Dedução da equação de recombinação de Shockley-Read-Hall

1. Recombinação de Shockley-Read-Hall (SRH) na sua forma mais simples.

A recombinação de Shockley-Read-Hall (SRH), na sua forma mais simples, pode ser entendida como um processo em duas etapas, conforme ilustrado em ??. Primeiro, um portador de carga fica retido num estado de defeito localizado dentro da banda proibida, processo (a). Em seguida, um portador de carga com carga oposta recombina-se com o portador retido através do mesmo estado de armadilha, processo (b). Esta simples representação física leva à equação clássica de recombinação de SRH, bem conhecida na física de dispositivos semicondutores:

\[ R_{SRH}= \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)} \]

No entanto, no trabalho original de Shockley, Read e Hall, o modelo físico foi formulado de forma muito mais detalhada. Em vez de considerar apenas a captura seguida de recombinação, a teoria define quatro taxas de transição de portadores concorrentes, associadas aos processos de captura de portadores e emissão térmica. Estas transições obedecem às condições de equilíbrio detalhado em equilíbrio térmico e são ilustradas em ??.

As quatro taxas são:

• \(r_{ec}\): captura de eletrões no estado de armadilha.
• \(r_{ee}\): emissão térmica de um eletrão a partir do estado de aprisionamento.
• \(r_{hc}\): captura do buraco no estado de armadilha.
• \(r_{he}\): emissão térmica de um buraco a partir do estado de armadilha.

Utilizando estas quatro taxas, a ocupação do estado de armadilhamento pode ser descrita através da equação da taxa de aprisionamento de portadores:

\[ \frac{dn_t}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Ao resolver analiticamente esta equação em condições de estado estacionário, Shockley, Read e Hall deduziram a expressão clássica de recombinação SRH apresentada acima. A dedução que se segue parte dos pressupostos fundamentais do modelo SRH e avança de forma sistemática até à equação de recombinação em estado estacionário. Ao longo do processo, a forma transitória ou de não equilíbrio das equações SRH surge naturalmente. Esta forma de não equilíbrio é a base do modelo de aprisionamento implementado no OghmaNano.

2. Processos de captura e emissão num estado de armadilha.

O modelo de Shockley-Read-Hall (SRH) descreve a recombinação através de estados de armadilha localizados dentro da banda proibida do semicondutor. Considere um único nível de armadilha na energia \(E_t\), conforme ilustrado em ??. Esta armadilha pode trocar portadores de carga tanto com a banda de condução quanto com a banda de valência, através de processos de captura e emissão térmica.

Um eletrão na banda de condução pode passar para o estado de armadilha. Da mesma forma, uma lacuna na banda de valência também pode ser capturada através da armadilha. Estes processos de captura correspondem ao movimento de portadores de carga de um estado de maior energia para um estado localizado de menor energia.

Em contrapartida, um portador aprisionado também pode escapar termicamente e retornar para uma banda de transporte. A emissão de eletrões requer que um eletrão aprisionado adquira energia térmica suficiente para se mover do nível de aprisionamento em direção à extremidade da banda de condução. Da mesma forma, a emissão de lacunas corresponde à excitação do nível de aprisionamento em direção à banda de valência.

Os processos que exigem que os portadores se movam com energia suficiente para superar uma barreira potencial são ativados termicamente e, portanto, ocorrem com probabilidades semelhantes às de Boltzmann, proporcionais a

\[ \exp\!\left(-\frac{\Delta E}{kT}\right), \]

onde \(\Delta E\) é a barreira de energia que deve ser ultrapassada. Barreiras de energia elevadas, que exigem um grande esforço para serem superadas, suprimem, portanto, a emissão térmica de forma exponencial. Em contraste, a captura de portadores num estado de armadilha de menor energia é energeticamente favorável e não requer ativação térmica. Os processos de captura não contêm, portanto, um fator de supressão exponencial associado à superação de uma barreira de energia.

Como resultado, as armadilhas profundas tendem a capturar os portadores de carga de forma eficiente, libertando-os apenas lentamente. As armadilhas superficiais, que se encontram mais próximas da extremidade de uma banda de transporte, trocam portadores de carga com as bandas muito mais rapidamente.

Os coeficientes de captura de eletrões e lacunas são expressos da seguinte forma:

\[ c_n=v_{th}\sigma_n \quad,\quad c_p=v_{th}\sigma_p, \]

onde \(v_{th}\) é a velocidade térmica, enquanto \(\sigma_n\) e \(\sigma_p\) são as secções eficazes de captura de eletrões e lacunas, respetivamente.

Os coeficientes de emissão térmica são expressos da seguinte forma:

\[ e_n=v_{th}\sigma_n N_c \exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \]

\[ e_p=v_{th}\sigma_p N_v \exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

3. Taxas de ocupação das armadilhas e de transição para a fase de reprodução.

Os coeficientes de captura e emissão mencionados acima descrevem as probabilidades de transição associadas a um único estado de armadilha. No entanto, as taxas de transição reais também dependem de o estado de armadilha estar ocupado ou vazio.

Representemos a probabilidade de ocupação da armadilha por \(f\). Uma vez que a armadilha é um estado eletrónico localizado, a sua ocupação segue a estatística de Fermi-Dirac, partindo do pressuposto de que os portadores de carga podem atingir o equilíbrio térmico dentro da distribuição de energia da armadilha:

\[ f(E_t)= \frac{1} {1+\exp\!\left(\frac{E_t-E_F}{kT}\right)}. \]

A densidade das armadilhas ocupadas é, portanto,

\[ n_t=N_t f, \]

enquanto a densidade de armadilhas vazias é

\[ N_t(1-f). \]

A captura de eletrões requer um estado de armadilha vazio e, portanto, é proporcional a \(1-f\). A captura de lacunas requer um estado de armadilha já ocupado por um eletrão e, portanto, é proporcional a \(f\). Esta dependência da ocupação é a principal característica estatística do modelo SRH.

As quatro taxas de transição elementares apresentadas em ?? são, portanto, expressas da seguinte forma:

\[ r_{ec}=c_n n N_t(1-f) \quad,\quad r_{ee}=e_n N_t f \]

\[ r_{hc}=c_p p N_t f \quad,\quad r_{he}=e_p N_t(1-f). \]

4. Equação da ocupação transitória da armadilha.

A equação transitória de SRH é obtida ao expressar a taxa de variação das armadilhas ocupadas. A captura de eletrões preenche uma armadilha, a emissão de eletrões esvazia-a, a captura de lacunas esvazia-a por recombinação e a emissão de lacunas preenche-a ao remover um eletrão da banda de valência. Portanto, utilizando a notação de ??,

A partir daqui, a derivação prossegue com o cálculo das taxas de recombinação que aparecem nas equações de continuidade de deriva-difusão. Estes termos descrevem a perda e o ganho líquidos de portadores entre a banda de condução, a banda de valência e os estados de armadilha, através dos processos de recombinação SRH que foram derivados anteriormente.

Desde \(n_t=N_t f\), isto é equivalente a:

\[ N_t\frac{df}{dt}=r_{ec}-r_{ee}-r_{hc}+r_{he}. \]

Ao substituir as quatro taxas elementares, obtemos:

\[ N_t\frac{df}{dt} = c_n n N_t(1-f) - e_n N_t f - c_p p N_t f + e_p N_t(1-f). \]

Ao dividir por \(N_t\), a equação que descreve a ocupação da armadilha torna-se:

\[ \frac{df}{dt} = c_n n(1-f) - e_n f - c_p p f + e_p(1-f). \]

Esta é a forma transitória do modelo SRH de um único nível. Deve ser utilizada quando a ocupação da armadilha é, por si só, uma variável de estado dinâmica, por exemplo, em simulações transitórias, em processos de aprisionamento lento, no preenchimento de armadilhas ou em simulações de não equilíbrio, onde a carga aprisionada contribui para a equação de Poisson.

Os termos correspondentes de recombinação transitória são:

\[ R_n=r_{ec}-r_{ee} = N_t\left[c_n n(1-f)-e_n f\right] \]

\[ R_p=r_{hc}-r_{he} = N_t\left[c_p p f-e_p(1-f)\right]. \]

Quando o sistema não está em estado de equilíbrio, \(R_n\) e \(R_p\) não precisam ser iguais. A diferença entre eles altera a densidade de carga acumulada. Em estado de equilíbrio, a ocupação das armadilhas é constante e as duas taxas líquidas se tornam iguais.

5. Ocupação do nível de energia em estado estacionário.

O restante desta demonstração tem como objetivo obter uma solução analítica para o estado estacionário das equações de taxa SRH transitórias, derivadas anteriormente. Ao assumir que a ocupação das armadilhas não varia mais com o tempo, os processos acoplados de captura e emissão podem ser reduzidos analiticamente, resultando na equação clássica de recombinação de Shockley-Read-Hall, utilizada em toda a física de dispositivos semicondutores e na modelagem de deriva e difusão. Para obter a equação clássica de recombinação SRH, assumimos agora um estado estacionário de ocupação das armadilhas:

\[ \frac{df}{dt}=0. \]

A equação da taxa de transição fornece, portanto:

\[ r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Esta igualdade significa que a taxa líquida de captura de eletrões é igual à taxa líquida de captura de lacunas. Em outras palavras, em estado estável, a armadilha não acumula carga; ela apenas facilita o ciclo de recombinação apresentado em ??.

Os coeficientes de emissão térmica podem ser reescritos em função das densidades de portadores de equilíbrio de referência \(n_1\) e \(p_1\):

\[ e_n=c_n n_1 \quad,\quad e_p=c_p p_1, \]

onde

\[ n_1=N_c\exp\!\left(\frac{E_t-E_c}{kT}\right) \quad,\quad p_1=N_v\exp\!\left(\frac{E_v-E_t}{kT}\right). \]

As quantidades \(n_1\) e \(p_1\) representam as densidades de portadores de referência no estado de equilíbrio, associadas à energia da armadilha. Fisicamente, elas codificam as barreiras de ativação térmica que controlam a emissão de eletrões e lacunas a partir do estado de armadilha.

Ao substituir \(e_n=c_n n_1\) e \(e_p=c_p p_1\) na equação de estado estacionário, obtemos:

\[ c_n n(1-f) - c_n n_1 f - c_p p f + c_p p_1(1-f)=0. \]

Reunindo os termos proporcionais a \(1-f\) e \(f\).

\[ (1-f)(c_n n+c_p p_1) = f(c_n n_1+c_p p). \]

Ao resolver para a fração de armadilhas ocupadas, obtemos:

\[ f= \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

A fração correspondente à porção não capturada é:

\[ 1-f= \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

6. Obtendo a equação clássica de estado estacionário de SRH.

A taxa de recombinação SRH no estado estacionário pode ser expressa utilizando o equilíbrio de eletrões ou o equilíbrio de lacunas:

\[ R_{\mathrm{SRH}}=r_{ec}-r_{ee}=r_{hc}-r_{he}. \]

Utilizando o balanço eletrónico,

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t\left[c_n n(1-f)-c_n n_1 f\right]. \]

Substituindo os valores em estado estacionário de \(f\) e \(1-f\),

\[ R_{\mathrm{SRH}} = N_t c_n \left[ n \frac{c_n n_1+c_p p} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} - n_1 \frac{c_n n+c_p p_1} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)} \right]. \]

Os termos \(c_n n n_1\) anulam-se, restando:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_1p_1)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Para um semicondutor em equilíbrio térmico,

\[ n_1p_1=n_i^2. \]

Dessa forma, a taxa clássica de recombinação de Shockley-Read-Hall em estado estacionário passa a ser:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{N_t c_n c_p(np-n_i^2)} {c_n(n+n_1)+c_p(p+p_1)}. \]

Finalmente, definimos os tempos de vida do SRH como:

\[ \tau_n=\frac{1}{N_t c_n} = \frac{1}{v_{th}\sigma_n N_t} \quad,\quad \tau_p=\frac{1}{N_t c_p} = \frac{1}{v_{th}\sigma_p N_t}, \]

obtém-se a forma padrão do livro didático:

\[ R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np-n_i^2} {\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}. \]

Esta expressão final representa o limite compacto do estado estacionário da equação de taxa apresentada anteriormente. Ela contém os mesmos princípios físicos de captura e escape ilustrados em ??, mas com a eliminação analítica da ocupação da armadilha.

7. Referência histórica

O modelo de recombinação mediada por armadilhas apresentado aqui baseia-se no tratamento estatístico introduzido por W. Shockley e W. T. Read, Jr., no seu artigo de 1952 sobre a recombinação de lacunas e eletrões em semicondutores. A dedução apresentada nesta página não é uma reprodução do texto original; é uma dedução moderna para simulação de dispositivos, escrita utilizando a notação de taxas utilizada noutras partes deste manual.

Referência: W. Shockley e W. T. Read, Jr., «Estatística das Recombinações de Lacunas e Elétrons», Physical Review, vol. 87, n.º 5, pp. 835–842, 1952.