Στατιστικά στοιχεία για τους ελεύθερους φορείς φορτίου στα μοντέλα διάχυσης-μεταφοράς

3. Στατιστικά στοιχεία για τους ελεύθερους φορείς φορτίου.

Οι στατιστικές των ελεύθερων φορέων φορτίου ορίζουν τη σχέση μεταξύ των επιπέδων quasi-Fermi και των πυκνοτήτων των φορέων. Για ένα δεδομένο ηλεκτροστατικό δυναμικό και επίπεδο quasi-Fermi, καθορίζουν τις τοπικές συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών \(n\) και \(p\). Στο OghmaNano, αυτή η σχέση μπορεί να περιγραφεί είτε χρησιμοποιώντας την κλασική προσέγγιση Maxwell–Boltzmann (MB) είτε την πλήρη τυπική μορφή Fermi–Dirac (FD), ανάλογα με τον βαθμό εκφυλισμού και τη μορφή της πυκνότητας των καταστάσεων (DOS).

Η προσέγγιση του MB είναι έγκυρη όταν τα επίπεδα ψευδο-Fermi βρίσκονται σε απόσταση αρκετών \(kT\) από τις άκρες της ζώνης, έτσι ώστε οι πιθανότητες πληρότητας να είναι μικρές και οι επιπτώσεις της αρχής αποκλεισμού του Pauli να μπορούν να παραμεληθούν. Υπό αυτή την υπόθεση, οι πυκνότητες φορέων σχετίζονται εκθετικά με τα επίπεδα ψευδο-Fermi:

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

όπου \(N_c\) και \(N_v\) είναι οι αποτελεσματικές πυκνότητες καταστάσεων στη ζώνη αγωγιμότητας και στη ζώνη σθένους, \(F_n\) και \(F_p\) είναι τα ψευδο-επίπεδα Fermi για τα ηλεκτρόνια και τις οπές, και \(E_c\) και \(E_v\) ορίζουν τα τοπικά όρια ζωνών. Αυτή η διατύπωση υποθέτει σιωπηρά μια παραβολική δομή ζωνών και έναν θερμικό πληθυσμό φορέων.

Όταν οι πυκνότητες των φορέων γίνονται αρκετά υψηλές ώστε η ψευδο-επίπεδο Fermi να πλησιάζει ή να εισέρχεται στη ζώνη, ή όταν η πυκνότητα των καταστάσεων αποκλίνει από μια απλή παραβολική μορφή, η προσέγγιση του Maxwell-Boltzmann καταρρέει και πρέπει να χρησιμοποιηθεί η πλήρης τυπική μορφή Fermi-Dirac. Σε αυτή την περίπτωση, οι πυκνότητες των φορέων λαμβάνονται με την ολοκλήρωση της πυκνότητας των καταστάσεων, σταθμισμένης με τη συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac:

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

όπου η κατανομή Fermi-Dirac δίνεται από

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

και το \(\rho(E)\) είναι η πυκνότητα των καταστάσεων. Για μια τρισδιάστατη παραβολική ζώνη, η πυκνότητα των καταστάσεων παίρνει τη μορφή:

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

όπου \(m^*\) είναι η αποτελεσματική μάζα του φορέα και \(\hbar\) είναι η σταθερά του Planck. Στις πρακτικές προσομοιώσεις συσκευών, το \(\rho(E)\) μπορεί να καθοριστεί ρητά για να αποτυπωθούν εκθετικές κατανομές, Γκαουσιανή διαταραχή ή άλλα μη παραβολικά χαρακτηριστικά που είναι τυπικά των άμορφων ή οργανικών συστημάτων.

Η στατιστική περιγραφή καθορίζει επίσης τη μέση κινητική ενέργεια των φορέων, η οποία χρησιμοποιείται στα μοντέλα σκέδασης και ανασύνθεσης. Αυτή η ποσότητα υπολογίζεται ως εξής:

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

Στο μη εκφυλισμένο όριο του μοντέλου Mott με παραβολική κατανομή των καταστάσεων, αυτή η έκφραση απλοποιείται σε \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\), αντανακλώντας την ισοκατανομή της ενέργειας. Ωστόσο, σε συστήματα με ενεργειακή διαταραχή ή ισχυρή εκφύλιση, η κατανομή των φορέων φορτίου παραμορφώνεται και η μέση ενέργεια αποκλίνει από αυτή την κλασική τιμή, επηρεάζοντας άμεσα την κινητική της ανασύνθεσης και τους συντελεστές μεταφοράς.