Виведення рівняння рекомбінації Шоклі — Ріда — Голла
1. Рекомбінація за Шоклі-Рідом-Голлом (SRH) у найпростішій формі.
Шоклі–Рід–Голл (SRH) рекомбінація, у найпростішому вигляді, може бути зрозуміла як двоступеневий процес, зображений на ??. Спочатку носій заряду потрапляє в локалізований дефектний стан у межах забороненої зони, процес (a). Потім носій заряду протилежного знаку рекомбінує з захопленим носієм через той самий дефектний стан, процес (b). Ця проста фізична модель призводить до класичного рівняння SRH-рекомбінації, добре відомого з фізики напівпровідникових приладів:
\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]
Однак, у первісній роботі Шоклі, Ріда та Голла фізична модель була сформульована набагато детальніше. Замість того, щоб розглядати лише захоплення носіїв заряду з подальшою рекомбінацією, теорія визначає чотири конкуруючі швидкості переходу носіїв заряду, пов’язані з процесами захоплення та термічної емісії. Ці переходи підпорядковуються умовам детальної рівноваги при термічній рівновазі, і це показано в ??.
Запропоновано чотири варіанти тарифів:
- \(r_{ec}\): захоплення електрона станом пастки.
- \(r_{ee}\): теплове випромінювання електрона з пасткової зони.
- \(r_{hc}\): захоплення частинки в пастку, перехід у стаціонарний стан.
- \(r_{he}\): теплове випромінювання отвору, що утворюється в стані пастки.
Використовуючи ці чотири коефіцієнти, можна описати заповненість пасткової зони за допомогою рівняння швидкості захоплення носіїв заряду:
\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]
Аналітично розв’язуючи це рівняння за умов стаціонарного стану, Шоклі, Рід і Холл отримали класичне рівняння рекомбінації SRH, наведене вище. Подальший виклад починається з основних припущень моделі SRH і систематично рухається до рівняння рекомбінації в стаціонарному стані. У процесі цього природним чином виникає перехідна або нерівноважна форма рівнянь SRH. Ця нерівноважна форма є основою моделі захоплення, яка реалізована в OghmaNano.
2. Процеси захоплення та випромінювання в стані локалізації.
Модель Шоклі-Ріда-Холла (SRH) описує рекомбінацію за допомогою локалізованих станів пасток у межах забороненої зони напівпровідника. Розглянемо один рівень пастки при енергії \(E_t\), як показано на ??. Ця пастка може обмінюватися носіями заряду як із зоною провідності, так і з валентною зоною шляхом процесів захоплення та термічної емісії.
Електрон у зоні провідності може перейти в пастковий стан. Аналогічно, дірка у валентній зоні також може бути захоплена пасткою. Ці процеси захоплення відповідають переміщенню носіїв заряду з більш високоенергетичного стану в нижчоенергетичний локалізований стан.
На відміну від цього, захоплений носій заряду також може термічно вивільнитися та повернутися до транспортної зони. Для електронної емісії необхідна наявність захопленого електрона, який отримає достатню термічну енергію, щоб перейти з рівня захоплення до краю зони провідності. Аналогічно, емісія дірок відповідає збудженню з рівня захоплення до валентної зони.
Процеси, які вимагають від переносників активного руху вгору по градієнту, є термічно активованими і, отже, відбуваються з ймовірностями, подібними до розподілу Больцмана, пропорційними до
\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]
де \(\Delta E\) – це енергетичний бар’єр, який необхідно подолати. Отже, великі енергетичні бар’єри, які потрібно подолати, експоненційно зменшують теплову емісію. На противагу цьому, захоплення носіїв заряду в енергетичну пастку з нижчим рівнем енергії є енергетично вигідним процесом і не потребує теплової активації. Тому процеси захоплення не містять експоненційного коефіцієнта пригнічення, пов’язаного з подоланням енергетичного бар’єру.
У результаті глибокі пастки, як правило, ефективно захоплюють носії заряду, але вивільняють їх лише повільно. Неглибокі пастки, які розташовані ближче до краю транспортної зони, обмінюються носіями заряду з зонами набагато швидше.
Коефіцієнти захоплення електронів і дірок записуються у вигляді:
\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]
де \(v_{th}\) – теплова швидкість, а \(\sigma_n\) і \(\sigma_p\) – перерізи захоплення електронів і дірок.
Коефіцієнти тепловіддачі записуються у вигляді:
\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]
\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]
3. Інтенсивність використання пасток і показники переходу до методів контролю над популяцією гризунів, що не передбачають використання пасток.
Наведені вище коефіцієнти захоплення та випромінювання описують ймовірності переходу, пов’язані з окремим станом пастки. Однак, фактичні швидкості переходу також залежать від того, чи заповнена пастка, чи ні.
Нехай ймовірність заповнення пастки позначається як \(f\). Оскільки пастка є локалізованим електронним станом, її заповнення підпорядковується статистиці Фермі — Дірака за умови, що носії заряду можуть досягти термічної рівноваги в межах енергетичного розподілу пастки:
\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]
Отже, щільність зайнятих пасток становить
\[ n_t=N_t f, \]
тоді як щільність порожніх пасток становить
\[ N_t(1-f). \]
Захоплення електрона потребує наявності вільної пастки, тому воно прямо пропорційне \(1-f\). Захоплення дірки потребує наявності пастки, яка вже зайнята електроном, тому воно прямо пропорційне \(f\). Ця залежність від заповненості є ключовою статистичною характеристикою моделі SRH.
Отже, чотири основні швидкості переходу, показані в ??, можна записати так:
\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]
\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]
4. Рівняння, що описує тимчасове заповнення пастки.
Тимчасове рівняння SRH отримують, записавши швидкість зміни кількості заповнених пасток. Захоплення електронів заповнює пастку, вивільнення електронів звільняє її, захоплення дірок звільняє її шляхом рекомбінації, а вивільнення дірок заповнює її шляхом видалення валентного електрона. Отже, використовуючи позначення ??,
Далі процес триває шляхом визначення швидкостей рекомбінації, які фігурують у рівняннях неперервності, що описують дрейф і дифузію. Ці члени описують загальну втрату та приріст носіїв заряду між зоною провідності, валентною зоною та пастковими станами в процесах рекомбінації за схемою SRH, які були отримані вище.
Оскільки \(n_t=N_t f\), це еквівалентно наступному:
\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]
Підставивши чотири початкові значення, отримаємо:
\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]
Після ділення на \(N_t\) рівняння, що описує заповненість пастки, набуває такого вигляду:
\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]
Це перехідна форма однорівневої моделі SRH. Її слід використовувати, коли заповнення пастки само по собі є динамічною змінною стану, наприклад, у перехідних розрахунках, при повільному захопленні носіїв заряду, заповненні пастки або в нерівноважних розрахунках, де захоплений заряд впливає на рівняння Пуассона.
Відповідні члени, що описують перехідні процеси рекомбінації, мають такий вигляд:
\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]
\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]
У відхиленні від сталого стану значення \(R_n\) і \(R_p\) не обов’язково мають бути рівними. Їхня різниця змінює щільність захопленого заряду. У сталого стані рівень заповнення пасток є постійним, і дві сумарні швидкості стають рівними.
Зв’язок із рівняннями дрейфу-дифузії; отримані вище сумарні коефіцієнти рекомбінації \(R_n\) і \(R_p\) безпосередньо підставляються в рівняння неперервності для дрейфу-дифузії електронів і дірок. Див. також: Рівняння неперервності для дрейфу-дифузії.
Подивіться, як працюють перехідні рівняння SRH: щоб побачити, як ці рівняння, що описують уловлювання носіїв заряду, розв’язуються для розподілених станів уловлювання в невпорядкованому напівпровідниковому пристрої, зверніться до: Моделювання розподілених станів уловлювання в невпорядкованих напівпровідниках.
5. Стаціонарна заповнюваність пастки.
Решта цього виведення присвячена отриманню аналітичного стаціонарного розв’язку для нестійких рівнянь швидкості SRH, отриманих вище. Припускаючи, що заповненість пасток більше не змінюється з часом, можна аналітично спростити взаємопов’язані процеси захоплення та випромінювання, щоб отримати класичне рівняння рекомбінації Шоклі-Ріда-Холла, яке широко використовується в фізиці напівпровідникових приладів і в моделюванні дрейф-дифузії. Щоб отримати класичне рівняння рекомбінації SRH, ми тепер припускаємо стаціонарну заповненість пасток:
\[ \frac{df}{dt}=0. \]
Отже, рівняння для розрахунку швидкості перехідного процесу дає наступне:
\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]
Ця рівність означає, що чиста швидкість захоплення електронів дорівнює чистій швидкості захоплення дірок. Іншими словами, у стабільному стані пастка не накопичує заряд; вона лише сприяє циклу рекомбінації, показаному на ??.
Коефіцієнти теплового випромінювання можна переписати, використовуючи рівноважні опорні значення концентрації носіїв заряду \(n_1\) і \(p_1\):
\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]
де
\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]
Величини \(n_1\) і \(p_1\) є рівноважними опорними значеннями концентрації носіїв заряду, пов’язаними з енергією пастки. З фізичної точки зору, вони відображають теплові бар’єри активації, які контролюють випромінювання електронів і дірок із стану пастки.
Підставивши значення \(e_n=c_n n_1\) і \(e_p=c_p p_1\) у рівняння стаціонарної пастки, отримаємо:
\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]
Згрупувавши члени, пропорційні величинам \(1-f\) і \(f\),
\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]
Розв’язуючи рівняння для визначення частки зайнятих пасток, отримуємо:
\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
Об’єм порожньої секції пастки становить:
\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
6. Виведення класичного рівняння стаціонарного стану SRH.
Стаціонарну швидкість рекомбінації за механізмом SRH можна визначити, використовуючи або рівняння балансу електронів, або рівняння балансу дірок:
\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]
Використовуючи електронні ваги,
\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]
Підставивши стаціонарні значення \(f\) і \(1-f\),
\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]
Умови \(c_n n n_1\) скасовуються, залишаючи
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
Для напівпровідника, який перебуває в термічній рівновазі,
\[ n_1p_1=n_i^2. \]
Таким чином, класична стаціонарна швидкість рекомбінації за Шоклі-Рідом-Голлом набуває вигляду:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]
Насамкінець, визначимо термін служби компонентів системи SRH як
\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]
отримуємо стандартну форму, яка використовується в підручниках:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]
Це остаточне рівняння є компактною формою стаціонарного граничного значення рівняння швидкості, наведеного вище. Воно містить ті самі фізичні принципи захоплення та вивільнення, які ілюструються в ??, але з аналітичним усуненням залежності від заповненості пастки.
7. Історична довідка
Представлена тут модель рекомбінації, опосередкованої пастками, базується на статистичному підході, запропонованому В. Шоклі та В. Т. Рідом-молодшим у їхній статті 1952 року про рекомбінацію дірок і електронів у напівпровідниках. Виклад на цій сторінці не є відтворенням оригінального тексту; це сучасний варіант моделювання пристроїв, написаний із використанням позначень швидкостей, які використовуються в інших розділах цього посібника.
Подивіться, як працюють перехідні рівняння SRH: щоб побачити, як ці рівняння, що описують уловлювання носіїв заряду, розв’язуються для розподілених станів уловлювання в невпорядкованому напівпровідниковому пристрої, зверніться до: Моделювання розподілених станів уловлювання в невпорядкованих напівпровідниках.
Посилання: В. Шоклі та В. Т. Рід-молодший, «Статистика рекомбінацій дірок та електронів», Physical Review, том 87, № 5, стор. 835–842, 1952.