Η εξίσωση Poisson και η ηλεκτροστατική στις μεθόδους διάχυσης-μεταφοράς

Η ηλεκτροστατική αποτελεί ένα κεντρικό στοιχείο της μοντελοποίησης διάχυσης-μεταφοράς, καθορίζοντας τον τρόπο με τον οποίο το ηλεκτρικό δυναμικό, η πυκνότητα φορτίου και τα επίπεδα ενέργειας μεταβάλλονται σε μια συσκευή. Το ηλεκτροστατικό δυναμικό ελέγχει την κάμψη των ενεργειακών ζωνών, την κατανομή των φορέων φορτίου και, τελικά, τις διαδικασίες ανασύνθεσης και μεταφοράς.

1. Ορισμός

Το διάγραμμα της ενεργειακής ζώνης που εμφανίζεται στην εικόνα ?? απεικονίζει τον τρόπο με τον οποίο οι άκρες των ζωνών αγωγιμότητας και σθένους μεταβάλλονται σε μια συσκευή. Η κόκκινη γραμμή αντιστοιχεί στην άκρη της ζώνης αγωγιμότητας \(E_C\), ενώ η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στην άκρη της ζώνης σθένους \(E_V\). Η απόσταση μεταξύ τους ορίζει το ενεργειακό χάσμα \(E_g\).

Για να ορίσουμε την απόλυτη κλίμακα ενέργειας, εισάγουμε την ηλεκτρονιακή συγγένεια \(\chi\), η οποία καθορίζει τη διαφορά ενέργειας μεταξύ της στάθμης κενού και της άκρης της ζώνης αγωγιμότητας στην απουσία ηλεκτροστατικού δυναμικού. Αυτό παρέχει μια αναφορά που εξαρτάται από το υλικό για τη δομή των ζωνών.

Σε περίπτωση ύπαρξης ηλεκτροστατικού δυναμικού \(\phi(x)\) (που προκαλείται από φορτίο), το όριο της ζώνης αγωγιμότητας μετατοπίζεται κατά την ηλεκτροστατική ενέργεια \(-q\phi(x)\), έτσι ώστε

\[E_{\mathrm{C}}(x) = -\chi - q\phi(x)\]

Στη συνέχεια, η ακμή της ενεργειακής ζώνης σθένους λαμβάνεται αφαιρώντας το ενεργειακό χάσμα \(E_g\).

\[E_{\mathrm{V}}(x) = -\chi - E_g - q\phi(x)\]

Η χωρική μεταβολή των \(E_C(x)\) και \(E_V(x)\), όπως φαίνεται στο ??, προκύπτει από την εξάρτηση της θέσης του ηλεκτροστατικού δυναμικού \(\phi(x)\) (σε απουσία ετεροδιαστατώσεων). Αυτό το δυναμικό υπολογίζεται με αυτοσυνεπή τρόπο μέσω της επίλυσης της εξίσωσης του Poisson σε όλη τη συσκευή και καθορίζει άμεσα την κάμψη της ενεργειακής ζώνης, η οποία ρυθμίζει τη μεταφορά και την ανασύνθεση των φορέων.

2. Υπολογισμός του ηλεκτροστατικού δυναμικού από το φορτίο.

Στη φυσική των ημιαγωγικών συσκευών, το ηλεκτροστατικό δυναμικό υπολογίζεται από την εξίσωση του Poisson, η οποία συνδέει την απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου με την τοπική πυκνότητα φορτίου:

\[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \]

όπου \(n_f\) και \(p_f\) είναι οι πυκνότητες των ελεύθερων ηλεκτρονίων και των οπών, ενώ \(n_t\) και \(p_t\) είναι οι αντίστοιχες πυκνότητες των παγιδευμένων φορέων. Ο όρος \(N_{ad}\) αντιπροσωπεύει την πυκνότητα των ιονισμένων προσμίξεων, ο \(N_{ion}\) λαμβάνει υπόψη την οιονική φόρτιση του υποστρώματος (για παράδειγμα, σταθερά ιόντα σε στρώματα περοβσκίτη) και ο \(a\) υποδηλώνει κινητά ιόντα που μπορούν να μετακινηθούν ως απόκριση στο τοπικό ηλεκτρικό πεδίο. Οι διηλεκτρικές σταθερές \(\epsilon_0\) και \(\epsilon_r\) καθορίζουν την ένταση της ηλεκτροστατικής απόκρισης.

Αυτή η διατύπωση περιλαμβάνει όλες τις σχετικές συνεισφορές στον φορτίο χώρου: ελεύθερους και παγιδευμένους φορείς, σκόπιμη προσθήκη προσμίξεων, καθώς και στατικά και κινητά ιοντικά είδη. Είναι ιδιαίτερα σημαντική για υβριδικά υλικά, όπως τα οργανικά υλικά και τα αλογονιδικά περοβσκίτες, όπου η ιοντική κίνηση και οι καταστάσεις παγίδευσης επηρεάζουν σημαντικά το ηλεκτροστατικό δυναμικό και προκαλούν φαινόμενα όπως υστέρηση και αργές μεταβατικές καταστάσεις.