Рівняння Пуассона та електростатика в моделях дрейф-дифузії

Електростатика є ключовим компонентом моделі дрейф-дифузії, що визначає, як електричний потенціал, щільність заряду та енергетичні рівні змінюються в межах пристрою. Електростатичний потенціал контролює викривлення зон, розподіл носіїв заряду та, зрештою, процеси рекомбінації та транспорту.

1. Визначення

Діаграма енергетичних зон, зображена на ??, ілюструє, як змінюються межі зони провідності та валентної зони в межах пристрою. Червона лінія відповідає межі зони провідності \(E_C\), а синя лінія – межі валентної зони \(E_V\). Відстань між ними визначає ширину забороненої зони \(E_g\).

Щоб визначити абсолютну енергетичну шкалу, ми вводимо поняття спорідненості електронів \(\chi\), яке визначає різницю енергій між рівнем вакууму та краєм зони провідності за відсутності електростатичного потенціалу. Це забезпечує залежну від матеріалу опорну точку для характеристики зонної структури.

За наявності електростатичного потенціалу \(\phi(x)\) (спричиненого зарядом), межа зони провідності зміщується на величину електростатичної енергії \(-q\phi(x)\), таким чином, що

\[E_{\mathrm{C}}(x) = -\chi - q\phi(x)\]

Потім межа валентної зони визначається шляхом віднімання ширини забороненої зони \(E_g\).

\[E_{\mathrm{V}}(x) = -\chi - E_g - q\phi(x)\]

Просторова варіація \(E_C(x)\) і \(E_V(x)\), показана на ??, зумовлена залежністю електростатичного потенціалу \(\phi(x)\) від положення (за відсутності гетеропереходів). Цей потенціал отримують самоузгодженим способом шляхом розв’язання рівняння Пуассона для всієї структури, і він безпосередньо визначає викривлення зон, яке регулює транспорт і рекомбінацію носіїв заряду.

2. Обчислення електростатичного потенціалу на основі заряду.

У фізиці напівпровідникових приладів електростатичний потенціал обчислюється за допомогою рівняння Пуассона, яке встановлює зв’язок між дивергенцією електричного поля та локальною щільністю заряду:

\[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \]

де \(n_f\) і \(p_f\) – концентрації вільних електронів і дірок, а \(n_t\) і \(p_t\) – відповідні концентрації захоплених носіїв заряду. Член \(N_{ad}\) позначає концентрацію іонізованих домішок, \(N_{ion}\) враховує фоновий іонний заряд (наприклад, фіксовані іони в шарах перовськіту), а \(a\) позначає рухливі іони, які можуть переміщуватися під дією локального поля. Діелектричні проникності \(\epsilon_0\) і \(\epsilon_r\) визначають інтенсивність електростатичної реакції.

Ця формула охоплює всі важливі складові, що впливають на об’ємний заряд: вільні та захоплені носії заряду, навмисне легування, а також як статичні, так і рухливі іонні види. Це особливо важливо для гібридних матеріалів, таких як органічні сполуки та галогенперовськити, де рух іонів і стани пасток значною мірою впливають на електростатичний потенціал і спричиняють такі явища, як гістерезис і повільні перехідні процеси.