Równania dryfu i dyfuzji opisujące transport ładunków w półprzewodnikach

2. Transport nośników ładunku

Równania dryfu i dyfuzji opisują transport ładunków w półprzewodnikach, łącząc dryf pod wpływem pola elektrycznego z dyfuzją spowodowaną gradientem stężenia nośników. Równania te określają gęstości prądu elektronów i dziur, a wraz z równaniami ciągłości stanowią podstawę modelowania urządzeń półprzewodnikowych. Szczegółowe wyprowadzenie, oparte na podstawowych zasadach, z wykorzystaniem równania transportu Boltzmanna, przedstawiono w Teoria dryfu i dyfuzji: od równania transportu Boltzmanna do bilansu energetycznego.

W przypadku elektronów gęstość prądu wyraża się wzorem:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

oraz w przypadku otworów:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

W powyższym równaniu \(q\) oznacza elementarny ładunek, \(n_f\) i \(p_f\) to odpowiednio gęstość swobodnych elektronów i dziur, \(\mu_e\) i \(\mu_h\) to mobilności nośników ładunku, a \(D_n\) i \(D_p\) to współczynniki dyfuzji. Wielkości \(E_c\) i \(E_v\) oznaczają lokalne energie na krawędzi pasma przewodnictwa i pasma walencyjnego. Zapisanie prądu w kategoriach gradientów na krawędzi pasma, a nie pola elektrycznego, zapewnia prawidłowe uwzględnienie heterozłącz i przesunięć materiałowych; szczegółowe informacje znajdują się w sekcji 5 dokumentu wyprowadzenie równań dyfuzji i dryfu.

Ostatni składnik w każdym z równań reprezentuje siłę termiczną (termodiffuzję), która naturalnie pojawia się, gdy równowaga pędu jest redukowana w sposób spójny. Ten składnik jest często pomijany w uproszczonych modelach, ale staje się ważny w urządzeniach, w których występują duże gradienty temperatury lub nagrzewanie nośników. Jego pochodzenie omówiono w rozszerzeniu energy-transport.

Zasada zachowania ładunku jest zapewniana przez równania ciągłości nośników. W przypadku elektronów:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

oraz w przypadku otworów:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

Równania ciągłości otrzymuje się, obliczając zerową chwilę równania transportu Boltzmanna, co jest wyraźnie przedstawione w Sekcja 4 wyprowadzenia. Człony \(R\) i \(G\) oznaczają odpowiednio rekombinację i generację, natomiast pochodne czasowe opisują przejściowe procesy magazynowania i uwalniania ładunku.

Razem, zależności opisujące prąd dryfu i dyfuzji oraz równania ciągłości stanowią podstawę modelowania elementów półprzewodnikowych. W ramach programu OghmaNano równania te można rozwiązywać w sposób spójny z równaniem Poissona w 1D, 2D lub w pełnym 3D, a także rozszerzyć o transport energii (efekty związane z gorącymi nośnikami ładunku) i dynamikę niestabilnych stanów pułapkowych, w zależności od potrzeb.