Статистика вільних носіїв заряду в моделях переносу–дифузії

3. Статистика вільних носіїв заряду

Статистичні характеристики вільних носіїв заряду визначають взаємозв’язок між квазірівнями Фермі та концентраціями носіїв. Для заданого електростатичного потенціалу та квазірівня Фермі вони визначають локальні концентрації електронів і дірок \(n\) і \(p\). У OghmaNano цей зв’язок можна описати, використовуючи або класичне наближення Максвелла–Больцмана (MB), або повну формальну теорію Фермі–Дірака (FD), залежно від ступеня виродження та форми функції густини станів (DOS).

Наближення МБ є справедливим, коли квазірівні Фермі розташовані на відстані кількох \(kT\) від країв зони, при цьому ймовірності заповнення є невеликими, і ефекти виключення Паулі можна не враховувати. За таких умов концентрації носіїв заряду експоненційно пов’язані з квазірівнями Фермі:

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

де \(N_c\) і \(N_v\) – ефективні щільності станів у зоні провідності та валентній зоні, \(F_n\) і \(F_p\) – квазірівні Фермі для електронів і дірок, а \(E_c\) і \(E_v\) визначають локальні межі зон. У цій формулі неявно передбачається параболічна зонна структура та термалізована популяція носіїв заряду.

Коли концентрація носіїв заряду стає достатньо високою, щоб квазірівень Фермі наближався до зони провідності або потрапляв у неї, або коли щільність станів відхиляється від простої параболічної форми, наближення Максвелла-Больцмана перестає бути дійсним, і необхідно використовувати повну формальну теорію Фермі-Дірака. У цьому випадку концентрацію носіїв заряду визначають шляхом інтегрування щільності станів із використанням функції Фермі-Дірака:

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

де розподіл Фермі–Дірака визначається наступним чином:

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

а \(\rho(E)\) – це густина станів. Для тривимірної параболічної зони провідності густина станів має такий вигляд:

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

де \(m^*\) — ефективна маса носія заряду, а \(\hbar\) — зведена стала Планка. У практичних моделюваннях пристроїв замість \(\rho(E)\) можна явно вказати інші параметри, щоб врахувати експоненційні спади, гауссівські відхилення або інші непараболічні характеристики, притаманні аморфним або органічним системам.

Статистичний опис також визначає середню енергію носіїв заряду, яка використовується в моделях розсіювання та рекомбінації. Ця величина обчислюється як

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

У незмінній межі MB із параболічною щільністю станів, цей вираз спрощується до \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\), що відображає рівномірний розподіл енергії. Однак, у системах з енергетичною невпорядкованістю або сильною виродженістю, розподіл носіїв заряду спотворюється, і середня енергія відхиляється від цього класичного значення, що безпосередньо впливає на кінетику рекомбінації та транспортні коефіцієнти.