Statistiques des porteurs de charge libres dans les modèles de dérive-diffusion

3. Statistiques sur les porteurs de charge libres.

Les statistiques des porteurs de charge libres définissent la relation entre les niveaux quasi-Fermi et les densités de porteurs. Pour un potentiel électrostatique et un niveau quasi-Fermi donnés, elles déterminent les concentrations locales d’électrons et de trous \(n\) et \(p\). Dans OghmaNano, cette relation peut être décrite en utilisant soit l’approximation classique de Maxwell-Boltzmann (MB), soit le formalisme complet de Fermi-Dirac (FD), en fonction du degré de dégénérescence et de la forme de la densité d’états (DOS).

L’approximation de Maxwell-Boltzmann est valide lorsque les niveaux quasi-Fermi sont situés à une distance de plusieurs \(kT\) des bords de bande, de sorte que les probabilités d’occupation sont faibles et que les effets d’exclusion de Pauli peuvent être négligés. Sous cette hypothèse, les densités de porteurs sont liées de manière exponentielle aux niveaux quasi-Fermi :

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

où \(N_c\) et \(N_v\) représentent les densités d’états effectives dans les bandes de conduction et de valence, \(F_n\) et \(F_p\) représentent les niveaux quasi-Fermi des électrons et des trous, et \(E_c\) et \(E_v\) définissent les limites locales des bandes. Cette formulation suppose implicitement une structure de bande parabolique et une population de porteurs en équilibre thermique.

Lorsque les densités de porteurs atteignent une valeur suffisamment élevée pour que le niveau quasi-Fermi se rapproche de la bande ou y pénètre, ou lorsque la densité des états s’écarte d’une forme parabolique simple, l’approximation de Maxwell-Boltzmann n’est plus valable et il faut recourir à la formalisation complète de Fermi-Dirac. Dans ce cas, les densités de porteurs sont obtenues en intégrant la densité des états, pondérée par la fonction d’occupation de Fermi-Dirac :

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

où la distribution de Fermi-Dirac est définie par :

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

et \(\rho(E)\) représente la densité d’états. Pour une bande parabolique tridimensionnelle, la densité d’états prend la forme suivante :

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

où \(m^*\) représente la masse effective des porteurs et \(\hbar\) est la constante de Planck réduite. Dans les simulations pratiques de dispositifs, \(\rho(E)\) peut être spécifié explicitement afin de prendre en compte les décroissances exponentielles, les fluctuations gaussiennes ou d’autres caractéristiques non paraboliques typiques des systèmes amorphes ou organiques.

La description statistique permet également de déterminer l’énergie moyenne des porteurs de charge, qui est utilisée dans les modèles de diffusion et de recombinaison. Cette valeur est obtenue comme suit :

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

Dans la limite non dégénérée de la théorie de Matthieu, avec une densité d’états parabolique, cette expression se réduit à \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\), ce qui reflète une répartition équipartitionnelle de l’énergie. Cependant, dans les systèmes présentant un désordre énergétique ou une forte dégénérescence, la distribution des porteurs est déformée, et l’énergie moyenne s’écarte de cette valeur classique, ce qui a un impact direct sur la cinétique de recombinaison et les coefficients de transport.