Wyprowadzenie równania rekombinacji Shockleya-Reada-Halla

1. Rekombinacja Shockleya-Reada-Halla (SRH) w najprostszej formie.

Rekombinacja Shockleya-Reada-Halla (SRH), w najprostszej formie, może być rozumiana jako proces składający się z dwóch etapów, przedstawionych w... ??Najpierw nośnik ładunku zostaje uwięziony w zlokalizowanym stanie defektu wewnątrz przerwy energetycznej, co stanowi proces (a). Następnie nośnik ładunku o przeciwnym znaku rekombinuje z uwięzionym nośnikiem poprzez ten sam stan pułapkowy, co stanowi proces (b). Ten prosty model fizyczny prowadzi do klasycznego równania rekombinacji SRH, znanego z fizyki urządzeń półprzewodnikowych:

\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]

Jednak w pierwotnej pracy Shockleya, Reada i Halla, fizyczny model został sformułowany w znacznie bardziej szczegółowy sposób. Zamiast rozważać jedynie proces wychwytywania nośników ładunku, a następnie rekombinacji, teoria definiuje cztery konkurujące ze sobą szybkości przejścia nośników ładunku, związane z procesami wychwytywania i emisji termicznej. Przejścia te podlegają zasadom równowagi szczegółowej w stanie równowagi termicznej, co przedstawiono w ??.

Cztery stawki to:

• \(r_{ec}\): wychwyt elektronu w stan pułapki.
• \(r_{ee}\): emisja termiczna elektronu z stanu pułapkowego.
• \(r_{hc}\): przechwycenie elektronu przez pułapkę, co prowadzi do przejścia w stan pułapki.
• \(r_{he}\): emisja termiczna z dziury powstałej w stanie pułapki.

Wykorzystując te cztery współczynniki, można opisać zajętość stanu pułapkowego za pomocą równania opisującego szybkość wychwytywania nośników:

\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Poprzez analityczne rozwiązanie tego równania w warunkach stanu ustalonego, Shockley, Read i Hall wyprowadzili klasyczne równanie rekombinacji SRH, które przedstawiono powyżej. Poniższe wyprowadzenie rozpoczyna się od podstawowych założeń modelu SRH i systematycznie prowadzi do równania rekombinacji w stanie ustalonym. W trakcie tego procesu naturalnie pojawia się przejściowa lub niestabilna forma równań SRH. Ta niestabilna forma stanowi podstawę modelu pułapkowania, który jest implementowany w OghmaNano.

2. Procesy wychwytywania i emisji w stanie pułapkowym.

Model Shockleya-Reada-Halla (SRH) opisuje rekombinację poprzez zlokalizowane stany pułapkowe wewnątrz przerwy energetycznej półprzewodnika. Rozważmy pojedynczy poziom pułapki przy energii \(E_t\), jak to przedstawiono na rysunku ??. Ta pułapka może wymieniać nośniki zarówno z pasmem przewodnictwa, jak i z pasmem walencyjnym, poprzez procesy wychwytywania i emisji termicznej.

Elektron znajdujący się w paśmie przewodnictwa może przejść do stanu pułapki, w którym ulega relaksacji. Podobnie, dziura w paśmie walencyjnym może również zostać „wychwycona” przez pułapkę. Procesy te polegają na przejściu nośników z stanu o wyższej energii do stanu zlokalizowanego o niższej energii.

Z kolei nośnik uwięziony w pułapce może również, dzięki energii termicznej, powrócić do pasma przewodnictwa. Emisja elektronów wymaga, aby uwięziony elektron zyskał wystarczającą energię termiczną, aby przemieścić się z poziomu pułapki w kierunku krawędzi pasma przewodnictwa. Podobnie, emisja dziur odpowiada wzbudzeniu z poziomu pułapki w kierunku pasma walencyjnego.

Procesy, w których nośniki ładunku muszą pokonywać barierę energetyczną, są aktywowane termicznie, dlatego też zachodzą z prawdopodobieństwem zbliżonym do rozkładu Boltzmanna, proporcjonalnym do

\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]

gdzie \(\Delta E\) to bariera energetyczna, którą należy pokonać. Wysokie bariery energetyczne tłumią zatem emisję termiczną w sposób wykładniczy. Z kolei wychwytywanie nośników do stanu o niższej energii jest procesem energetycznie korzystnym i nie wymaga aktywacji termicznej. W związku z tym procesy wychwytywania nie zawierają wykładniczego współczynnika tłumienia związanego z pokonywaniem bariery energetycznej.

W rezultacie głębokie pułapki skutecznie wychwytują nośniki ładunku, ale uwalniają je tylko powoli. Płytkie pułapki, znajdujące się bliżej krawędzi pasma przewodnictwa, wymieniają nośniki ładunku z pasmami znacznie szybciej.

Współczynniki wychwytu elektronów i dziur zapisuje się w następujący sposób:

\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]

gdzie \(v_{th}\) oznacza prędkość termiczną, natomiast \(\sigma_n\) i \(\sigma_p\) oznaczają odpowiednio efektywne przekroje czynne dla wychwytu elektronów i dziur.

Współczynniki emisji termicznej zapisuje się w następujący sposób:

\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]

\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

3. Częstość występowania pułapek oraz wskaźniki zmian w zakresie zdrowia seksualnego i reprodukcyjnego.

Współczynniki wychwytu i emisji, podane powyżej, opisują prawdopodobieństwa przejścia związane z pojedynczym stanem pułapki. Jednak rzeczywiste szybkości przejścia zależą również od tego, czy pułapka jest zajęta, czy pusta.

Niech prawdopodobieństwo zajęcia pułapki będzie oznaczone jako \(f\). Ponieważ pułapka jest zlokalizowanym stanem elektronicznym, jej zajętość podlega statystyce Fermiego-Diraca, przy założeniu, że nośniki ładunku mogą osiągnąć równowagę termiczną w zakresie rozkładu energii pułapki:

\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]

Gęstość zajętych pułapek wynosi zatem

\[ n_t=N_t f, \]

podczas gdy gęstość pustych pułapek wynosi

\[ N_t(1-f). \]

Proces wychwytu elektronów wymaga obecności wolnego stanu pułapki, dlatego jest proporcjonalny do \(1-f\). Wychwyt dziur wymaga, aby pułapka była już zajęta przez elektron, dlatego jest proporcjonalny do \(f\). Ta zależność od stopnia zajętości jest kluczową cechą statystyczną modelu SRH.

Cztery podstawowe współczynniki przejścia, przedstawione w ??, można zatem zapisać w następujący sposób:

\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]

\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]

4. Równanie opisujące zajętość pułapki w procesie przejściowym.

Przejściowe równanie SRH można uzyskać, zapisując szybkość zmian liczby zajętych pułapek. Przechwycenie elektronu powoduje wypełnienie pułapki, uwolnienie elektronu powoduje jej opróżnienie, przechwycenie dziury powoduje jej opróżnienie poprzez rekombinację, a uwolnienie dziury powoduje jej wypełnienie poprzez usunięcie elektronu z pasma walencyjnego. Dlatego, stosując notację z ??,

Następnie oblicza się współczynniki rekombinacji, które występują w równaniach ciągłości opisujących procesy dryfu i dyfuzji. Terminy te określają całkowitą utratę i przyrost nośników między pasmem przewodnictwa, pasmem walencyjnym i stanami pułapkowymi, w oparciu o opisane wcześniej procesy rekombinacji SRH.

Od momentu \(n_t=N_t f\) sytuacja wygląda następująco:

\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Podstawiając wartości czterech podstawowych współczynników, otrzymujemy:

\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]

Dzieląc przez \(N_t\), otrzymujemy następujące równanie opisujące zajętość pułapki:

\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]

Jest to przejściowa wersja jednowarstwowego modelu SRH. Należy jej używać, gdy zajętość pułapki jest sama w sobie dynamiczną zmienną stanu, na przykład w symulacjach przejściowych, w przypadku wolnego wychwytywania ładunku, wypełniania pułapek lub w symulacjach stanu niestałego, w których wychwycony ładunek wpływa na równanie Poissona.

Odpowiadające im przejściowe składniki rekombinacji wynoszą:

\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]

\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]

W stanie nieustalonym wartości \(R_n\) i \(R_p\) nie muszą być równe. Różnica między nimi wpływa na gęstość uwięzionego ładunku. W stanie ustalonym liczba uwięzionych ładunków jest stała, a dwie wypadkowe wartości stają się równe.

5. Stabilna liczba cząstek uwięzionych w pułapce.

Pozostała część tego wyprowadzenia dotyczy uzyskania analitycznego rozwiązania równań SRH w stanie ustalonym, które opisują przejściowe procesy, przedstawione powyżej. Zakładając, że zajętość pułapek nie zmienia się już w czasie, sprzężone procesy wychwytywania i emisji można analitycznie uprościć, uzyskując w ten sposób klasyczne równanie rekombinacji Shockleya-Reada-Halla, które jest powszechnie stosowane w fizyce półprzewodników i modelowaniu dryfu-dyfuzji. Aby uzyskać klasyczne równanie rekombinacji SRH, przyjmujemy teraz założenie o ustalonej zajętości pułapek:

\[ \frac{df}{dt}=0. \]

W związku z tym równanie opisujące szybkość przemijania daje:

\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Oznacza to, że całkowita szybkość wychwytywania elektronów jest równa całkowitej szybkości wychwytywania dziur. Innymi słowy, w stanie ustalonym pułapka nie gromadzi ładunku; jedynie pośredniczy w cyklu rekombinacji przedstawionym na рисунке. ??.

Współczynniki emisji termicznej można zapisać w odniesieniu do równowagowych wartości gęstości nośników ładunku \(n_1\) i \(p_1\):

\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]

gdzie

\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

Wielkości \(n_1\) i \(p_1\) oznaczają referencyjne gęstości nośników w stanie równowagi, związane z energią pułapki. Fizycznie, reprezentują one bariery termicznej aktywacji, które kontrolują emisję elektronów i dziur z stanu pułapki.

Podstawiając wartości \(e_n=c_n n_1\) i \(e_p=c_p p_1\) do równania opisującego stan ustalony, otrzymujemy:

\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]

Sumując wyrazy proporcjonalne do \(1-f\) i \(f\).

\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]

Rozwiązując równanie, aby znaleźć udział zajętych stanowisk, otrzymujemy:

\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Ułamek próby, w której nie znaleziono żadnych obiektów, wynosi:

\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

6. Wyprowadzenie klasycznego równania SRH dla stanu ustalonego

Stałą wartość współczynnika rekombinacji SRH można obliczyć, korzystając z równowagi elektronów lub równowagi dziur:

\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Wykorzystując wagę elektroniczną,

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]

Podstawiając wartości \(f\) i \(1-f\) odpowiadające stanowi stacjonarnemu,

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]

Wyrażenia \(c_n n n_1\) zostają usunięte, pozostawiając

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

W przypadku półprzewodnika znajdującego się w stanie równowagi termicznej,

\[ n_1p_1=n_i^2. \]

W ten sposób klasyczna, ustalona wartość współczynnika rekombinacji Shockleya-Reada-Halla przyjmuje postać:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Na koniec, określamy okresy życia SRH jako:

\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]

otrzymujemy standardową postać zapisaną w podręczniku:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]

To ostateczne wyrażenie stanowi zwartą postać granicznej wartości w stanie ustalonym dla równania szybkości przedstawionego wcześniej. Zawiera ono te same zasady dotyczące wychwytywania i uwalniania cząstek, które zilustrowano w ??, ale z pominięciem analitycznego opisu zajętości pułapki.

7. Odniesienie do wydarzeń historycznych.

Przedstawiony tutaj model rekombinacji pośredniczonej przez pułapki opiera się na metodzie statystycznej, którą wprowadzili W. Shockley i W. T. Read Jr. w ich publikacji z 1952 roku, dotyczącej rekombinacji dziur i elektronów w półprzewodnikach. Wyprowadzenie zamieszczone na tej stronie nie jest wierną reprodukcją oryginalnego tekstu; jest to nowoczesne wyprowadzenie, wykorzystywane w symulacjach urządzeń, i napisane przy użyciu notacji szybkości, stosowanej w innych częściach niniejszego podręcznika.

Źródło: W. Shockley i W. T. Read, Jr., „Statystyka rekombinacji dziur i elektronów”, Physical Review, tom 87, nr 5, strony 835–842, 1952.