Виведення рівнянь дрейфу та дифузії з рівняння Больцмана для опису переносу.

На цій сторінці представлено виведення рівнянь переносу-дифузії на основі перших принципів, які використовуються в моделюванні напівпровідникових пристроїв, починаючи з рівняння Больцмана для переносу в апроксимації часу релаксації. За допомогою послідовного обчислення моментів рівняння Больцмана ми показуємо, як виводяться рівняння неперервності для електронів і дірок, співвідношення для струму переносу-дифузії та рівняння для переносу енергії (для гарячих носіїв заряду) в єдиній, самоузгодженій системі. Особлива увага приділяється гетеропереходам, керуванню на межі зон, ефектам щільності станів і тепловому переносу, що призводить до отримання рівнянь, готових для використання в OghmaNano.

1. Вступ

Електричний двигун OghmaNano – це модель дифузії та дрейфу в одномірному, двомірному та тримірному просторах, головною особливістю якої є підтримка динамічних (нерівноважних) станів пасток. Замість того, щоб припускати, що пастки миттєво досягають рівноваги з вільними носіями заряду, OghmaNano може явно моделювати зміни в заповненості пасток як за енергією, так і в просторі, що є важливим для точного моделювання невпорядкованих напівпровідників і перехідних процесів (наприклад, ToF, CELIV), а також стаціонарної роботи.

Існує багато обґрунтованих підходів до опису дрейфово-дифузійного процесу. Наприклад, його можна отримати з рівняння Больцмана для переносу, використовуючи розкладання в моменти та контрольовані наближення, з незворотної термодинаміки (аргументи Онзагера / аргументи, пов’язані з утворенням ентропії), або з точки зору випадкового блукання / рівняння Фоккера — Планка, яке пов’язує мікроскопічні переходи з макроскопічним дрейфом і дифузією. Ці підходи часто призводять до рівнянь, які на перший погляд виглядають схожими, але вони не є однаково надійними, коли ми переходимо до більш складних випадків, ніж найпростіший випадок «однорідного напівпровідника».

Зокрема, коли ви починаєте використовувати гетеропереходи, просторово змінну ефективну густину станів, залежну від положення ефективну масу, градієнти на краях зон або нетривіальну статистику, вже не можна просто додавати додаткові члени до рівняння дифузійно-дрейфового струму і сподіватися, що результат залишиться самоузгодженим. Те саме стосується випадків, коли ви починаєте враховувати тепловий вплив або пов’язуєте електричний транспорт із тепловиділенням. Вам потрібна система обґрунтування, яка природним чином генерує правильні додаткові члени та забезпечує чіткий шлях до розширення, а не набір ad hoc модифікацій.

З цієї причини представлене тут виведення починається з рівняння Больцмана для переносу. Систематичне обчислення моментів цього рівняння дає рівняння нерозривності та конститутивні співвідношення для дрейфу та дифузії в межі низької інерції, а також показує, як та сама структура «переходить» на наступний рівень: до рівнянь енергетичного балансу (переносу енергії). Навіть якщо ви не розв’язуєте повну гідродинамічну модель, енергетична структура є цінною, оскільки вона визначає узгоджені члени, що описують джерела електричного тепла, і роз’яснює, коли необхідно враховувати нагрівання носіїв заряду. Наведене нижче виведення є основою для електричної моделі OghmaNano.

2. Рівняння Больцмана для опису переносу (RTA)

На найфундаментальнішому рівні, який використовується в моделюванні пристроїв, транспорт заряду описується за допомогою функції розподілу \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Ця функція відображає ймовірність знаходження носія заряду в певній точці \(\mathbf{r}\) з певним кристалічним імпульсом \(\hbar\mathbf{k}\) в певний момент часу \(t\). Усі макроскопічні електричні величини — концентрація носіїв, щільність струму, щільність енергії — можна отримати, обчисливши відповідні моменти цієї функції розподілу.

Рівняння Больцмана для переносу (РБП) є рівнянням руху для цієї функції розподілу. Воно являє собою закон збереження у фазовому просторі: воно описує, як носії рухаються в реальному просторі, як їхній імпульс змінюється під дією прикладених сил і як процеси розсіювання перерозподіляють носії в імпульсному просторі. Отже, вихідні дані з РБП забезпечують єдину, узгоджену основу, з якої можна послідовно вивести моделі дрейфу-дифузії, переносу енергії та пов’язані з ними моделі.

У повній формі член рівняння Больцмана, що описує зіткнення (розсіювання), є складним і залежить від конкретного матеріалу. Для практичного моделювання пристроїв зазвичай використовують наближення за часом релаксації (RTA), згідно з якою розсіювання вважається рушійною силою, що призводить до утворення локальної форми квазірівноваги. \(f^0\) протягом певного проміжку часу \(\tau\)Ця наближена формула зберігає основні фізичні принципи, що стосуються імпульсу та релаксації енергії, водночас забезпечуючи можливість розв’язання рівнянь.

За допомогою цього наближення напівкласичне рівняння Больцмана для опису транспортних явищ можна записати так:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Три члени лівої частини мають чітке фізичне значення: перший описує явну зміну розподілу в часі, другий – транспорт у реальному просторі зі швидкістю переносника \(\mathbf{v}\), а третій – прискорення в імпульсному просторі під дією прикладеної сили \(\mathbf{F}\) (наприклад, \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) в електричному полі). Права частина представляє розсіювання, яке призводить до того, що система наближається до стану \(f^0\).

Теорія дрейфу-дифузії не намагається безпосередньо розв’язати це рівняння. Натомість вона використовує метод обчислення моментів рівняння Больцмана — інтегралів по простору імпульсів — для отримання рівнянь еволюції фізично значущих величин, таких як концентрація носіїв заряду, щільність струму та щільність енергії. Наступні розділи показують, як ця процедура природним чином призводить до добре відомих рівнянь дрейфу-дифузії, а на наступному рівні — до моделей енергетичної рівноваги (моделей «гарячих» носіїв).

3. Обчислення моментів рівняння Больцмана для переносу.

Рівняння Больцмана описує динаміку носіїв заряду за допомогою функції розподілу \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), яка визначає заповненість електронних станів як функцію від положення, імпульсу та часу. У стані рівноваги ця функція зводиться до відомої функції Фермі–Дірака, тоді як під дією зовнішнього поля вона змінюється у відповідь на електричні поля, зміни на межі зон і процеси розсіювання. Щоб отримати рівняння, які були б корисними для опису поведінки пристрою в цілому, ми не намагаємося безпосередньо розв’язувати \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Натомість ми виводимо рівняння еволюції для макроскопічних величин, обчислюючи моменти повного рівняння Больцмана, систематично пов’язуючи мікроскопічну статистику носіїв заряду з моделями дрейфу-дифузії, транспорту енергії та пов’язаними з ними процесами.

Формально, рівняння для моменту отримують шляхом множення повного рівняння Больцмана на ваговий коефіцієнт \(A(\mathbf{k})\) і інтегрування по всьому простору імпульсів:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Кожен вибір функції зважування \(A(\mathbf{k})\) породжує рівняння балансу: рівняння еволюції, яке описує, як макроскопічна величина змінюється та досягає рівноваги. Вибір \(A=1\) дає рівняння балансу частинок, з якого отримують відомі рівняння неперервності для електронів і дірок. Обчислення першого моменту з використанням \(A=\hbar\mathbf{k}\) (або, що еквівалентно, \(m^\ast\mathbf{v}\)) дає рівняння балансу імпульсу, яке описує, як імпульс носіїв заряду реагує на сили та розсіювання; стандартний струм дрейфу-дифузії отримують, беручи граничне значення цієї формули, коли імпульс швидко згасає, а інерційні члени не враховуються. Обчислення наступного моменту з використанням \(A=W(\mathbf{k})\) дає рівняння балансу енергії, яке описує транспорт і релаксацію енергії носіїв заряду та забезпечує мінімальне розширення, необхідне для моделювання гарячих носіїв, теплового збудження та електричного тепловиділення. Таким чином, моделі неперервності, дрейфу-дифузії та транспорту енергії виникають як послідовні рівні наближення в межах єдиної, самоузгодженої системи.

Стандартна модель дрейфу-дифузії зберігає лише рівняння балансу частинок і спрощену залежність, що описує зв’язок між струмом і рівнянням балансу імпульсу. При цьому вона не забезпечує збереження енергії носіїв заряду.

4. Початковий момент: баланс частинок (рівняння нерозривності)

Перший і найважливіший момент рівняння Больцмана отримують, прирівнюючи вагову функцію до одиниці \(A(\mathbf{k}) = 1\). Це відповідає підрахунку носіїв заряду: інтегрування повного рівняння Больцмана за всіма імпульсами дає закон збереження загальної густини носіїв у кожній точці простору. З цієї причини нульовий момент називають рівнянням збереження частинок (або рівнянням неперервності частинок).

4.1 Виведення (нульовий момент / баланс частинок)

Почнімо з форми рівняння Больцмана, що описує час релаксації:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Помножте на \(A(\mathbf{k})=1\) і проінтегруйте по всіх \(\mathbf{k}\):

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Перший член визначає концентрацію носіїв заряду \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] таким чином, щоб \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \].

Другий член рівняння перетворюється на розбіжність у реальному просторі:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

де середня швидкість переносника становить \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \].

Третій член (член, що відповідає силі) зникає за стандартних умов, коли передбачається, що розподіл швидко зменшується зі збільшенням \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\), тому відповідний об’ємний інтеграл по \(\mathbf{k}\)-простору дорівнює нулю:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Після зведення всіх членів, рівняння нульового моменту набуває вигляду:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

Права частина відображає процеси, які створюють або усувають вільні носії заряду, якщо розглядати їх на рівні дрейфу та дифузії: генерація, рекомбінація та (у матеріалах із пастками) обмін із пастковими станами. Тому ми записуємо це у стислому вигляді як \(G - R\) (при цьому захоплення/випромінювання в пастках враховуються в ефективному члені \(R\) або явно вказуються в моделі пасткування).

4.2 Рівняння нерозривності у формі, що описує дрейф і дифузію

Вводячи поняття щільності електронного струму \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \], рівняння балансу частинок набуває вигляду добре відомого рівняння неперервності для електронів:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

Відповідне рівняння неперервності отворів має такий вигляд:

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Перший момент: баланс імпульсу → дрейфовий–дифузійний струм.

Рівняння струму, що описує дрейф і дифузію, отримують на основі першого моменту рівняння Больцмана для переносу. Цей момент відповідає балансу імпульсів і описує, як імпульс носіїв заряду зумовлюється такими силами, як електричні поля та градієнти на межі зон, і зменшується внаслідок розсіювання. Замість розв’язування повного рівняння балансу імпульсів, стандартний підхід до опису дрейфу та дифузії передбачає вираження швидкості носіїв заряду безпосередньо через локальні рушійні сили, без збереження явно вираженого рівняння для еволюції імпульсу або енергії. Таке наближення є доречним у випадках, коли не потрібні ефекти переносу імпульсу та енергії вищих порядків.

5.1 З моменту виникнення базового транзиторного ефекту до появи дрейфово-дифузійного струму.

Ми починаємо з рівняння Больцмана для переносу, використовуючи наближення часу релаксації, яке можна записати у вигляді часу релаксації імпульсу \(\tau_p\):

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Щоб отримати рівняння, що описує збереження імпульсу, помножте все рівняння на вагу, яка пов’язана з імпульсом \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (або, що еквівалентно, на \(\hbar\mathbf{k}\) для параболічної зони), і проінтегруйте отриманий вираз за простором імпульсів:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Визначення величини швидкості, сили струму та тиску.

Інтеграли першого порядку вводять величини, які фігурують у рівняннях переносу, що описують характеристики пристрою. Ми починаємо з визначення концентрації носіїв заряду та середньої швидкості носіїв заряду як

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Швидкість \(\mathbf{u}\), визначена вище, є середньою (або усередненою) швидкістю носія. Вона відображає сумарний дрейф популяції носіїв у певній точці простору. Окремі носії зазвичай рухаються значно швидше, ніж \(\mathbf{u}\), здійснюючи випадковий тепловий рух, який накладається на цей повільний колективний дрейф. Отже, середня швидкість не є типовою швидкістю носія, а є невеликою залишковою швидкістю, яка залишається після усереднення всіх мікроскопічних рухів.

Ця відмінність має вирішальне значення. Випадковий тепловий рух не сприяє виникненню електричного струму, оскільки в середньому він дорівнює нулю, тоді як середня швидкість направленого руху \(\mathbf{u}\) відображає дисбаланс у русі носіїв заряду, спричинений електричними полями, градієнтами концентрації та градієнтами температури. Саме ця середня швидкість визначає макроскопічну гулину струму.

Виходячи з цих визначень, потік частинок становить \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), а щільність електронного струму —

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Підстановка цих визначень у вихідне рівняння першого порядку дає змогу переписати інтеграли в просторі імпульсів, виражаючи їх повністю через \(n\), \(\mathbf{u}\) та моменти швидкості вищих порядків. Зокрема, член, що описує зіткнення, спрощується, оскільки опорний розподіл \(f^0\) представляє локальний стан рівноваги з нульовою середньою швидкістю зсуву, тому що

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

У результаті, член, що описує зіткнення, вносить лише внесок у розслаблення імпульсу, який пропорційний середній швидкості \(\mathbf{u}\).

Решта просторово-транспортного члена в рівнянні першого порядку містить інтеграли вигляду \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), які представляють потік імпульсу в просторі. Щоб чітко визначити фізичний зміст цього члена, ми розкладаємо швидкість переносника на середню складову та складову, що характеризує коливання:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Підставивши це розкладання у друге рівняння для моменту швидкості та використовуючи \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\), ми розділяємо потік імпульсу на конвективну складову та складову, що описує коливання. Складова, що описує коливання, ідентифікується як тензор тиску (або напружень).

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

З фізичної точки зору, \(\mathbf{P}\) відображає перенесення імпульсу, пов’язаного з коливаннями швидкості навколо середньої швидкості зносу. Його дивергенція призводить до виникнення членів, що описують дифузію та тепловий вплив, у спрощених рівняннях переносу.

Узагальнивши всі внески, рівняння першого порядку тепер можна записати так:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Це рівняння є загальним рівнянням балансу імпульсу, отриманим безпосередньо з першого моменту рівняння Больцмана для переносу. Наразі жодних припущень щодо дрейфу та дифузії не зроблено; їх буде введено на наступному етапі, коли рівняння балансу імпульсу буде зведено до рівняння локального балансу сил.

5.3 Зведення рівняння імпульсного балансу до рівняння силового балансу.

У моделюванні за допомогою рівнянь дрейфу та дифузії нас не цікавить детальне відстеження зміни імпульсу з часом або його просторового переміщення. Натомість ми припускаємо, що імпульс носіїв локально пристосовується до прикладених сил, тому будь-які тимчасові або нелокальні ефекти, пов’язані з перенесенням імпульсу, можна не враховувати. За такого припущення рівняння балансу імпульсу спрощується шляхом виключення явних членів, що описують перенесення імпульсу та інерцію, при цьому зберігаються члени, що описують силу та релаксацію.

За такого наближення рівняння балансу імпульсів спрощується до:

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

У такому вигляді рівняння слід розуміти як локальний баланс сил: сили, що зумовлюють рух носіїв заряду, компенсуються втратою імпульсу внаслідок розсіювання.

Решта членів \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) відображає те, як імпульс перерозподіляється внаслідок випадкового руху носіїв заряду. Сам тензор \(\mathbf{P}\) містить інформацію про взаємозв’язки між компонентами швидкості, і в загальному випадку дозволяє анізотропний перенос імпульсу. У багатьох напівпровідникових пристроях розподіл носіїв заряду є майже ізотропним у просторі швидкостей. У цьому випадку немає жодного переважного напрямку для коливань швидкості, і тензор тиску зводиться до скалярного тиску, що множиться на одиничний тензор:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

З фізичної точки зору, це означає, що випадковий тепловий рух однаково впливає на всі напрямки. Коли це рівняння підставляється в рівняння балансу імпульсу, розбіжність тензора тиску спрощується до градієнта скалярного тиску:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Цей член рівняння є джерелом дифузії та теплового збурення в рівняннях дрейфу та дифузії. У наступному розділі це рівняння балансу сил розв’язується для середньої швидкості носіїв заряду \(\mathbf{u}\), що безпосередньо призводить до отримання значення струму дрейфу та дифузії.

5.4 Від балансу сил до дифузійно-дрейфового струму

Тепер ми повертаємося до розгляду спрощеного рівняння локального імпульсного балансу, отриманого в попередньому розділі. Для електронів зручно виражати рушійну силу через енергію краю зони провідності \(E_c(\mathbf{r})\), яка враховує як електростатичний потенціал, так і зміщення, пов’язані з матеріалом. Отже, ми записуємо силу, що діє на електрони, як:

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

де \(E_c(\mathbf{r})\) може бути записано (з посиланням) як \(E_c = \chi - q\phi\), щоб просторові зміни або електронної спорідненості, або електростатичного потенціалу природним чином сприяли руху носіїв заряду. Підставивши це в спрощене рівняння балансу імпульсів, отримаємо:

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Це рівняння виражає локальний баланс між рушійною силою на межі зони, транспортом, зумовленим тиском, і втратою імпульсу внаслідок розсіювання. Розв’язуючи це рівняння для середньої швидкості носіїв заряду, отримуємо:

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Використовуючи визначення густини струму електронів \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), ми отримуємо:

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Представляємо мобільний пристрій \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), і ось що він дає:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

На даному етапі струм виражається через градієнт тиску \(\nabla p\), і поки що не зроблено жодних припущень щодо статистичних характеристик носіїв заряду. Для подальшої роботи ми виражаємо тиск і щільність як моменти основної функції розподілу.

Концентрацію та тиск носіїв заряду можна записати у вигляді:

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

де \(g(E)\) — густина станів, а \(f(E)\) — розподіл Фермі — Дірака. Для параболічної зони ці інтеграли зводяться до стандартних інтегралів Фермі — Дірака.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

за умови зменшеного хімічного потенціалу \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\) і \(F_j(\eta)\) – повний інтеграл Фермі–Дірака порядку \(j\).

Обчислення градієнта тиску дає

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Якщо підставити цей вираз у поточне рівняння, то стане зрозуміло, що дифузія та тепловий градієнт визначаються узагальненим рівнянням Ейнштейна.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Це рівняння точно описує параболічну зону і залишається справедливим у межах від незмінної до сильно виродженої області. У незмінній області (\(\eta \ll -1\), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)) узагальнене рівняння Ейнштейна зводиться до звичного вигляду.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

Перший член відображає дрейф, зумовлений просторовими варіаціями краю зони провідності, включно з електростатичними полями та зміщеннями енергетичних рівнів на межі гетеропереходу. Другий член, що включає градієнт тиску, є причиною дифузії та теплового дрейфу.

У незмінному випадку тиск носія становить \(p = n k_B T\), тому що

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Підставивши цей вираз у поточне рівняння, отримаємо:

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Використовуючи рівняння Ейнштейна для недегенерованих носіїв заряду \(D_n = \mu_n k_B T / q\), можна записати вираз для струму у звичній формі, що описує дрейф і дифузію, з урахуванням теплового градієнта:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}}. \]

У гетероструктурах ефективна щільність станів \(N_c(\mathbf{r},T)\) може просторово змінюватися через зміни параметрів зонної структури, таких як ефективна маса. Подальше самоузгоджене зменшення призводить до появи додаткового члена, що визначається властивостями матеріалу і пропорційний \(\nabla\ln N_c\).

Враховуючи цей внесок, дифузійно-дрейфовий струм, який використовується в симуляторах пристроїв, можна записати у вигляді:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{band-edge drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / effective-mass driving}}. \]

У такому вигляді всі рушійні механізми природним чином випливають з однієї й тієї ж концепції балансу імпульсів. Електростатичні поля, різниця енергетичних рівнів на гетеропереходах, температурні градієнти та просторові зміни матеріальних параметрів – усі ці фактори відіграють однаково важливу роль.

Повністю аналогічний підхід можна застосувати до дірок. Повторюючи ті самі кроки, використовуючи край валентної зони \(E_v(\mathbf{r})\) і статистику дірок, отримуємо щільність струму, що створюється дірками.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{band-edge drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{thermal driving}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / effective-mass driving}}, \]

де \(N_v(\mathbf{r},T)\) – ефективна густина електронних станів валентної зони. Протилежні знаки членів, що описують дифузію та термічну рушійну силу, відображають позитивний заряд дірок.

• Тепловий рух (термодифузія/ефект, подібний до ефекту Зеєбека): просторові зміни температури носіїв заряду змінюють локальний стан квазірівноваги та створюють загальний потік носіїв, пропорційний \(\nabla T\), навіть за відсутності електричного поля.
• Управління за допомогою щільності станів/ефективної маси: у гетероструктурах або матеріалах зі змінними просторовими характеристиками градієнти параметрів зонної структури (наприклад, ефективної маси) призводять до градієнтів \(N_c\) і \(N_v\). Ці параметри мають вирішальне значення на межах між матеріалами та забезпечують узгодженість транспорту носіїв із базовою статистикою та зонною структурою.

7. Транспорт енергії / розширення зони гарячих носіїв заряду

У розробленій раніше моделі дрейфу-дифузії транспорт носіїв заряду описується за допомогою рівняння неперервності частинок і рівняння балансу імпульсів, яке зводиться до алгебраїчного закону струму. Вважається, що енергія носіїв швидко розсіюється в кристалічній решітці, тому для неї не розв’язується жодне окреме рівняння.

Коли від цієї умови відмовляються, наступне рівняння в ієрархії моментів Больцмана необхідно зберегти: рівняння енергетичного балансу. Це рівняння визначає, як носії заряду отримують енергію від електричних полів і градієнтів на межі зон, як вони передають цю енергію через пристрій і як втрачають її в кристалічній решітці.

7.1 Другий момент рівняння Больцмана

Енергетичний баланс отримують шляхом множення рівняння Больцмана на енергію однієї частинки \(W(\mathbf{k})\) та інтегрування за простором імпульсів. Для електронів енергію стану можна записати у вигляді:

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

де \(E_c(\mathbf{r})\) – це межа зони провідності, а \(\varepsilon(\mathbf{k})\) – кінетична енергія відносно межі зони (для параболічної зони, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Визначимо середню енергію носія на одну частинку як

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

відповідна щільність енергії становить \(n\bar W\). Ця величина відіграє ту саму роль для енергії, яку \(n\) відіграє для кількості частинок.

7.2 Енергетичний потік і його зв’язок зі струмами, що виникають унаслідок дрейфу та дифузії.

Просторово-транспортний член у другому моменті містить інтеграли вигляду \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), що зумовлює визначення енергетичного потоку.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Ця величина безпосередньо відповідає потоку частинок \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), а отже, і щільності струму \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). Таким чином, перенесення енергії природним чином пов’язане з перенесенням носіїв заряду.

7.3 Робота, виконана електричним полем і градієнтами на межі зон.

Член, що описує силу, в рівнянні Больцмана вносить певний внесок у другий момент. Застосовуючи інтегрування по частинах у просторі імпульсів і тотожність \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), отримуємо:

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Записуючи силу, що діє на електрони, як \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), цей член виразу набуває вигляду:

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Це електричні процеси, що відбуваються в основній масі носіїв заряду. У особливому випадку, коли \(E_c=-q\phi\), це зводиться до добре відомого члена, що описує нагрівання Джоуля \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Рівняння енергетичного балансу та його зв’язок із процесами дрейфу та дифузії

Узагальнюючи всі внески, рівняння другого порядку можна записати так:

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Це рівняння безпосередньо пов’язане з моделлю дрейфу-дифузії через щільність струму \(\mathbf{J}_n\). Не потрібні додаткові спеціальні члени, що описують нагрівання: розсіювання електричної енергії природним чином виникає внаслідок того самого впливу на крайову зону енергетичних зон, який проявляється в законі струму.

7.5 Зв’язок зі стандартною моделлю дрейфу та дифузії

Щоб зрозуміти, як це пов’язано зі звичними моделями дрейфу–дифузії, розглянемо випадок, коли система перебуває в стані, близькому до рівноваги, і коли дегенерація відсутня. Кінетичний внесок у середню енергію становить:

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

щоб

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

У стаціонарному режимі дрейфу-дифузії зі швидкою релаксацією енергії, для \(T_e \approx T_L\) і \(\bar W \approx \bar W_0\), похідна за часом \(\partial_t(n\bar W)\) дорівнює нулю, і рівняння енергії зводиться до балансу між електричним нагріванням і втратою енергії кристалічною решіткою.

Збереження рівняння енергетичного балансу усуває це обмеження. Температура носія \(T_e\) стає динамічною змінною, що дає змогу моделі враховувати нагрівання поля, надмірну швидкість і нерівноважний транспорт, зберігаючи при цьому повну сумісність із раніше розробленою структурою, що базується на принципах дрейфу та дифузії.

Узагальнюючи все вищесказане, рівняння енергетичного балансу, яке реалізовано в обчислювальному алгоритмі, що базується на моделях дрейфу та дифузії, можна записати в такому вигляді:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

Тут \(T_e\) – температура носіїв заряду (електронів), \(T_L\) – температура кристалічної решітки, \(\kappa\) – теплопровідність носіїв заряду, а \(\tau_W\) – час релаксації енергії. Це рівняння розв’язується самоузгоджено разом із рівнянням Пуассона, рівняннями неперервності для носіїв заряду та співвідношеннями для струму, що виникає внаслідок дрейфу та дифузії.

8. Остаточна модель, що враховує взаємодію компонентів, була розв’язана в OghmaNano.

OghmaNano розв’язує систему пов’язаних часткових диференціальних рівнянь. Точний набір рівнянь залежить від обраної фізичної моделі (лише модель дрейфу-дифузії або модель дрейфу-дифузії з урахуванням переносу енергії). У таблиці нижче наведено стислий огляд рівнянь і випадків їх застосування.