Równanie Poissona i elektrostatyka w modelach dyfuzji i dryfu.

Elektrostatyka jest kluczowym elementem modelu dryfu i dyfuzji, określającym, w jaki sposób potencjał elektryczny, gęstość ładunku i poziomy energii zmieniają się w obrębie urządzenia. Potencjał elektrostatyczny wpływa na zakrzywienie pasm energetycznych, rozkład nośników ładunku, a ostatecznie na procesy rekombinacji i transportu.

1. Definicja

Schemat pasm energetycznych przedstawiony na rysunku ?? ilustruje, jak zmienia się położenie pasm przewodnictwa i walencyjnych w obrębie urządzenia. Czerwona linia odpowiada krawędzi pasma przewodnictwa \(E_C\), natomiast niebieska linia odpowiada krawędzi pasma walencyjnego \(E_V\). Odległość między nimi określa szerokość przerwy energetycznej \(E_g\).

Aby zdefiniować absolutną skalę energii, wprowadzamy pojęcie powinowactwa elektronowego \(\chi\), które określa różnicę energii między poziomem próżni a krawędzią pasma przewodnictwa w przypadku braku potencjału elektrostatycznego. Stanowi to zależną od materiału referencję dla struktury pasmowej.

W obecności elektrostatycznego potencjału \(\phi(x)\) (wywołanego ładunkiem), krawędź pasma przewodnictwa przesuwa się o wartość odpowiadającą energii elektrostatycznej \(-q\phi(x)\), tak że

\[E_{\mathrm{C}}(x) = -\chi - q\phi(x)\]

Następnie krawędź pasma walencyjnego oblicza się, odejmując od niej szerokość przerwy energetycznej \(E_g\).

\[E_{\mathrm{V}}(x) = -\chi - E_g - q\phi(x)\]

Przestrzenne zmiany wartości \(E_C(x)\) i \(E_V(x)\), przedstawione na rysunku ??, wynikają ze zmiany potencjału elektrostatycznego \(\phi(x)\) w zależności od położenia (w przypadku braku złącz heterostrukturalnych). Potencjał ten jest obliczany w sposób samo-spójny poprzez rozwiązanie równania Poissona w całym obszarze urządzenia i bezpośrednio wpływa na zakrzywienie pasm energetycznych, które kontroluje transport i rekombinację nośników.

2. Obliczanie potencjału elektrostatycznego na podstawie rozkładu ładunków.

W fizyce półprzewodników, potencjał elektrostatyczny oblicza się na podstawie równania Poissona, które wiąże rozbieżność pola elektrycznego z lokalną gęstością ładunku:

\[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \]

gdzie \(n_f\) i \(p_f\) oznaczają odpowiednio gęstość swobodnych elektronów i dziur, natomiast \(n_t\) i \(p_t\) oznaczają gęstość nośników uwięzionych. Termin \(N_{ad}\) reprezentuje gęstość zjonizowanych domieszek, \(N_{ion}\) uwzględnia tło ładunku jonowego (np. nieruchome jony w warstwach perowskitu), a \(a\) oznacza ruchome jony, które mogą przemieszczać się pod wpływem lokalnego pola. Parametry \(\epsilon_0\) i \(\epsilon_r\) określają siłę elektrostatycznej odpowiedzi.

To sformułowanie uwzględnia wszystkie istotne czynniki wpływające na ładunek przestrzenny: swobodne i uwięzione nośniki ładunku, celowe domieszkowanie oraz zarówno statyczne, jak i ruchome jony. Jest to szczególnie ważne w przypadku materiałów hybrydowych, takich jak związki organiczne i halogenkowe perowskity, gdzie ruch jonów i stany pułapkowe mają duży wpływ na potencjał elektrostatyczny i prowadzą do takich zjawisk, jak histereza i powolne zmiany przejściowe.