Εξισώσεις μεταφοράς φορτίου σε ημιαγωγούς μέσω των μοντέλων μετατόπισης-διάχυσης.

2. Μεταφορά φορέων φορτίου

Οι εξισώσεις μεταφοράς με εκτροπή και διάχυση περιγράφουν τη μεταφορά φορτίου στους ημιαγωγούς, συνδυάζοντας την εκτροπή υπό ηλεκτρικά πεδία με τη διάχυση που προκαλείται από κλίσεις συγκέντρωσης φορέων. Αυτές οι εξισώσεις ορίζουν τις πυκνότητες ρεύματος ηλεκτρονίων και οπών και, μαζί με τις εξισώσεις συνέχειας, αποτελούν τη βάση της μοντελοποίησης συσκευών ημιαγωγών. Μια λεπτομερής εξαγωγή από πρώτες αρχές από την εξίσωση μεταφοράς Boltzmann δίνεται στο Θεωρία Εκτροπής-Διάχυσης: Από τη Μεταφορά Boltzmann στην Ισορροπία Ενέργειας.

Για τα ηλεκτρόνια, η πυκνότητα ρεύματος δίνεται από:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

και για τις τρύπες:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

Εδώ, το \(q\) είναι το στοιχειώδες φορτίο, τα \(n_f\) και \(p_f\) είναι οι πυκνότητες των ελεύθερων ηλεκτρονίων και των οπών, τα \(\mu_e\) και \(\mu_h\) είναι οι κινητικότητες των φορέων, και τα \(D_n\) και \(D_p\) είναι οι συντελεστές διάχυσης. Οι ποσότητες \(E_c\) και \(E_v\) υποδηλώνουν τις τοπικές ενέργειες στις άκρες της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους, αντίστοιχα. Η έκφραση του ρεύματος σε σχέση με τις κλίσεις στις άκρες των ζωνών και όχι με το ηλεκτρικό πεδίο διασφαλίζει ότι οι ετεροδιαστατώσεις και οι αποκλίσεις υλικών αντιμετωπίζονται σωστά· δείτε την Ενότητα 5 του παραγωγή της εξίσωσης μεταφοράς-διάχυσης για λεπτομέρειες.

Ο τελευταίος όρος σε κάθε έκφραση αντιπροσωπεύει θερμική οδήγηση (θερμοδιάχυση), η οποία προκύπτει φυσικά όταν η ισορροπία της ορμής μειώνεται με συνεπή τρόπο. Αυτός ο όρος παραλείπεται συχνά σε απλοποιημένα μοντέλα, αλλά γίνεται σημαντικός σε συσκευές με έντονες θερμοκρασιακές κλίσεις ή θέρμανση των φορέων. Η προέλευσή του συζητείται στο επέκταση για τη μεταφορά ενέργειας .

Η διατήρηση του ηλεκτρικού φορτίου εξασφαλίζεται μέσω των εξισώσεων συνέχειας των φορέων. Για τα ηλεκτρόνια:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

και για τις τρύπες:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

Αυτές οι εξισώσεις συνέχειας προκύπτουν λαμβάνοντας τη μηδενική ροπή της εξίσωσης μεταφοράς Boltzmann, όπως φαίνεται ρητά στο Ενότητα 4 της απόδειξης. Οι όροι \(R\) και \(G\) αντιπροσωπεύουν την ανασύνθεση και τη δημιουργία, ενώ οι χρονικές παράγωγοι περιγράφουν τη μεταβατική αποθήκευση και απελευθέρωση φορτίου.

Συνολικά, οι σχέσεις ρεύματος διάχυσης-μεταφοράς και οι εξισώσεις συνέχειας αποτελούν τον πυρήνα της μοντελοποίησης ημιαγωγικών συσκευών. Μέσα στο OghmaNano, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν με αυτοσυνέπεια μαζί με την εξίσωση του Poisson σε 1D, 2D ή πλήρη 3D, και μπορούν να επεκταθούν ώστε να περιλαμβάνουν μεταφορά ενέργειας (εφέ θερμών φορέων) και μη ισορροπημένη δυναμική παγίδων, όταν αυτό είναι απαραίτητο.