Statystyka nośników ładunku w modelach opartych na zjawiskach dryfu i dyfuzji

3. Statystyka dotycząca swobodnych nośników ładunku.

Statystyka swobodnych nośników ładunku określa związek między quasi-poziomami Fermiego a gęstością nośników. Dla danego potencjału elektrostatycznego i quasi-poziomu Fermiego, statystyka ta określa lokalne stężenia elektronów i dziur \(n\) oraz \(p\). W OghmaNano ten związek można opisać, stosując albo klasyczne przybliżenie Maxwella-Boltzmanna (MB), albo pełną formalizm Fermiego-Diraca (FD), w zależności od stopnia degeneracji i postaci funkcji gęstości stanów (DOS).

Przybliżenie MB jest poprawne, gdy quasi-poziomy Fermiego znajdują się w odległości kilku \(kT\) od brzegów pasma energetycznego, co oznacza, że prawdopodobieństwa zajętości są małe i efekty wykluczenia Pauliego można pominąć. Przy takim założeniu, gęstości nośników ładunku są w sposób wykładniczy związane z quasi-poziomami Fermiego:

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

gdzie \(N_c\) i \(N_v\) oznaczają efektywne gęstości stanów w pasmach przewodnictwa i walencyjnych, \(F_n\) i \(F_p\) to odpowiednio quasi-poziomy Fermiego dla elektronów i dziur, a \(E_c\) i \(E_v\) definiują lokalne krawędzie pasm. W tym ujęciu zakłada się niejawnie paraboliczną strukturę pasm oraz zrównoważoną termicznie populację nośników.

Gdy gęstość nośników ładunku osiąga wystarczająco wysoką wartość, powodując zbliżenie się lub wejście quasi-poziomu Fermiego do pasma energetycznego, lub gdy gęstość stanów odbiega od prostej parabolicznej postaci, przybliżenie MB przestaje być skuteczne i należy zastosować pełną formalną metodę Fermiego-Diraca. W takim przypadku gęstość nośników ładunku oblicza się poprzez całkowanie gęstości stanów, pomnożonej przez funkcję zajętości Fermiego-Diraca:

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

gdzie rozkład Fermiego-Diraca wyraża się wzorem:

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

a \(\rho(E)\) oznacza gęstość stanów. W przypadku trójwymiarowej parabolicznej strefy energetycznej, gęstość stanów ma postać:

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

gdzie \(m^*\) to efektywna masa nośnika ładunku, a \(\hbar\) to zredukowana stała Plancka. W praktycznych symulacjach urządzeń, zamiast \(\rho(E)\), można określić w sposób bezpośredni parametry, które uwzględniają eksponencjalne spadki, rozkład Gaussa lub inne cechy nieparaboliczne, charakterystyczne dla materiałów amorficznych lub organicznych.

Statystyczny opis pozwala również określić średnią energię nośników ładunku, która jest wykorzystywana w modelach rozpraszania i rekombinacji. Wartość tę oblicza się w następujący sposób:

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

W przypadku niezanikającego modelu MB z paraboliczną gęstością stanów, wyrażenie to upraszcza się do postaci \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\), co odzwierciedla równomierny podział energii. Jednak w systemach charakteryzujących się zaburzeniami energetycznymi lub silną degeneracją, rozkład nośników jest zniekształcony, a średnia energia odbiega od tej klasycznej wartości, co bezpośrednio wpływa na kinetykę rekombinacji i współczynniki transportu.