intégration sur tous les \(\mathbf{k}\) :

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Le premier terme définit la densité de porteurs \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] de sorte que \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \].

Le deuxième terme se transforme en une divergence dans l’espace réel :

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

où la vitesse moyenne de dérive est de \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \].

Le troisième terme (terme de force) disparaît lorsque l’on applique les hypothèses classiques selon lesquelles la distribution décroît rapidement en fonction de \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\), de sorte que l’intégrale de surface correspondante dans l’espace \(\mathbf{k}\) est nulle :

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

En regroupant les termes, l’équation du moment d’ordre zéro devient :

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Le côté droit représente les processus qui créent ou éliminent les porteurs libres lorsqu’on les considère au niveau de la dérive et de la diffusion : génération, recombinaison et, dans les matériaux contenant des pièges, échange avec les états de piège. Nous pouvons donc l’écrire de manière concise sous la forme \(G - R\) (en incluant la capture/émission des pièges dans le terme effectif \(R\) ou en l’indiquant explicitement dans le modèle de piégeage).

4.2 Équation de continuité sous forme de transport-diffusion

En introduisant la densité de courant électronique \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \], l’équation d’équilibre des particules se transforme en l’équation de continuité électronique bien connue :

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

L’équation correspondante de continuité des trous est la suivante :

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Premier moment : équilibre de la quantité de mouvement → courant de dérive-diffusion.

Les équations de courant de dérive-diffusion sont obtenues à partir du premier moment de l’équation de transport de Boltzmann. Ce moment correspond à un bilan des quantités de mouvement, décrivant comment les porteurs de charge sont soumis à des forces telles que les champs électriques et les gradients de bande, et comment ces forces sont atténuées par la diffusion. Au lieu de résoudre l’équation complète du bilan des quantités de mouvement, la méthode standard de dérive-diffusion consiste à exprimer directement la vitesse des porteurs en fonction des forces locales, sans conserver une équation explicite d’évolution pour la quantité de mouvement ou l’énergie. Cette approximation est appropriée lorsque les effets de transport de quantité de mouvement et d’énergie d’ordre supérieur ne sont pas nécessaires.

5.1 Du premier instant de la simulation BTE au courant de dérive-diffusion.

Nous partons de l’équation de Boltzmann pour le transport, en utilisant l’approximation du temps de relaxation, et nous l’écrivons en fonction du temps de relaxation de l’impulsion \(\tau_p\) :

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Pour obtenir l’équation d’équilibre des quantités de mouvement, multipliez l’équation entière par le facteur pondérateur qui représente la quantité de mouvement \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (ou, de manière équivalente, par \(\hbar\mathbf{k}\) pour une bande parabolique), puis effectuez une intégration sur l’espace des quantités de mouvement :

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Détermination de la vitesse angulaire, du courant et de la pression.

Les intégrales du premier moment introduisent les quantités qui apparaissent dans les équations de transport à l’échelle des dispositifs. Nous commençons par définir la densité de porteurs et la vitesse moyenne des porteurs comme suit :

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

La vitesse \(\mathbf{u}\) définie ci-dessus est la vitesse moyenne (ou la vitesse moyenne) des porteurs. Elle représente la dérive nette de la population de porteurs en un point donné de l’espace. Les porteurs individuels se déplacent généralement beaucoup plus vite que \(\mathbf{u}\), effectuant un mouvement thermique aléatoire qui s’ajoute à cette lente dérive collective. La vitesse moyenne n’est donc pas la vitesse typique d’un porteur, mais la faible vitesse résiduelle qui subsiste après avoir calculé la moyenne de tous les mouvements microscopiques.

Cette distinction est essentielle. Le mouvement thermique aléatoire ne contribue pas au courant électrique, car il se compense et aboutit à zéro. En revanche, la vitesse de dérive moyenne \(\mathbf{u}\) prend en compte le déséquilibre dans le mouvement des porteurs de charge, causé par les champs électriques, les gradients de concentration et les gradients de température. C’est cette vitesse moyenne qui détermine la densité de courant macroscopique.

Sur la base de ces définitions, le flux de particules est \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) et la densité de courant électronique est :

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

En substituant ces définitions dans l’équation du premier moment, on peut réécrire les intégrales dans l’espace des impulsions en utilisant uniquement \(n\), \(\mathbf{u}\) et les moments d’ordre supérieur de la vitesse. En particulier, le terme de collision se simplifie, car la distribution de référence \(f^0\) représente un état d’équilibre local avec une vitesse de dérive moyenne nulle, de sorte que

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

Par conséquent, le terme de collision ne contribue qu’à un terme de relaxation de l’impulsion, proportionnel à la vitesse moyenne \(\mathbf{u}\).

Le terme restant de transport spatial dans l’équation du premier moment contient des intégrales de la forme \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), qui représentent le flux de quantité de mouvement dans l’espace. Afin de rendre explicite la signification physique de ce terme, nous décomposons la vitesse du fluide en une partie moyenne et une fluctuation :

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

En substituant cette décomposition dans le deuxième moment de la vitesse et en utilisant l’équation \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\), on décompose le flux d’impulsion en une contribution convective et un terme de fluctuation. La contribution de fluctuation est identifiée comme le tenseur de pression (ou de contrainte).

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Sur le plan physique, \(\mathbf{P}\) représente le transport de la quantité de mouvement associée aux fluctuations de vitesse par rapport à la vitesse de dérive moyenne. Sa divergence donne lieu à des termes de diffusion et de force thermique dans les équations de transport simplifiées.

Une fois toutes les contributions rassemblées, l’équation du premier moment peut maintenant s’écrire comme suit :

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Cette équation représente l’équilibre général de la quantité de mouvement, obtenu directement à partir du premier moment de l’équation de Boltzmann pour le transport. Aucune hypothèse de dérive-diffusion n’a encore été formulée ; ces hypothèses seront introduites à l’étape suivante, où l’équilibre de la quantité de mouvement sera réduit à un équilibre de forces locales.

5.3 Réduction de l’équation de la quantité de mouvement à une équation des forces.

Dans la modélisation par dérive-diffusion, nous ne cherchons pas à déterminer explicitement l’évolution temporelle ou le transport spatial de la quantité de mouvement elle-même. Nous supposons plutôt que la quantité de mouvement des porteurs s’ajuste localement aux forces appliquées, de sorte que tout effet transitoire ou non local lié au transport de la quantité de mouvement peut être négligé. Sous cette hypothèse, l’équation d’équilibre de la quantité de mouvement se simplifie en supprimant les termes explicites de transport et d’inertie de la quantité de mouvement, tout en conservant les termes de force et de relaxation.

En utilisant cette approximation, l’équation d’équilibre des quantités de mouvement se réduit à :

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Écrit de cette manière, l’équation doit être interprétée comme un équilibre local des forces : les forces qui entraînent le mouvement des porteurs sont compensées par la perte de quantité de mouvement due à la diffusion.

Le terme restant \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) représente la manière dont l’impulsion est redistribuée par le mouvement aléatoire des porteurs de charge. Le tenseur \(\mathbf{P}\) lui-même encode les corrélations entre les composantes de la vitesse et, de manière générale, permet un transport d’impulsion anisotrope. Dans de nombreux dispositifs à semi-conducteurs, la distribution des porteurs de charge est presque isotrope dans l’espace des vitesses. Dans ce cas, il n’y a pas de direction privilégiée pour les fluctuations de vitesse, et le tenseur de pression se réduit à une pression scalaire multipliant le tenseur identité :

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Sur le plan physique, cela signifie que le mouvement thermique aléatoire contribue de manière égale dans toutes les directions. Lorsque cette formule est substituée dans l’équation d’équilibre des quantités de mouvement, la divergence du tenseur de pression se simplifie en le gradient d’une pression scalaire :

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Ce terme est à l’origine de la diffusion et de la force thermique dans les équations de dérive-diffusion. Dans la section suivante, cette équation d’équilibre des forces est résolue pour déterminer la vitesse moyenne des porteurs \(\mathbf{u}\), ce qui permet d’obtenir directement le courant de dérive-diffusion.

5.4 De l’équilibre des forces au courant de dérive-diffusion

Nous revenons maintenant à l’équation simplifiée de la conservation de la quantité de mouvement locale que nous avons établie dans la section précédente. Pour les électrons, il est pratique d’exprimer la force motrice en fonction du bord de la bande de conduction \(E_c(\mathbf{r})\), qui prend en compte à la fois le potentiel électrostatique et les décalages de niveau entre les matériaux. Nous pouvons donc écrire la force agissant sur les électrons comme suit :

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

où \(E_c(\mathbf{r})\) peut être exprimé (jusqu’à une valeur de référence) sous la forme \(E_c = \chi - q\phi\), de sorte que les variations spatiales de l’affinité électronique ou du potentiel électrostatique contribuent naturellement à la génération de porteurs. En substituant cette expression dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement réduite, on obtient :

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Cette équation exprime un équilibre local entre la force motrice au niveau de la bande d’énergie, le transport induit par la pression et la perte de quantité de mouvement due à la diffusion. La résolution de cette équation pour déterminer la vitesse moyenne des porteurs donne :

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

En utilisant la définition de la densité de courant électronique, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), on obtient :

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Voici le \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), qui offre une mobilité accrue, et qui devient ainsi

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

À ce stade, le courant est exprimé en fonction du gradient de pression \(\nabla p\), et aucune hypothèse n’a encore été formulée concernant les statistiques des porteurs. Pour poursuivre, nous exprimons la pression et la densité sous forme de moments de la fonction de distribution sous-jacente.

La densité et la pression des porteurs peuvent s’écrire comme suit :

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

où \(g(E)\) représente la densité d’états et \(f(E)\) représente la distribution de Fermi-Dirac. Pour une bande parabolique, ces intégrales se réduisent aux intégrales de Fermi-Dirac classiques.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

avec un potentiel chimique réduit \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\), et \(F_j(\eta)\) l’intégrale complète de Fermi-Dirac d’ordre \(j\).

Le calcul du gradient de la pression donne :

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

En substituant cette expression dans l’équation actuelle, on constate que la diffusion et le gradient thermique sont régis par une relation d’Einstein généralisée.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Cette expression est exacte pour une bande parabolique et reste valable, du régime non dégénéré au régime fortement dégénéré. Dans la limite non dégénérée (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)), la relation d’Einstein généralisée se réduit à la forme bien connue.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

Le premier terme représente la dérive due aux variations spatiales du bord de la bande de conduction, qui incluent à la fois les champs électrostatiques et les décalages de bande aux hétérojonctions. Le deuxième terme, qui prend en compte le gradient de pression, est à l’origine de la diffusion et de l’effet thermique.

Dans le cas non dégénéré, la pression de portage est \(p = n k_B T\), ce qui implique que

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

En substituant cette expression dans l’équation, on obtient :

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

En utilisant la relation d’Einstein pour les porteurs non dégénérés, \(D_n = \mu_n k_B T / q\), le courant peut s’écrire sous la forme classique de dérive-diffusion, en tenant explicitement compte de la force thermique :

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

Dans les hétérostructures, la densité d’états effective \(N_c(\mathbf{r},T)\) peut varier spatialement en raison de modifications des paramètres de la structure de bandes, tels que la masse effective. Une réduction auto-cohérente produit alors un terme supplémentaire, lié aux propriétés du matériau, qui est proportionnel à \(\nabla\ln N_c\).

En tenant compte de cette contribution, le courant de dérive-diffusion utilisé dans les simulateurs de dispositifs peut s’écrire comme suit :

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

Sous cette forme, tous les mécanismes de fonctionnement découlent naturellement du même principe d’équilibre des impulsions. Les champs électrostatiques, les décalages de bande aux hétérojonctions, les gradients de température et les variations spatiales des paramètres des matériaux interviennent tous de la même manière.

Une dérivation tout à fait similaire s’applique aux trous. En répétant les mêmes étapes en utilisant le bord de la bande de valence \(E_v(\mathbf{r})\) et les statistiques des trous, on obtient la densité de courant des trous.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

où \(N_v(\mathbf{r},T)\) représente la densité d’états effective de la bande de valence. Les signes opposés des termes de diffusion et de dérive thermique reflètent la charge positive des trous.

• Conduction thermique (thermodiffusion / effet de type Seebeck) : les variations spatiales de la température des porteurs modifient la distribution locale de quasi-équilibre et génèrent un flux net de porteurs proportionnel à \(\nabla T\), même en l’absence de champ électrique.
• Effet de la densité d’états / de la masse effective : dans les hétérostructures ou les matériaux dont les propriétés varient spatialement, les gradients des paramètres de la structure de bande (tels que la masse effective) entraînent des gradients dans \(N_c\) et \(N_v\). Ces termes sont essentiels aux interfaces des matériaux et garantissent que le transport des porteurs reste cohérent avec les statistiques et la structure de bande sous-jacentes.

7. Transport d’énergie / extension des porteurs de charge chauds

Dans le modèle de dérive-diffusion présenté précédemment, le transport des porteurs est décrit par la continuité des particules et par un bilan de quantité de mouvement réduit à une loi de courant algébrique. On suppose que l’énergie des porteurs se dissipe rapidement dans le réseau, de sorte qu’aucune équation explicite n’est résolue pour la déterminer.

Lorsque cette hypothèse est assouplie, l’équation suivante de la hiérarchie des moments de Boltzmann doit être conservée : l’équation de l’équilibre énergétique. Cette équation régit la manière dont les porteurs acquièrent de l’énergie à partir des champs électriques et des gradients de bande, transportent cette énergie à travers le dispositif et la dissipent dans le réseau cristallin.

7.1 Moment d’ordre deux de l’équation de Boltzmann

L’équilibre énergétique s’obtient en multipliant l’équation de Boltzmann par l’énergie d’une seule particule \(W(\mathbf{k})\) et en intégrant sur l’espace des impulsions. Pour les électrons, l’énergie d’un état s’écrit comme suit :

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

où \(E_c(\mathbf{r})\) représente le bord de la bande de conduction et \(\varepsilon(\mathbf{k})\) représente l’énergie cinétique par rapport au bord de la bande (pour une bande parabolique, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Définissons l’énergie moyenne transportée par chaque particule comme suit :

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

la densité d’énergie correspondante est \(n\bar W\). Cette quantité joue le même rôle pour l’énergie que \(n\) pour le nombre de particules.

7.2 Flux d’énergie et relation avec les courants de dérive et de diffusion.

Le terme relatif au transport spatial dans le deuxième moment contient des intégrales de la forme \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), ce qui justifie la définition du flux d’énergie.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Cette quantité est directement analogue au flux de particules \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), et donc à la densité de courant \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). Le transport d’énergie est ainsi naturellement lié au transport des porteurs de charge.

7.3 Travail effectué par le champ électrique et gradients au niveau des bandes d’énergie.

Le terme de force dans l’équation de Boltzmann produit une contribution distincte dans le second moment. En utilisant l’intégration par parties dans l’espace des impulsions et l’identité \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), on obtient :

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

En exprimant la force exercée sur les électrons sous la forme \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), ce terme devient :

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Il s’agit des travaux électriques effectués sur la population de porteurs. Dans le cas particulier où \(E_c=-q\phi\) est vrai, cela se réduit à la formule bien connue de l’effet Joule \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Équation de l’équilibre énergétique et lien avec les modèles de dérive-diffusion.

En rassemblant toutes les contributions, l’équation du second moment peut s’écrire comme suit :

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Cette équation est directement liée au modèle de dérive-diffusion par le biais de la densité de courant \(\mathbf{J}_n\). Aucun terme de chauffage supplémentaire et spécifique n’est nécessaire : la dissipation de puissance électrique émerge naturellement du même mécanisme qui influence le bord de bande et qui apparaît dans la loi du courant.

7.5 Relation avec la limite standard de dérive-diffusion.

Pour comprendre le lien entre ce modèle et les modèles de diffusion-dérive plus courants, examinons le cas non dégénéré, proche de l’équilibre. La contribution cinétique à l’énergie moyenne est la suivante :

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

afin que / de sorte que

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

Dans le modèle de dérive-diffusion à l’état stationnaire, avec une relaxation rapide de l’énergie, \(T_e \approx T_L\) et \(\bar W \approx \bar W_0\)la dérivée par rapport au temps \(\partial_t(n\bar W)\) disparaît et l’équation de l’énergie se réduit à un équilibre entre le chauffage électrique et la perte d’énergie dans le réseau cristallin.

En conservant l’équation de l’équilibre énergétique, on supprime cette restriction. La température du porteur \(T_e\) devient une variable dynamique, ce qui permet au modèle de prendre en compte le chauffage du champ, le dépassement de la vitesse et le transport hors équilibre, tout en restant pleinement compatible avec le modèle de dérive-diffusion établi précédemment.

En rassemblant tous les éléments, l’équation de bilan énergétique mise en œuvre dans un solveur basé sur les modèles de dérive et de diffusion peut s’écrire sous la forme suivante :

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

Ici, \(T_e\) représente la température des porteurs (électrons), \(T_L\) représente la température du réseau cristallin, \(\kappa\) représente la conductivité thermique des porteurs et \(\tau_W\) représente le temps de relaxation énergétique. Cette équation est résolue de manière auto-cohérente avec l’équation de Poisson, les équations de continuité des porteurs et les relations de courant de dérive-diffusion.

8. Modèle couplé final résolu dans OghmaNano.

OghmaNano résout un système d’équations aux dérivées partielles couplées. L’ensemble exact des équations dépend du modèle physique sélectionné (uniquement la dérive-diffusion, ou la dérive-diffusion avec transport d’énergie). Le tableau ci-dessous résume les équations et indique quand elles sont utilisées.