Рівняння дрейфу та дифузії для опису перенесення заряду в напівпровідниках

2. Транспорт носіїв заряду

Рівняння переносу-дифузії описують перенесення заряду в напівпровідниках шляхом поєднання дрейфу в електричних полях із дифузією, зумовленою градієнтами концентрації носіїв заряду. Ці рівняння визначають щільності струму електронів і дірок і, разом із рівняннями неперервності, становлять основу для моделювання напівпровідникових пристроїв. Детальний вивід на основі перших принципів із використанням рівняння Больцмана для переносу наведено в Теорія переносу-дифузії: від рівняння Больцмана для переносу до рівняння балансу енергії.

Для електронів густина струму визначається наступним чином:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

і для отворів:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

Тут \(q\) – елементарний заряд, \(n_f\) і \(p_f\) – концентрації вільних електронів і дірок, \(\mu_e\) і \(\mu_h\) – рухливості носіїв заряду, а \(D_n\) і \(D_p\) – коефіцієнти дифузії. Величини \(E_c\) і \(E_v\) позначають локальні енергії на межі зони провідності та валентної зони. Запис струму через градієнти на межі зон, а не через електричне поле, забезпечує правильну обробку гетеропереходів і відхилень у властивостях матеріалів; детальнішу інформацію див. у розділі 5 виведення рівнянь дрейфу та дифузії.

Останній доданок у кожному виразі представляє собою тепловий рух (термодифузія), яка природно виникає, коли баланс імпульсу зменшується узгодженим чином. Цей член часто опускають у спрощених моделях, але він стає важливим у пристроях із великим температурним градієнтом або нагріванням носіїв заряду. Його походження обговорюється в [далі]. розширення мережі для передачі енергії .

Закон збереження заряду забезпечується рівняннями неперервності носіїв заряду. Для електронів:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

і для отворів:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

Ці рівняння неперервності отримують шляхом обчислення нульового моменту рівняння Больцмана для переносу, як показано в розділ 4, де наведено виведення. Члени \(R\) і \(G\) позначають рекомбінацію та генерацію, тоді як похідні за часом описують тимчасове накопичення та вивільнення заряду.

У сукупності, залежності між дрейфовим і дифузійним струмами та рівняння неперервності становлять основу моделювання напівпровідникових пристроїв. У рамках OghmaNano ці рівняння можна розв’язувати самоузгоджено з рівнянням Пуассона в одномірному, двомірному або повному тривимірному просторі, і за потреби їх можна розширити, щоб враховувати перенесення енергії (ефекти гарячих носіїв заряду) та нерівноважну динаміку пасток.