L’équation de Poisson et l’électrostatique dans les modèles de diffusion-dérive

L’électrostatique est un élément essentiel de la modélisation par dérive-diffusion, car elle détermine la variation du potentiel électrique, de la densité de charge et des niveaux d’énergie au sein d’un dispositif. Le potentiel électrostatique contrôle la courbure des bandes d’énergie, la distribution des porteurs et, en fin de compte, les processus de recombinaison et de transport.

1. Définition

Le diagramme des bandes d’énergie présenté dans ?? illustre la manière dont les limites des bandes de conduction et de valence varient au sein d’un dispositif. La ligne rouge correspond à la limite de la bande de conduction \(E_C\), tandis que la ligne bleue correspond à la limite de la bande de valence \(E_V\). La distance qui les sépare définit la largeur de la bande interdite \(E_g\).

Afin de définir l’échelle absolue de l’énergie, nous introduisons l’affinité électronique \(\chi\), qui détermine la différence d’énergie entre le niveau du vide et le bord de la bande de conduction en l’absence de potentiel électrostatique. Cela fournit une référence spécifique à chaque matériau pour la structure de bande.

En présence d’un potentiel électrostatique \(\phi(x)\) (dû à une charge), le bord de la bande de conduction est décalé par l’énergie électrostatique \(-q\phi(x)\), de sorte que

\[E_{\mathrm{C}}(x) = -\chi - q\phi(x)\]

La limite supérieure de la bande de valence est ensuite obtenue en soustrayant la largeur de bande \(E_g\).

\[E_{\mathrm{V}}(x) = -\chi - E_g - q\phi(x)\]

La variation spatiale de \(E_C(x)\) et \(E_V(x)\), illustrée dans ??, est due à la dépendance de la position du potentiel électrostatique \(\phi(x)\) (en l’absence d’hétérojonctions). Ce potentiel est obtenu de manière auto-cohérente en résolvant l’équation de Poisson dans tout le dispositif, et il détermine directement la courbure des bandes, qui régit le transport et la recombinaison des porteurs de charge.

2. Calcul du potentiel électrostatique à partir de la charge.

En physique des dispositifs à semi-conducteurs, le potentiel électrostatique est calculé à partir de l’équation de Poisson, qui établit une relation entre la divergence du champ électrique et la densité de charge locale :

\[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \]

où \(n_f\) et \(p_f\) représentent les densités des électrons libres et des trous, tandis que \(n_t\) et \(p_t\) représentent les densités correspondantes des porteurs piégés. Le terme \(N_{ad}\) représente la densité des dopants ionisés, \(N_{ion}\) tient compte de la charge ionique de fond (par exemple, les ions fixes dans les couches de pérovskite), et \(a\) désigne les ions mobiles qui peuvent se déplacer en réponse au champ local. Les permittivités \(\epsilon_0\) et \(\epsilon_r\) déterminent l’intensité de la réponse électrostatique.

Cette formulation prend en compte toutes les contributions pertinentes à la charge spatiale : les porteurs libres et piégés, le dopage intentionnel, ainsi que les espèces ioniques statiques et mobiles. Elle est particulièrement importante pour les matériaux hybrides, tels que les matériaux organiques et les pérovskites halogénées, où le mouvement ionique et les états de piégeage influencent fortement le potentiel électrostatique et donnent lieu à des phénomènes tels que l’hystérésis et les transitoires lents.